MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummul Structured version   Unicode version

Theorem evl1gsummul 18207
Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q  |-  Q  =  (eval1 `  R )
evl1gsumadd.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evl1gsumadd.w  |-  W  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumadd.p  |-  P  =  ( R  ^s  K )
evl1gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
evl1gsumadd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumadd.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
evl1gsumadd.n  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
evl1gsummul.1  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
evl1gsummul.g  |-  G  =  (mulGrp `  W )
evl1gsummul.h  |-  H  =  (mulGrp `  P )
evl1gsummul.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
Assertion
Ref Expression
evl1gsummul  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, N    x, Q    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    .1. ( x)    G( x)    H( x)    W( x)    Y( x)

Proof of Theorem evl1gsummul
StepHypRef Expression
1 evl1gsummul.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  W )
2 evl1gsumadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2mgpbas 16961 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 evl1gsummul.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
51, 4rngidval 16969 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
6 evl1gsumadd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 evl1gsumadd.w . . . . 5  |-  W  =  (Poly1 `  R )
87ply1crng 18048 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  W  e.  CRing
)
91crngmgp 17020 . . . 4  |-  ( W  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
106, 8, 93syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
11 crngrng 17022 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
126, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evl1gsumadd.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
14 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1513, 14eqeltri 2551 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
1612, 15jctir 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )
)
17 evl1gsumadd.p . . . . 5  |-  P  =  ( R  ^s  K )
1817pwsrng 17077 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )  ->  P  e.  Ring )
19 evl1gsummul.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  P )
2019rngmgp 17018 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
2116, 18, 203syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
22 nn0ex 10802 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
24 evl1gsumadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
2523, 24ssexd 4594 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  _V )
26 evl1gsumadd.q . . . . 5  |-  Q  =  (eval1 `  R )
2726, 7, 17, 13evl1rhm 18179 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  ( W RingHom  P ) )
281, 19rhmmhm 17184 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( W RingHom  P
)  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
296, 27, 283syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
30 evl1gsumadd.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
31 evl1gsummul.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
323, 5, 10, 21, 25, 29, 30, 31gsummptmhm 16778 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `  Y
) ) )  =  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) ) )
3332eqcomd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   finSupp cfsupp 7830   NN0cn0 10796   Basecbs 14493    gsumg cgsu 14699    ^s cpws 14705   Mndcmnd 15729   MndHom cmhm 15787  CMndccmn 16613  mulGrpcmgp 16955   1rcur 16967   Ringcrg 17012   CRingccrg 17013   RingHom crh 17174  Poly1cpl1 18027  eval1ce1 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-srg 16972  df-rng 17014  df-cring 17015  df-rnghom 17177  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-assa 17772  df-asp 17773  df-ascl 17774  df-psr 17816  df-mvr 17817  df-mpl 17818  df-opsr 17820  df-evls 17982  df-evl 17983  df-psr1 18030  df-ply1 18032  df-evl1 18164
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator