MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1varpwval Structured version   Unicode version

Theorem evl1varpwval 17931
Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q  |-  Q  =  (eval1 `  R )
evl1varpw.w  |-  W  =  (Poly1 `  R )
evl1varpw.g  |-  G  =  (mulGrp `  W )
evl1varpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
evl1varpw.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1varpw.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
evl1varpw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1varpw.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
evl1varpwval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
evl1varpwval.h  |-  H  =  (mulGrp `  R )
evl1varpwval.e  |-  E  =  (.g `  H )
Assertion
Ref Expression
evl1varpwval  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( N  .^  X ) ) `  C )  =  ( N E C ) )

Proof of Theorem evl1varpwval
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.q . . 3  |-  Q  =  (eval1 `  R )
2 evl1varpw.w . . 3  |-  W  =  (Poly1 `  R )
3 evl1varpw.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 evl1varpw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 evl1varpwval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
7 evl1varpw.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
81, 7, 3, 2, 4, 5, 6evl1vard 17906 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( Q `  X ) `  C
)  =  C ) )
9 evl1varpw.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
10 evl1varpw.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  W )
1110fveq2i 5805 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  (mulGrp `  W ) )
129, 11eqtri 2483 . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  W )
)
13 evl1varpwval.e . . . 4  |-  E  =  (.g `  H )
14 evl1varpwval.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5805 . . . 4  |-  (.g `  H
)  =  (.g `  (mulGrp `  R ) )
1613, 15eqtri 2483 . . 3  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  R
) )
17 evl1varpw.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 17evl1expd 17914 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  .^  X )  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( Q `  ( N  .^  X ) ) `  C )  =  ( N E C ) ) )
1918simprd 463 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( N  .^  X ) ) `  C )  =  ( N E C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   NN0cn0 10694   Basecbs 14296  .gcmg 15537  mulGrpcmgp 16723   CRingccrg 16779  var1cv1 17766  Poly1cpl1 17767  eval1ce1 17884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-srg 16740  df-rng 16780  df-cring 16781  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-assa 17517  df-asp 17518  df-ascl 17519  df-psr 17556  df-mvr 17557  df-mpl 17558  df-opsr 17560  df-evls 17722  df-evl 17723  df-psr1 17770  df-vr1 17771  df-ply1 17772  df-evl1 17886
This theorem is referenced by:  evl1scvarpwval  17933
  Copyright terms: Public domain W3C validator