MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1var Structured version   Unicode version

Theorem evl1var 17745
Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1var.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1var.v  |-  X  =  (var1 `  R )
evl1var.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1var  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)

Proof of Theorem evl1var
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 16643 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 evl1var.v . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
52, 3, 4vr1cl 17646 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R
) ) )
7 evl1var.q . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
9 evl1var.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
11 eqid 2438 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
123, 11, 4ply1bas 17626 . . . 4  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
137, 8, 9, 10, 12evl1val 17738 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
146, 13mpdan 668 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  X )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
15 df1o2 6924 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
16 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
179, 16eqeltri 2508 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
18 0ex 4417 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) )
2015, 17, 18, 19mapsncnv 7251 . . . 4  |-  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2120coeq2i 4995 . . 3  |-  ( ( ( 1o eval  R ) `
 X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  X
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )
229ressid 14225 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
2322oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  R ) )
2423fveq1d 5688 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  ( ( 1o mVar  R ) `  (/) ) )
252vr1val 17623 . . . . . . 7  |-  X  =  ( ( 1o mVar  R
) `  (/) )
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o mVar  ( Rs  B ) ) `  (/) )  =  X )
2726fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  X
) )
288, 9evlval 17585 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
29 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 1o mVar 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mVar  ( Rs  B ) )
30 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
31 1on 6919 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  1o  e.  On )
33 id 22 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  CRing
)
349subrgid 16845 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
351, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  (SubRing `  R ) )
36 0lt1o 6936 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  (/)  e.  1o )
3828, 29, 30, 9, 32, 33, 35, 37evlsvar 17584 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  (
( 1o mVar  ( Rs  B
) ) `  (/) ) )  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) )
3927, 38eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( ( 1o eval  R ) `  X
)  =  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )
4039coeq1d 4996 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( z `  (/) ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) ) )
4121, 40syl5eqr 2484 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  X )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) ) )
4215, 17, 18, 19mapsnf1o2 7252 . . 3  |-  ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
43 f1ococnv2 5662 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4442, 43mp1i 12 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `  (/) ) )  o.  `' ( z  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( z `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
4514, 41, 443eqtrd 2474 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( O `  X )  =  (  _I  |`  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   {csn 3872    e. cmpt 4345    _I cid 4626   Oncon0 4714    X. cxp 4833   `'ccnv 4834    |` cres 4837    o. ccom 4839   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1oc1o 6905    ^m cmap 7206   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634  SubRingcsubrg 16839   mVar cmvr 17396   mPoly cmpl 17397   eval cevl 17562  PwSer1cps1 17606  var1cv1 17607  Poly1cpl1 17608  eval1ce1 17724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-rnghom 16794  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-assa 17361  df-asp 17362  df-ascl 17363  df-psr 17400  df-mvr 17401  df-mpl 17402  df-opsr 17404  df-evls 17563  df-evl 17564  df-psr1 17611  df-vr1 17612  df-ply1 17613  df-evl1 17726
This theorem is referenced by:  evl1vard  17746  evls1var  17747  pf1id  17756  fta1blem  21615
  Copyright terms: Public domain W3C validator