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Theorem evl1gsumdlem 18999
Description: Lemma for evl1gsumd 19000 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1gsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1gsumd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1gsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, U    x, Y    x, a    x, m
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( x, m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    U( m, a)    M( x, m, a)    O( m, a)    Y( m, a)

Proof of Theorem evl1gsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3627 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U ) )
2 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 evl1gsumd.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngring 17846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1312ply1ring 18896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
15 ringcmn 17866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
17163ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1817ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  P  e. CMnd )
19 simpll1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  m  e.  Fin )
20 rspcsbela 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
)
2120expcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U ) )
2221adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2322adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2423imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U )
25 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  a  e.  _V )
27 simpll2 1054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  -.  a  e.  m )
28 ssnid 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
29 rspcsbela 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
3028, 29mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U
)
3130adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
32 csbeq1 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
337, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32gsumunsn 17647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
346, 33syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
352, 3, 4cbvmpt 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3635eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3736oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3837oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3934, 38syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
4039fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  ( O `
 ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) )
4140fveq1d 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y ) )
42 evl1gsumd.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  (eval1 `  R )
43 evl1gsumd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  R
)
4493ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  CRing )
4544ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e.  CRing )
46 evl1gsumd.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
47463ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  Y  e.  B )
4847ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  Y  e.  B )
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  A. x  e.  m  M  e.  U )
507, 18, 19, 49gsummptcl 17654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U )
51 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
5250, 51jca 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U  /\  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ) )
53 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
5431, 53jca 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  U  /\  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y ) ) )
55 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
5642, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55evl1addd 18984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) ) )
5756simprd 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
5841, 57eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
59 oveq1 6327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
6058, 59sylan9eq 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
61 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( ( O `  M ) `  Y
)
62 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
)
63 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6461, 62, 63cbvmpt 4510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6564oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
66 ringcmn 17866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6711, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
68673ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
6968ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e. CMnd )
70 csbfv12 5927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )
71 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
72 csbfv2g 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M )
74 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y )
7571, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y
7673, 75fveq12i 5897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )
7770, 76eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `  Y
)
7845adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  R  e.  CRing )
7948adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  Y  e.  B )
8042, 12, 43, 7, 78, 79, 24fveval1fvcl 18976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  (
( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
8177, 80syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  e.  B )
8242, 12, 43, 7, 45, 48, 31fveval1fvcl 18976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
83 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
84 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x O
85 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8684, 85nffv 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( O `  [_ a  /  x ]_ M )
87 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x Y
8886, 87nffv 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)
89 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
9089fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( O `  M )  =  ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) )
9190fveq1d 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9283, 88, 91csbhypf 3394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9343, 55, 69, 19, 81, 26, 27, 82, 92gsumunsn 17647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9465, 93syl5eq 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9561, 62, 63cbvmpt 4510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
9695eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( x  e.  m  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )
9796oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )
9897oveq1i 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9994, 98syl6req 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
10099adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
10160, 100eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
102101exp31 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
103102com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
104103ex 440 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
105104a2d 29 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
106105imp4b 599 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
1071, 106syl5bi 225 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) )
108107ex 440 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375    u. cun 3414   {csn 3980    |-> cmpt 4477   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   Basecbs 15176   +g cplusg 15245    gsumg cgsu 15394  CMndccmn 17485   Ringcrg 17835   CRingccrg 17836  Poly1cpl1 18825  eval1ce1 18958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-ofr 6564  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-srg 17795  df-ring 17837  df-cring 17838  df-rnghom 17998  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-assa 18591  df-asp 18592  df-ascl 18593  df-psr 18635  df-mvr 18636  df-mpl 18637  df-opsr 18639  df-evls 18784  df-evl 18785  df-psr1 18828  df-ply1 18830  df-evl1 18960
This theorem is referenced by:  evl1gsumd  19000
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