MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Unicode version

Theorem evl1subd 17751
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1subd.s  |-  .-  =  ( -g `  P )
evl1subd.d  |-  D  =  ( -g `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1subd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 17741 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 16801 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 15740 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1subd.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
1816, 17grpsubcl 15597 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
20 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( -g `  ( R  ^s  B ) )  =  ( -g `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmsub 15746 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M ) (
-g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 crngrng 16643 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
24 rnggrp 16638 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
251, 23, 243syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
26 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
275, 26eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
29 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
3016, 29rhmf 16802 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
317, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3231, 13ffvelrnd 5839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3331, 15ffvelrnd 5839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
34 evl1subd.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( -g `  R
)
354, 29, 34, 20pwssub 15659 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( O `  M )  e.  (
Base `  ( R  ^s  B ) )  /\  ( O `  N )  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) ) )  ->  ( ( O `  M )
( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) )
3625, 28, 32, 33, 35syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) )
3722, 36eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) )
3837fveq1d 5688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) `  Y ) )
394, 5, 29, 1, 28, 32pwselbas 14419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
40 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
424, 5, 29, 1, 28, 33pwselbas 14419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
43 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
45 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
46 fnfvof 6328 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4741, 44, 28, 45, 46syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4812simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4914simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
5048, 49oveq12d 6104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V D W ) )
5138, 47, 503eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) )
5219, 51jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Basecbs 14166    ^s cpws 14377   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405    GrpHom cghm 15735   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634   RingHom crh 16792  Poly1cpl1 17608  eval1ce1 17724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-rnghom 16794  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-assa 17361  df-asp 17362  df-ascl 17363  df-psr 17400  df-mvr 17401  df-mpl 17402  df-opsr 17404  df-evls 17563  df-evl 17564  df-psr1 17611  df-ply1 17613  df-evl1 17726
This theorem is referenced by:  ply1remlem  21609  lgsqrlem1  22655  idomrootle  29513  lineval  30777
  Copyright terms: Public domain W3C validator