MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Structured version   Unicode version

Theorem evl1muld 17782
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1addd.4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
evl1muld.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
evl1muld.s  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1muld  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
2 evl1addd.q . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
3 evl1addd.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
5 evl1addd.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
62, 3, 4, 5evl1rhm 17771 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B
) ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) ) )
8 rhmrcl1 16814 . . . 4  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  P  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
10 evl1addd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
1110simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
12 evl1addd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W ) )
1312simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  U )
14 evl1addd.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
15 evl1muld.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1614, 15rngcl 16663 . . 3  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( M  .xb  N )  e.  U )
179, 11, 13, 16syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  .xb  N
)  e.  U )
18 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  ( R  ^s  B
) )  =  ( .r `  ( R  ^s  B ) )
1914, 15, 18rhmmul 16822 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  B ) )  /\  M  e.  U  /\  N  e.  U )  ->  ( O `  ( M  .xb 
N ) )  =  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) ) )
207, 11, 13, 19syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M ) ( .r `  ( R  ^s  B ) ) ( O `  N ) ) )
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
22 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
235, 22eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
2514, 21rhmf 16821 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  B ) )  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
267, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O : U --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2726, 11ffvelrnd 5849 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
2826, 13ffvelrnd 5849 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
29 evl1muld.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
304, 21, 1, 24, 27, 28, 29, 18pwsmulrval 14434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) ( .r
`  ( R  ^s  B
) ) ( O `
 N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) )
3120, 30eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  ( M  .xb  N ) )  =  ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) )
3231fveq1d 5698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  M )  oF  .x.  ( O `  N )
) `  Y )
)
334, 5, 21, 1, 24, 27pwselbas 14432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  M
) : B --> B )
34 ffn 5564 . . . . 5  |-  ( ( O `  M ) : B --> B  -> 
( O `  M
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  M
)  Fn  B )
364, 5, 21, 1, 24, 28pwselbas 14432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  N
) : B --> B )
37 ffn 5564 . . . . 5  |-  ( ( O `  N ) : B --> B  -> 
( O `  N
)  Fn  B )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  N
)  Fn  B )
39 evl1addd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
40 fnfvof 6338 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  M )  Fn  B  /\  ( O `  N
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4135, 38, 24, 39, 40syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M )  oF  .x.  ( O `
 N ) ) `
 Y )  =  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
) )
4210simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V )
4312simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  N ) `  Y
)  =  W )
4442, 43oveq12d 6114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 M ) `  Y )  .x.  (
( O `  N
) `  Y )
)  =  ( V 
.x.  W ) )
4532, 41, 443eqtrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) )
4617, 45jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  .xb  N )  e.  U  /\  ( ( O `  ( M  .xb  N ) ) `  Y )  =  ( V  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   Basecbs 14179   .rcmulr 14244    ^s cpws 14390   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   RingHom crh 16809  Poly1cpl1 17638  eval1ce1 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-srg 16613  df-rng 16652  df-cring 16653  df-rnghom 16811  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-assa 17389  df-asp 17390  df-ascl 17391  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-evls 17593  df-evl 17594  df-psr1 17641  df-ply1 17643  df-evl1 17756
This theorem is referenced by:  evl1vsd  17783
  Copyright terms: Public domain W3C validator