MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Unicode version

Theorem evl1subd 18573
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1subd.s  |-  .-  =  ( -g `  P )
evl1subd.d  |-  D  =  ( -g `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1subd  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 18563 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmghm 17569 . . . . 5  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B )
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) ) )
10 ghmgrp1 16468 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P  GrpHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
12 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1312simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
14 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1514simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
16 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
17 evl1subd.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
1816, 17grpsubcl 16317 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
1911, 13, 15, 18syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .-  N
)  e.  U )
20 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( -g `  ( R  ^s  B ) )  =  ( -g `  ( R  ^s  B ) )
2116, 17, 20ghmsub 16474 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P 
GrpHom  ( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
229, 13, 15, 21syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M ) (
-g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
23 crngring 17404 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
24 ringgrp 17398 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
251, 23, 243syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
26 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
275, 26eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
29 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
3016, 29rhmf 17570 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
317, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3231, 13ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
3331, 15ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
34 evl1subd.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( -g `  R
)
354, 29, 34, 20pwssub 16382 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Grp  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( O `  M )  e.  (
Base `  ( R  ^s  B ) )  /\  ( O `  N )  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) ) )  ->  ( ( O `  M )
( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) )
3625, 28, 32, 33, 35syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( -g `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) )  =  ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) )
3722, 36eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .-  N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) )
3837fveq1d 5850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  oF D ( O `  N ) ) `  Y ) )
394, 5, 29, 1, 28, 32pwselbas 14978 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
40 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
424, 5, 29, 1, 28, 33pwselbas 14978 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
43 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
45 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
46 fnfvof 6526 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4741, 44, 28, 45, 46syl22anc 1227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  oF D ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
) )
4812simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4914simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
5048, 49oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y ) D ( ( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V D W ) )
5138, 47, 503eqtrd 2499 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) )
5219, 51jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .-  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .-  N ) ) `  Y )  =  ( V D W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   Basecbs 14716    ^s cpws 14936   Grpcgrp 16252   -gcsg 16254    GrpHom cghm 16463   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   RingHom crh 17556  Poly1cpl1 18411  eval1ce1 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-srg 17353  df-ring 17395  df-cring 17396  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-assa 18156  df-asp 18157  df-ascl 18158  df-psr 18200  df-mvr 18201  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-evls 18366  df-evl 18367  df-psr1 18414  df-ply1 18416  df-evl1 18548
This theorem is referenced by:  ply1remlem  22729  lgsqrlem1  23814  idomrootle  31393  lineval  33248
  Copyright terms: Public domain W3C validator