MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummul Structured version   Unicode version

Theorem evl1gsummul 17794
Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q  |-  Q  =  (eval1 `  R )
evl1gsumadd.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evl1gsumadd.w  |-  W  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumadd.p  |-  P  =  ( R  ^s  K )
evl1gsumadd.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
evl1gsumadd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumadd.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
evl1gsumadd.n  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
evl1gsummul.1  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
evl1gsummul.g  |-  G  =  (mulGrp `  W )
evl1gsummul.h  |-  H  =  (mulGrp `  P )
evl1gsummul.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
Assertion
Ref Expression
evl1gsummul  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, K    x, N    x, Q    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    .1. ( x)    G( x)    H( x)    W( x)    Y( x)

Proof of Theorem evl1gsummul
StepHypRef Expression
1 evl1gsummul.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  W )
2 evl1gsumadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2mgpbas 16597 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 evl1gsummul.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  W )
51, 4rngidval 16605 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
6 evl1gsumadd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 evl1gsumadd.w . . . . 5  |-  W  =  (Poly1 `  R )
87ply1crng 17654 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  W  e.  CRing
)
91crngmgp 16653 . . . 4  |-  ( W  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
106, 8, 93syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
11 crngrng 16655 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
126, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evl1gsumadd.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
14 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1513, 14eqeltri 2513 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
1612, 15jctir 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )
)
17 evl1gsumadd.p . . . . 5  |-  P  =  ( R  ^s  K )
1817pwsrng 16707 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  _V )  ->  P  e.  Ring )
19 evl1gsummul.h . . . . 5  |-  H  =  (mulGrp `  P )
2019rngmgp 16651 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  H  e. 
Mnd )
2116, 18, 203syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
22 nn0ex 10585 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
24 evl1gsumadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  C_  NN0 )
2523, 24ssexd 4439 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  _V )
26 evl1gsumadd.q . . . . 5  |-  Q  =  (eval1 `  R )
2726, 7, 17, 13evl1rhm 17766 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  ( W RingHom  P ) )
281, 19rhmmhm 16812 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( W RingHom  P
)  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
296, 27, 283syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( G MndHom  H ) )
30 evl1gsumadd.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N )  ->  Y  e.  B )
31 evl1gsummul.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N  |->  Y ) finSupp  .1.  )
323, 5, 10, 21, 25, 29, 30, 31gsummptmhm 16436 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `  Y
) ) )  =  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) ) )
3332eqcomd 2448 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( G  gsumg  ( x  e.  N  |->  Y ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( Q `
 Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   finSupp cfsupp 7620   NN0cn0 10579   Basecbs 14174    gsumg cgsu 14379    ^s cpws 14385   Mndcmnd 15409   MndHom cmhm 15462  CMndccmn 16277  mulGrpcmgp 16591   1rcur 16603   Ringcrg 16645   CRingccrg 16646   RingHom crh 16804  Poly1cpl1 17633  eval1ce1 17749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-srg 16608  df-rng 16647  df-cring 16648  df-rnghom 16806  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-assa 17384  df-asp 17385  df-ascl 17386  df-psr 17423  df-mvr 17424  df-mpl 17425  df-opsr 17427  df-evls 17588  df-evl 17589  df-psr1 17636  df-ply1 17638  df-evl1 17751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator