MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Structured version   Unicode version

Theorem evl1rhm 21380
Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1rhm.w  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1rhm.t  |-  T  =  ( R  ^s  B )
evl1rhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1rhm  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 eqid 2433 . . 3  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
3 evl1rhm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 21378 . 2  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )
5 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
6 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
76, 3pwsbas 14408 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
85, 7mpan2 664 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
98mpteq1d 4361 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
10 evl1rhm.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  ^s  B )
11 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
12 crngrng 16591 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
13 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
143, 13eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  _V )
165a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  1o )  e.  _V )
17 df1o2 6920 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
18 0ex 4410 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2017, 14, 18, 19mapsnf1o3 7249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
21 f1of 5629 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2220, 21mp1i 12 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2310, 6, 11, 12, 15, 16, 22pwsco1rhm 16754 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
249, 23eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
25 1on 6915 . . . . 5  |-  1o  e.  On
26 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
272, 3, 26, 6evlrhm 21377 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2825, 27mpan 663 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R ) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
29 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
)
30 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
31 evl1rhm.w . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
33 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3431, 32, 33ply1bas 17550 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
36 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
3731, 26, 36ply1plusg 17578 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) )
3938proplem3 14612 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( +g  `  P ) y )  =  ( x ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
40 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
41 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
4231, 26, 41ply1mulr 17580 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( .r `  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
4443proplem3 14612 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( x ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
45 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
4629, 30, 35, 30, 39, 40, 44, 45rhmpropd 16824 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
4728, 46eleqtrrd 2510 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
48 rhmco 16753 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T )  /\  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T )
)
4924, 47, 48syl2anc 654 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T ) )
504, 49syl5eqel 2517 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962   (/)c0 3625   {csn 3865    e. cmpt 4338   Oncon0 4706    X. cxp 4825    o. ccom 4831   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1oc1o 6901    ^m cmap 7202   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222    ^s cpws 14368   CRingccrg 16578   RingHom crh 16738   mPoly cmpl 17342   eval cevl 17344  PwSer1cps1 17526  Poly1cpl1 17528  eval1ce1 17530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-hom 14245  df-cco 14246  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-prds 14369  df-pws 14371  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-rnghom 16740  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-assa 17306  df-asp 17307  df-ascl 17308  df-psr 17351  df-mvr 17352  df-mpl 17353  df-evls 17354  df-evl 17355  df-opsr 17359  df-psr1 17533  df-ply1 17535  df-evl1 17537
This theorem is referenced by:  evl1addd  21385  evl1subd  21386  evl1muld  21387  evl1expd  21389  pf1const  21397  pf1id  21398  pf1subrg  21399  mpfpf1  21402  pf1mpf  21403  ply1remlem  21519  ply1rem  21520  facth1  21521  fta1glem1  21522  fta1glem2  21523  fta1g  21524  fta1blem  21525  plypf1  21565  lgsqrlem2  22566  lgsqrlem3  22567  pl1cn  26239  idomrootle  29405
  Copyright terms: Public domain W3C validator