MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Structured version   Unicode version

Theorem evl1muld 18249
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1muld.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
evl1muld.s  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1muld  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 18238 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmrcl1 17240 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
10 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1110simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
12 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1312simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
14 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
15 evl1muld.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1614, 15ringcl 17084 . . 3  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .xb  N )  e.  U )
179, 11, 13, 16syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .xb  N
)  e.  U )
18 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  ( R  ^s  B
) )  =  ( .r `  ( R  ^s  B ) )
1914, 15, 18rhmmul 17248 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .xb 
N ) )  =  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) ) )
207, 11, 13, 19syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M ) ( .r `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
22 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
235, 22eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
2514, 21rhmf 17247 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
267, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2726, 11ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2826, 13ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
29 evl1muld.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
304, 21, 1, 24, 27, 28, 29, 18pwsmulrval 14763 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) )
3120, 30eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) )
3231fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  oF  .x.  ( O `  N )
) `  Y )
)
334, 5, 21, 1, 24, 27pwselbas 14761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
34 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
364, 5, 21, 1, 24, 28pwselbas 14761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
37 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
39 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
40 fnfvof 6548 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4135, 38, 24, 39, 40syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4210simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4312simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
4442, 43oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V 
.x.  W ) )
4532, 41, 443eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) )
4617, 45jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   Basecbs 14507   .rcmulr 14573    ^s cpws 14719   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   RingHom crh 17233  Poly1cpl1 18086  eval1ce1 18221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-assa 17831  df-asp 17832  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-evls 18041  df-evl 18042  df-psr1 18089  df-ply1 18091  df-evl1 18223
This theorem is referenced by:  evl1vsd  18250
  Copyright terms: Public domain W3C validator