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Theorem evl1gsumd 18888
Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1gsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1gsumd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1gsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1gsumd.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  M  e.  U )
evl1gsumd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumd  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, U    x, Y    x, B    x, N    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    M( x)

Proof of Theorem evl1gsumd
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1gsumd.m . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  M  e.  U )
2 evl1gsumd.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 raleq 2964 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  (/)  M  e.  U ) )
43anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  (/)  M  e.  U ) ) )
5 mpteq1 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  (/)  |->  M ) )
65oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )
76fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  (/)  ->  ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) )
87fveq1d 5827 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
9 mpteq1 4447 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) ) )
109oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( R 
gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
118, 10eqeq12d 2443 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) )
124, 11imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  (/)  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
13 raleq 2964 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  m  M  e.  U ) )
1413anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  m  M  e.  U )
) )
15 mpteq1 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  m  |->  M ) )
1615oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) )
1716fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) )
1817fveq1d 5827 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
19 mpteq1 4447 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  n  |->  ( ( O `  M
) `  Y )
)  =  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
2019oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
2118, 20eqeq12d 2443 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
2214, 21imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
23 raleq 2964 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U 
<-> 
A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U ) )
2423anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  /\ 
A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  (
ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U ) ) )
25 mpteq1 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )
2625oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) )
2726fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) )
2827fveq1d 5827 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
) )
29 mpteq1 4447 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( x  e.  n  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )  =  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
3029oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
3128, 30eqeq12d 2443 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
3224, 31imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
33 raleq 2964 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  N  M  e.  U ) )
3433anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  N  M  e.  U )
) )
35 mpteq1 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  N  |->  M ) )
3635oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) )
3736fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) )
3837fveq1d 5827 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
39 mpteq1 4447 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  n  |->  ( ( O `  M
) `  Y )
)  =  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
4039oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
4138, 40eqeq12d 2443 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
4234, 41imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  N  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
43 mpt0 5666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  (/)  |->  M )  =  (/)
4443oveq2i 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  (/) )
45 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4645gsum0 16464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  P )
4744, 46eqtri 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) )  =  ( 0g
`  P )
4847fveq2i 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )  =  ( O `
 ( 0g `  P ) )
49 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
50 crngring 17734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
52 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  (Poly1 `  R )
53 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
54 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5552, 53, 54, 45ply1scl0 18826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  P ) )
5651, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  P
) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  P
) )
5756eqcomd 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) ) )
5857fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( O `  ( 0g `  P ) )  =  ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) )
5948, 58syl5eq 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) )
6059fveq1d 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y ) )
61 evl1gsumd.q . . . . . . . . . 10  |-  O  =  (eval1 `  R )
62 evl1gsumd.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
63 evl1gsumd.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( Base `  P
)
64 ringgrp 17728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6551, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6662, 54grpidcl 16637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  B )
68 evl1gsumd.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6961, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68evl1scad 18866 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) )  e.  U  /\  (
( O `  (
(algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y )  =  ( 0g `  R ) ) )
7069simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y )  =  ( 0g `  R ) )
7160, 70eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( 0g `  R
) )
72 mpt0 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )  =  (/)
7372oveq2i 6260 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  (/) )
7454gsum0 16464 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  R )
7573, 74eqtri 2450 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( 0g
`  R )
7671, 75syl6eqr 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
7776adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  (/)  M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
7861, 52, 62, 63, 49, 68evl1gsumdlem 18887 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
79783expia 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
8079a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( ( ph  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
81 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
82 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
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gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
8380, 81, 823imtr4g 273 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( (
( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
8412, 22, 32, 42, 77, 83findcard2s 7765 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  N  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
8584expd 437 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A. x  e.  N  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
862, 85mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  N  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
871, 86mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714    u. cun 3377   (/)c0 3704   {csn 3941    |-> cmpt 4425   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   Basecbs 15064   0gc0g 15281    gsumg cgsu 15282   Grpcgrp 16612   Ringcrg 17723   CRingccrg 17724  algSccascl 18478  Poly1cpl1 18713  eval1ce1 18846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-hom 15157  df-cco 15158  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-prds 15289  df-pws 15291  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-ghm 16824  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-srg 17683  df-ring 17725  df-cring 17726  df-rnghom 17886  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-assa 18479  df-asp 18480  df-ascl 18481  df-psr 18523  df-mvr 18524  df-mpl 18525  df-opsr 18527  df-evls 18672  df-evl 18673  df-psr1 18716  df-ply1 18718  df-evl1 18848
This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  18890
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