MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scvarpw Structured version   Unicode version

Theorem evl1scvarpw 18879
Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q  |-  Q  =  (eval1 `  R )
evl1varpw.w  |-  W  =  (Poly1 `  R )
evl1varpw.g  |-  G  =  (mulGrp `  W )
evl1varpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
evl1varpw.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1varpw.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
evl1varpw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1varpw.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
evl1scvarpw.t1  |-  .X.  =  ( .s `  W )
evl1scvarpw.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
evl1scvarpw.s  |-  S  =  ( R  ^s  B )
evl1scvarpw.t2  |-  .xb  =  ( .r `  S )
evl1scvarpw.m  |-  M  =  (mulGrp `  S )
evl1scvarpw.f  |-  F  =  (.g `  M )
Assertion
Ref Expression
evl1scvarpw  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A  .X.  ( N  .^  X ) ) )  =  ( ( B  X.  { A }
)  .xb  ( N F ( Q `  X ) ) ) )

Proof of Theorem evl1scvarpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1varpw.w . . . . . . 7  |-  W  =  (Poly1 `  R )
32ply1assa 18720 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  W  e. AssAlg )
41, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. AssAlg )
5 evl1scvarpw.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
6 evl1varpw.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
75, 6syl6eleq 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
82ply1sca 18774 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  W ) )
98eqcomd 2428 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  (Scalar `  W
)  =  R )
101, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  =  R )
1110fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  =  ( Base `  R
) )
127, 11eleqtrrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
13 crngring 17719 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
141, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
152ply1ring 18769 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  W  e. 
Ring )
1614, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Ring )
17 evl1varpw.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  W )
1817ringmgp 17714 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
1916, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
20 evl1varpw.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
21 evl1varpw.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  R )
22 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2321, 2, 22vr1cl 18738 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  W
) )
2414, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
2517, 22mgpbas 17657 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  G )
26 evl1varpw.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  G )
2725, 26mulgnn0cl 16718 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( N  .^  X )  e.  ( Base `  W
) )
2819, 20, 24, 27syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  .^  X
)  e.  ( Base `  W ) )
29 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (algSc `  W )  =  (algSc `  W )
30 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
31 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
32 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
33 evl1scvarpw.t1 . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .s `  W )
3429, 30, 31, 22, 32, 33asclmul1 18491 . . . . 5  |-  ( ( W  e. AssAlg  /\  A  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( N  .^  X )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( (algSc `  W
) `  A )
( .r `  W
) ( N  .^  X ) )  =  ( A  .X.  ( N  .^  X ) ) )
354, 12, 28, 34syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  W ) `  A
) ( .r `  W ) ( N 
.^  X ) )  =  ( A  .X.  ( N  .^  X ) ) )
3635eqcomd 2428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .X.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( (algSc `  W ) `  A
) ( .r `  W ) ( N 
.^  X ) ) )
3736fveq2d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A  .X.  ( N  .^  X ) ) )  =  ( Q `  ( ( (algSc `  W ) `  A
) ( .r `  W ) ( N 
.^  X ) ) ) )
38 evl1varpw.q . . . . 5  |-  Q  =  (eval1 `  R )
39 evl1scvarpw.s . . . . 5  |-  S  =  ( R  ^s  B )
4038, 2, 39, 6evl1rhm 18848 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  ( W RingHom  S ) )
411, 40syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( W RingHom  S ) )
422ply1lmod 18773 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  W  e. 
LMod )
4314, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4429, 30, 16, 43, 31, 22asclf 18489 . . . 4  |-  ( ph  ->  (algSc `  W ) : ( Base `  (Scalar `  W ) ) --> (
Base `  W )
)
4544, 12ffvelrnd 6029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  W
) `  A )  e.  ( Base `  W
) )
46 evl1scvarpw.t2 . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
4722, 32, 46rhmmul 17883 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( W RingHom  S )  /\  (
(algSc `  W ) `  A )  e.  (
Base `  W )  /\  ( N  .^  X
)  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( Q `  (
( (algSc `  W
) `  A )
( .r `  W
) ( N  .^  X ) ) )  =  ( ( Q `
 ( (algSc `  W ) `  A
) )  .xb  ( Q `  ( N  .^  X ) ) ) )
4841, 45, 28, 47syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( (algSc `  W
) `  A )
( .r `  W
) ( N  .^  X ) ) )  =  ( ( Q `
 ( (algSc `  W ) `  A
) )  .xb  ( Q `  ( N  .^  X ) ) ) )
4938, 2, 6, 29evl1sca 18850 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  B )  ->  ( Q `  ( (algSc `  W ) `  A
) )  =  ( B  X.  { A } ) )
501, 5, 49syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
(algSc `  W ) `  A ) )  =  ( B  X.  { A } ) )
5138, 2, 17, 21, 6, 26, 1, 20evl1varpw 18877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  .^  X ) )  =  ( N (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) ) ( Q `  X
) ) )
52 evl1scvarpw.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (.g `  M )
53 evl1scvarpw.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  (mulGrp `  S )
5439fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) )
5553, 54eqtri 2449 . . . . . . . . 9  |-  M  =  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) )
5655fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  (.g `  M
)  =  (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) )
5752, 56eqtri 2449 . . . . . . 7  |-  F  =  (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) )
5857a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) ) )
5958eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) )  =  F )
6059oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N (.g `  (mulGrp `  ( R  ^s  B ) ) ) ( Q `
 X ) )  =  ( N F ( Q `  X
) ) )
6151, 60eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  .^  X ) )  =  ( N F ( Q `  X
) ) )
6250, 61oveq12d 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( (algSc `  W ) `  A ) )  .xb  ( Q `  ( N 
.^  X ) ) )  =  ( ( B  X.  { A } )  .xb  ( N F ( Q `  X ) ) ) )
6337, 48, 623eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A  .X.  ( N  .^  X ) ) )  =  ( ( B  X.  { A }
)  .xb  ( N F ( Q `  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   {csn 3993    X. cxp 4843   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   .rcmulr 15143  Scalarcsca 15145   .scvsca 15146    ^s cpws 15297   Mndcmnd 16479  .gcmg 16616  mulGrpcmgp 17651   Ringcrg 17708   CRingccrg 17709   RingHom crh 17868   LModclmod 18019  AssAlgcasa 18461  algSccascl 18463  var1cv1 18697  Poly1cpl1 18698  eval1ce1 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-hom 15166  df-cco 15167  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-prds 15298  df-pws 15300  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-ghm 16825  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-srg 17668  df-ring 17710  df-cring 17711  df-rnghom 17871  df-subrg 17934  df-lmod 18021  df-lss 18084  df-lsp 18123  df-assa 18464  df-asp 18465  df-ascl 18466  df-psr 18508  df-mvr 18509  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-evls 18657  df-evl 18658  df-psr1 18701  df-vr1 18702  df-ply1 18703  df-evls1 18832  df-evl1 18833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator