MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Unicode version

Theorem evl1rhm 19902
Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1rhm.w  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1rhm.t  |-  T  =  ( R  ^s  B )
evl1rhm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1rhm  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
3 evl1rhm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1fval 19900 . 2  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )
5 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
76, 3pwsbas 13664 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
85, 7mpan2 653 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  =  (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
98mpteq1d 4250 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) ) )
10 evl1rhm.t . . . . 5  |-  T  =  ( R  ^s  B )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
12 crngrng 15629 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
13 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
143, 13eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  B  e.  _V )
165a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( B  ^m  1o )  e.  _V )
17 df1o2 6695 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
18 0ex 4299 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
2017, 14, 18, 19mapsnf1o3 7021 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
21 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2220, 21mp1i 12 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
2310, 6, 11, 12, 15, 16, 22pwsco1rhm 15788 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
249, 23eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T ) )
25 1on 6690 . . . . 5  |-  1o  e.  On
26 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
272, 3, 26, 6evlrhm 19899 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
2825, 27mpan 652 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R ) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
29 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
)
30 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
31 evl1rhm.w . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
33 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3431, 32, 33ply1bas 16548 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
36 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
3731, 26, 36ply1plusg 16574 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) )
3938proplem3 13871 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( +g  `  P ) y )  =  ( x ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
40 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
41 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
4231, 26, 41ply1mulr 16576 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( .r `  P )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
4443proplem3 13871 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  P )  /\  y  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( x ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
45 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) ) )  ->  ( x
( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y )  =  ( x ( .r `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) y ) )
4629, 30, 35, 30, 39, 40, 44, 45rhmpropd 15858 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
4728, 46eleqtrrd 2481 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
48 rhmco 15787 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e.  ( ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) RingHom  T )  /\  ( 1o eval  R )  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T )
)
4924, 47, 48syl2anc 643 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  R ) )  e.  ( P RingHom  T ) )
504, 49syl5eqel 2488 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {csn 3774    e. cmpt 4226   Oncon0 4541    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    ^m cmap 6977   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485    ^s cpws 13625   CRingccrg 15616   RingHom crh 15772   mPoly cmpl 16363   eval cevl 16365  PwSer1cps1 16524  Poly1cpl1 16526  eval1ce1 16528
This theorem is referenced by:  evl1addd  19907  evl1subd  19908  evl1muld  19909  evl1expd  19911  pf1const  19919  pf1id  19920  pf1subrg  19921  mpfpf1  19924  pf1mpf  19925  ply1remlem  20038  ply1rem  20039  facth1  20040  fta1glem1  20041  fta1glem2  20042  fta1g  20043  fta1blem  20044  plypf1  20084  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080  idomrootle  27379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-ply1 16533  df-evl1 16535
  Copyright terms: Public domain W3C validator