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Theorem evl1gsumdlem 18203
Description: Lemma for evl1gsumd 18204 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1gsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1gsumd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1gsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumdlem  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, U    x, Y    x, a    x, m
Allowed substitution hints:    ph( x, m, a)    B( x, m, a)    P( x, m, a)    R( x, m, a)    U( m, a)    M( x, m, a)    O( m, a)    Y( m, a)

Proof of Theorem evl1gsumdlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3685 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  <->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U ) )
2 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y M
3 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ M
4 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  M  =  [_ y  /  x ]_ M )
52, 3, 4cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M )
65oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )
7 evl1gsumd.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( Base `  P
)
8 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
9 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngrng 17022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1312ply1rng 18100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
15 rngcmn 17042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
17163ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  P  e. CMnd )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  P  e. CMnd )
19 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  m  e.  Fin )
20 rspcsbela 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  m  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
)
2120expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
y  e.  m  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U
) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ M  e.  U )
25 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  a  e.  _V )
27 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  -.  a  e.  m )
28 ssnid 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
{ a }
29 rspcsbela 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  { a }  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
3028, 29mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U
)
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  [_ a  /  x ]_ M  e.  U )
32 csbeq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ M  = 
[_ a  /  x ]_ M )
337, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32gsumunsn 16801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
346, 33syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
352, 3, 4cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  m  |->  M )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )
3635eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ M )  =  ( x  e.  m  |->  M )
3736oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )
3837oveq1i 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( P  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
4034, 39eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )  =  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) )
4140fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) )  =  ( O `
 ( ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) )
4241fveq1d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y ) )
43 evl1gsumd.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  (eval1 `  R )
44 evl1gsumd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  R
)
4593ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e.  CRing )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e.  CRing )
47 evl1gsumd.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
48473ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  Y  e.  B )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  Y  e.  B )
50 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  A. x  e.  m  M  e.  U )
517, 18, 19, 50gsummptcl 16809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U )
52 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
5351, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) )  e.  U  /\  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ) )
54 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
5531, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( [_ a  /  x ]_ M  e.  U  /\  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y ) ) )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
5743, 12, 44, 7, 46, 49, 53, 55, 8, 56evl1addd 18188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P
) [_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) ) )
5857simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  (
( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ( +g  `  P )
[_ a  /  x ]_ M ) ) `  Y )  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
5942, 58eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
60 oveq1 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
6159, 60sylan9eq 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
62 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( ( O `  M ) `  Y
)
63 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
)
64 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6562, 63, 64cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) )  =  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
6665oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
67 rngcmn 17042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6811, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
69683ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  R  e. CMnd )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  R  e. CMnd )
71 csbfv12 5901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )
72 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
73 csbfv2g 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) )
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ ( O `
 M )  =  ( O `  [_ y  /  x ]_ M )
75 csbconstg 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y )
7672, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ y  /  x ]_ Y  =  Y
7774, 76fveq12i 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ y  /  x ]_ ( O `  M ) `  [_ y  /  x ]_ Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )
7871, 77eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `  Y
)
7946adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  R  e.  CRing )
8049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  Y  e.  B )
8143, 12, 44, 7, 79, 80, 24fveval1fvcl 18180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  (
( O `  [_ y  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
8278, 81syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  y  e.  m )  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  e.  B )
8343, 12, 44, 7, 46, 49, 31fveval1fvcl 18180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `
 Y )  e.  B )
84 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
85 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x O
86 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ M
8785, 86nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( O `  [_ a  /  x ]_ M )
88 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x Y
8987, 88nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
)
90 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  M  =  [_ a  /  x ]_ M )
9190fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( O `  M )  =  ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) )
9291fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( O `  M
) `  Y )  =  ( ( O `
 [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9384, 89, 92csbhypf 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y )  =  ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
9444, 56, 70, 19, 82, 26, 27, 83, 93gsumunsn 16801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( m  u.  { a } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9566, 94syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) ) )
9662, 63, 64cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) )
9796eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  m  |->  [_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( x  e.  m  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )
9897oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )
9998oveq1i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  gsumg  ( y  e.  m  |-> 
[_ y  /  x ]_ ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )
10095, 99syl6req 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( m  e. 
Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  {
a } M  e.  U )  ->  (
( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ( +g  `  R ) ( ( O `  [_ a  /  x ]_ M ) `  Y
) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
10261, 101eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  /\  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
103102exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
105104ex 434 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  -> 
( A. x  e. 
{ a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
106105a2d 26 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( A. x  e.  { a } M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
107106imp4b 590 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  m  M  e.  U  /\  A. x  e.  { a } M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
1081, 107syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  m  /\  ph )  /\  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) )
109108ex 434 1  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    u. cun 3474   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   Basecbs 14493   +g cplusg 14558    gsumg cgsu 14699  CMndccmn 16613   Ringcrg 17012   CRingccrg 17013  Poly1cpl1 18027  eval1ce1 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-srg 16972  df-rng 17014  df-cring 17015  df-rnghom 17177  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-assa 17772  df-asp 17773  df-ascl 17774  df-psr 17816  df-mvr 17817  df-mpl 17818  df-opsr 17820  df-evls 17982  df-evl 17983  df-psr1 18030  df-ply1 18032  df-evl1 18164
This theorem is referenced by:  evl1gsumd  18204
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