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Theorem evl1gsumd 18261
Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1gsumd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1gsumd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1gsumd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1gsumd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1gsumd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1gsumd.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  M  e.  U )
evl1gsumd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumd  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, U    x, Y    x, B    x, N    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    M( x)

Proof of Theorem evl1gsumd
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1gsumd.m . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  M  e.  U )
2 evl1gsumd.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  (/)  M  e.  U ) )
43anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  (/)  M  e.  U ) ) )
5 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  (/)  |->  M ) )
65oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )
76fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  (/)  ->  ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) )
87fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
9 mpteq1 4533 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) ) )
109oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( R 
gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
118, 10eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) )
124, 11imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  (/)  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
13 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  m  M  e.  U ) )
1413anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  m  M  e.  U )
) )
15 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  m  |->  M ) )
1615oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) )
1817fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
19 mpteq1 4533 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  n  |->  ( ( O `  M
) `  Y )
)  =  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
2019oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
2118, 20eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
2214, 21imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
23 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U 
<-> 
A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U ) )
2423anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  /\ 
A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  (
ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U ) ) )
25 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) )
2625oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) )
2726fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) )
2827fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
) )
29 mpteq1 4533 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( x  e.  n  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )  =  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
3029oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
3128, 30eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
3224, 31imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
33 raleq 3063 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  n  M  e.  U  <->  A. x  e.  N  M  e.  U ) )
3433anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  <->  ( ph  /\ 
A. x  e.  N  M  e.  U )
) )
35 mpteq1 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  n  |->  M )  =  ( x  e.  N  |->  M ) )
3635oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) )  =  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) )
3736fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) )
3837fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y ) )
39 mpteq1 4533 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  n  |->  ( ( O `  M
) `  Y )
)  =  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )
4039oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
4138, 40eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) )  <->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `  Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
4234, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  A. x  e.  n  M  e.  U )  -> 
( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  n  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  n  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. x  e.  N  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
43 mpt0 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  (/)  |->  M )  =  (/)
4443oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) )  =  ( P 
gsumg  (/) )
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4645gsum0 15778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  P )
4744, 46eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) )  =  ( 0g
`  P )
4847fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )  =  ( O `
 ( 0g `  P ) )
49 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
50 crngring 17079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
52 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  (Poly1 `  R )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
54 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5552, 53, 54, 45ply1scl0 18199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  P ) )
5651, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  P
) `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  P
) )
5756eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) ) )
5857fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( O `  ( 0g `  P ) )  =  ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) )
5948, 58syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) )  =  ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) )
6059fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y ) )
61 evl1gsumd.q . . . . . . . . . 10  |-  O  =  (eval1 `  R )
62 evl1gsumd.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
63 evl1gsumd.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( Base `  P
)
64 ringgrp 17073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6551, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6662, 54grpidcl 15949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  B )
68 evl1gsumd.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6961, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68evl1scad 18239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R ) )  e.  U  /\  (
( O `  (
(algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y )  =  ( 0g `  R ) ) )
7069simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  ( 0g `  R
) ) ) `  Y )  =  ( 0g `  R ) )
7160, 70eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( 0g `  R
) )
72 mpt0 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `
 M ) `  Y ) )  =  (/)
7372oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( R 
gsumg  (/) )
7454gsum0 15778 . . . . . . . 8  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  R )
7573, 74eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) )  =  ( 0g
`  R )
7671, 75syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  (/)  M  e.  U
)  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  (/)  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (/)  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )
7861, 52, 62, 63, 49, 68evl1gsumdlem 18260 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m  /\  ph )  ->  (
( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
79783expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( ( ph  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) ) )
81 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A. x  e.  m  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P 
gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
82 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U )  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u. 
{ a } ) 
|->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( m  u.  {
a } ) M  e.  U  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
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gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
8380, 81, 823imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  Fin  /\  -.  a  e.  m
)  ->  ( (
( ph  /\  A. x  e.  m  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  m  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  m  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. x  e.  ( m  u.  { a } ) M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  ( m  u.  { a } )  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
m  u.  { a } )  |->  ( ( O `  M ) `
 Y ) ) ) ) ) )
8412, 22, 32, 42, 77, 83findcard2s 7773 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A. x  e.  N  M  e.  U )  ->  (
( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
8584expd 436 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A. x  e.  N  M  e.  U  ->  ( ( O `
 ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) ) )
862, 85mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  N  M  e.  U  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) ) )
871, 86mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( P  gsumg  ( x  e.  N  |->  M ) ) ) `
 Y )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( O `  M ) `  Y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    u. cun 3479   (/)c0 3790   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   Basecbs 14506   0gc0g 14711    gsumg cgsu 14712   Grpcgrp 15924   Ringcrg 17068   CRingccrg 17069  algSccascl 17828  Poly1cpl1 18084  eval1ce1 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-srg 17028  df-ring 17070  df-cring 17071  df-rnghom 17234  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-assa 17829  df-asp 17830  df-ascl 17831  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-evls 18039  df-evl 18040  df-psr1 18087  df-ply1 18089  df-evl1 18221
This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  18263
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