MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Unicode version

Theorem evl1sca 18240
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1sca.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1sca.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1sca.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
evl1sca  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 17081 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
3 evl1sca.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 evl1sca.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
5 evl1sca.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
73, 4, 5, 6ply1sclf 18196 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : B
--> ( Base `  P
) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A : B --> ( Base `  P
) )
9 ffvelrn 6030 . . . 4  |-  ( ( A : B --> ( Base `  P )  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )
108, 9sylancom 667 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )
11 evl1sca.o . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
153, 14, 6ply1bas 18104 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 18235 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  ( A `  X )
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
1710, 16syldan 470 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  ( A `  X )
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
185ressid 14567 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
2019oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
2120fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
223, 4ply1ascl 18169 . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
2321, 22syl6reqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) )
2423fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  =  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) ) `  X ) )
2524fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( A `  X
) )  =  ( ( 1o eval  R ) `
 ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) ) `  X ) ) )
2612, 5evlval 18063 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
27 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
28 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
29 eqid 2467 . . . . 5  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
30 1on 7149 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3130a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  1o  e.  On )
32 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
335subrgid 17302 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
35 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 18061 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 X ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ X } ) )
3725, 36eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( A `  X
) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
) )
3837coeq1d 5170 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( A `  X ) )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
39 df1o2 7154 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
40 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
415, 40eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
42 0ex 4583 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
43 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
4439, 41, 42, 43mapsnf1o3 7479 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
45 f1of 5822 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4644, 45mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4743fmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  1o )  <->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4846, 47sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A. y  e.  B  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  1o ) )
49 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
50 fconstmpt 5049 . . . . 5  |-  ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  =  ( x  e.  ( B  ^m  1o )  |->  X )
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  =  ( x  e.  ( B  ^m  1o )  |->  X ) )
52 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1o  X.  { y } )  ->  X  =  X )
5348, 49, 51, 52fmptcof 6066 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { X } )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( y  e.  B  |->  X ) )
54 fconstmpt 5049 . . 3  |-  ( B  X.  { X }
)  =  ( y  e.  B  |->  X )
5553, 54syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { X } )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
5617, 38, 553eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033    |-> cmpt 4511   Oncon0 4884    X. cxp 5003    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135    ^m cmap 7432   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  SubRingcsubrg 17296  algSccascl 17830   mPoly cmpl 17872   eval cevl 18040  PwSer1cps1 18084  Poly1cpl1 18086  eval1ce1 18221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-assa 17831  df-asp 17832  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-evls 18041  df-evl 18042  df-psr1 18089  df-ply1 18091  df-evl1 18223
This theorem is referenced by:  evl1scad  18241  pf1const  18252  pf1ind  18261  evl1scvarpw  18269  ply1rem  22432  fta1g  22436  fta1blem  22437  plypf1  22477
  Copyright terms: Public domain W3C validator