MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Unicode version

Theorem evl1muld 19909
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1muld.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
evl1muld.s  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1muld  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19902 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmrcl1 15777 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
10 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1110simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
12 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1312simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
14 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
15 evl1muld.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1614, 15rngcl 15632 . . 3  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .xb  N )  e.  U )
179, 11, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .xb  N
)  e.  U )
18 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  ( R  ^s  B
) )  =  ( .r `  ( R  ^s  B ) )
1914, 15, 18rhmmul 15783 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .xb 
N ) )  =  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) ) )
207, 11, 13, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M ) ( .r `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
21 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
22 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
235, 22eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
2514, 21rhmf 15782 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
267, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2726, 11ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2826, 13ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
29 evl1muld.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
304, 21, 1, 24, 27, 28, 29, 18pwsmulrval 13668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F  .x.  ( O `
 N ) ) )
3120, 30eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M )  o F  .x.  ( O `
 N ) ) )
3231fveq1d 5689 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  o F  .x.  ( O `  N )
) `  Y )
)
334, 5, 21, 1, 24, 27pwselbas 13666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
34 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
364, 5, 21, 1, 24, 28pwselbas 13666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
37 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
39 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
40 fnfvof 6276 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  o F  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4135, 38, 24, 39, 40syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  o F  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4210simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4312simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
4442, 43oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V 
.x.  W ) )
4532, 41, 443eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) )
4617, 45jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   Basecbs 13424   .rcmulr 13485    ^s cpws 13625   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   RingHom crh 15772  Poly1cpl1 16526  eval1ce1 16528
This theorem is referenced by:  evl1vsd  19910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-ply1 16533  df-evl1 16535
  Copyright terms: Public domain W3C validator