MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Unicode version

Theorem evl1val 17898
Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1val.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
evl1val.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
evl1val  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Distinct variable group:    y, B
Allowed substitution hints:    A( y)    Q( y)    R( y)    K( y)    M( y)    O( y)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1fval.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
3 evl1fval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 17897 . . . 4  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
54fveq1i 5803 . . 3  |-  ( O `
 A )  =  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) `  A )
6 1on 7040 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
7 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  CRing )
8 evl1val.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
9 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
102, 3, 8, 9evlrhm 17745 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
116, 7, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
12 evl1val.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  M
)
13 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
1412, 13rhmf 16949 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( M RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
16 fvco3 5880 . . . 4  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
1715, 16sylancom 667 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) `
 A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) ) )
185, 17syl5eq 2507 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) `  ( Q `  A )
) )
19 ffvelrn 5953 . . . . 5  |-  ( ( Q : K --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2015, 19sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
21 crngrng 16788 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  R  e.  Ring )
23 ovex 6228 . . . . 5  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
249, 3pwsbas 14548 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2522, 23, 24sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2620, 25eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
27 coeq1 5108 . . . 4  |-  ( x  =  ( Q `  A )  ->  (
x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
28 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
29 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( Q `
 A )  e. 
_V
30 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
313, 30eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3231mptex 6060 . . . . 5  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  e.  _V
3329, 32coex 6642 . . . 4  |-  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  _V
3427, 28, 33fvmpt 5886 . . 3  |-  ( ( Q `  A )  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `  A ) )  =  ( ( Q `  A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3526, 34syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) `  ( Q `
 A ) )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2495 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  K )  ->  ( O `  A )  =  ( ( Q `
 A )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3988    |-> cmpt 4461   Oncon0 4830    X. cxp 4949    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026    ^m cmap 7327   Basecbs 14296    ^s cpws 14508   Ringcrg 16778   CRingccrg 16779   RingHom crh 16937   mPoly cmpl 17553   eval cevl 17721  eval1ce1 17884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-srg 16740  df-rng 16780  df-cring 16781  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-assa 17517  df-asp 17518  df-ascl 17519  df-psr 17556  df-mvr 17557  df-mpl 17558  df-evls 17722  df-evl 17723  df-evl1 17886
This theorem is referenced by:  evl1sca  17903  evl1var  17905  evls1var  17907  mpfpf1  17920  pf1mpf  17921  pf1ind  17924
  Copyright terms: Public domain W3C validator