MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummul Structured version   Unicode version

Theorem evl1gsummul 18883
Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q  |-  Q  =  (eval1 `  R )
evl1gsumadd.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evl1gsumadd.w  |-  W  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumadd.p  |-  P  =  ( R  ^s  K )
evl1gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
evl1gsumadd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumadd.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
evl1gsumadd.n  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
evl1gsummul.1  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
evl1gsummul.g  |-  G  =  (mulGrp `  W )
evl1gsummul.h  |-  H  =  (mulGrp `  P )
evl1gsummul.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
Assertion
Ref Expression
evl1gsummul  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, N    x, Q    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    .1. ( x)    G( x)    H( x)    W( x)    Y( x)

Proof of Theorem evl1gsummul
StepHypRef Expression
1 evl1gsummul.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  W )
2 evl1gsumadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2mgpbas 17664 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 evl1gsummul.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
51, 4ringidval 17672 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
6 evl1gsumadd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 evl1gsumadd.w . . . . 5  |-  W  =  (Poly1 `  R )
87ply1crng 18726 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  W  e.  CRing
)
91crngmgp 17723 . . . 4  |-  ( W  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
106, 8, 93syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
11 crngring 17726 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
126, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evl1gsumadd.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
14 fvex 5891 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1513, 14eqeltri 2513 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
1612, 15jctir 540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )
)
17 evl1gsumadd.p . . . . 5  |-  P  =  ( R  ^s  K )
1817pwsring 17778 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )  ->  P  e.  Ring )
19 evl1gsummul.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  P )
2019ringmgp 17721 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
2116, 18, 203syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
22 nn0ex 10875 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
24 evl1gsumadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
2523, 24ssexd 4572 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  _V )
26 evl1gsumadd.q . . . . 5  |-  Q  =  (eval1 `  R )
2726, 7, 17, 13evl1rhm 18855 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  ( W RingHom  P ) )
281, 19rhmmhm 17885 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( W RingHom  P
)  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
296, 27, 283syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
30 evl1gsumadd.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
31 evl1gsummul.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
323, 5, 10, 21, 25, 29, 30, 31gsummptmhm 17508 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `  Y
) ) )  =  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) ) )
3332eqcomd 2437 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   finSupp cfsupp 7889   NN0cn0 10869   Basecbs 15084    gsumg cgsu 15298    ^s cpws 15304   Mndcmnd 16486   MndHom cmhm 16531  CMndccmn 17365  mulGrpcmgp 17658   1rcur 17670   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716   RingHom crh 17875  Poly1cpl1 18705  eval1ce1 18838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-srg 17675  df-ring 17717  df-cring 17718  df-rnghom 17878  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-assa 18471  df-asp 18472  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mvr 18516  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-evls 18664  df-evl 18665  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-evl1 18840
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator