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Theorem evl1gsumdlem 18885
Description: Lemma for evl1gsumd 18886 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1gsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1gsumd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1gsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, U    x, Y    x, a    x, m
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( x, m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    U( m, a)    M( x, m, a)    O( m, a)    Y( m, a)

Proof of Theorem evl1gsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3644 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U ) )
2 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 evl1gsumd.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngring 17732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1312ply1ring 18782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
15 ringcmn 17752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
17163ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1817ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  P  e. CMnd )
19 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  m  e.  Fin )
20 rspcsbela 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
)
2120expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U ) )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2423imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U )
25 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  a  e.  _V )
27 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  -.  a  e.  m )
28 ssnid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
29 rspcsbela 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
3028, 29mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U
)
3130adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
32 csbeq1 3395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
337, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32gsumunsn 17533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
346, 33syl5eq 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
352, 3, 4cbvmpt 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3635eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3736oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3837oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3934, 38syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  ( O `
 ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) )
4140fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y ) )
42 evl1gsumd.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  (eval1 `  R )
43 evl1gsumd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  R
)
4493ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  CRing )
4544ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e.  CRing )
46 evl1gsumd.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
47463ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  Y  e.  B )
4847ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  Y  e.  B )
49 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  A. x  e.  m  M  e.  U )
507, 18, 19, 49gsummptcl 17540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U )
51 eqidd 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
5250, 51jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U  /\  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ) )
53 eqidd 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
5431, 53jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  U  /\  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y ) ) )
55 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
5642, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55evl1addd 18870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) ) )
5756simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
5841, 57eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
6058, 59sylan9eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
61 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( ( O `  M ) `  Y
)
62 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
)
63 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6461, 62, 63cbvmpt 4508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6564oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
66 ringcmn 17752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6711, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
68673ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
6968ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e. CMnd )
70 csbfv12 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )
71 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
72 csbfv2g 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M )
74 csbconstg 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y )
7571, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y
7673, 75fveq12i 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )
7770, 76eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `  Y
)
7845adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  R  e.  CRing )
7948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  Y  e.  B )
8042, 12, 43, 7, 78, 79, 24fveval1fvcl 18862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  (
( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
8177, 80syl5eqel 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  e.  B )
8242, 12, 43, 7, 45, 48, 31fveval1fvcl 18862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
83 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
84 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x O
85 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8684, 85nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( O `  [_ a  /  x ]_ M )
87 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x Y
8886, 87nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)
89 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
9089fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( O `  M )  =  ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) )
9190fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9283, 88, 91csbhypf 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9343, 55, 69, 19, 81, 26, 27, 82, 92gsumunsn 17533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9465, 93syl5eq 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9561, 62, 63cbvmpt 4508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
9695eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( x  e.  m  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )
9796oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )
9897oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9994, 98syl6req 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
10099adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
10160, 100eqtrd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
102101exp31 607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
103102com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
104103ex 435 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
105104a2d 29 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
106105imp4b 593 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
1071, 106syl5bi 220 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) )
108107ex 435 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078   [_csb 3392    u. cun 3431   {csn 3993    |-> cmpt 4475   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   Basecbs 15081   +g cplusg 15150    gsumg cgsu 15299  CMndccmn 17371   Ringcrg 17721   CRingccrg 17722  Poly1cpl1 18711  eval1ce1 18844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-hom 15174  df-cco 15175  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-prds 15306  df-pws 15308  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mulg 16628  df-subg 16766  df-ghm 16833  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-srg 17681  df-ring 17723  df-cring 17724  df-rnghom 17884  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-assa 18477  df-asp 18478  df-ascl 18479  df-psr 18521  df-mvr 18522  df-mpl 18523  df-opsr 18525  df-evls 18670  df-evl 18671  df-psr1 18714  df-ply1 18716  df-evl1 18846
This theorem is referenced by:  evl1gsumd  18886
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