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Theorem evl1fval 17762
Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1fval.q  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
evl1fval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
evl1fval  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, Q    x, R
Allowed substitution hints:    Q( y)    R( y)    O( x, y)

Proof of Theorem evl1fval
Dummy variables  i 
r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
4 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( Base `  r
)  ->  b  =  ( Base `  r )
)
5 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
6 evl1fval.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
75, 6syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
84, 7sylan9eqr 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
b  =  B )
98oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
108, 9oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
118mpteq1d 4373 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )
1211coeq2d 5002 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
1310, 12mpteq12dv 4370 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) ) )
14 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
r  =  R )
1514oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  ( 1o eval  R
) )
16 evl1fval.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 1o eval  R )
1715, 16syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( 1o eval  r )  =  Q )
1813, 17coeq12d 5004 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  ( Base `  r ) )  -> 
( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
193, 18csbied 3314 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  [_ ( Base `  r )  / 
b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
20 df-evl1 17751 . . . 4  |- eval1  =  (
r  e.  _V  |->  [_ ( Base `  r )  /  b ]_ (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( 1o eval 
r ) ) )
21 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
2221mptex 5948 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
23 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  e.  _V
2416, 23eqeltri 2513 . . . . 5  |-  Q  e. 
_V
2522, 24coex 6529 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  e.  _V
2619, 20, 25fvmpt 5774 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q ) )
271, 26syl5eq 2487 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
28 fvprc 5685 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (eval1 `  R )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
30 co02 5351 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
32 df-evl 17589 . . . . . . 7  |- eval  =  ( i  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  ( ( i evalSub  r ) `
 ( Base `  r
) ) )
3332reldmmpt2 6201 . . . . . 6  |-  Rel  dom eval
3433ovprc2 6120 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1o eval  R )  =  (/) )
3516, 34syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  Q  =  (/) )
3635coeq2d 5002 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (/) ) )
3731, 36eqtr4d 2478 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  Q
) )
3827, 37pm2.61i 164 1  |-  O  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   [_csb 3288   (/)c0 3637   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1oc1o 6913    ^m cmap 7214   Basecbs 14174   evalSub ces 17586   eval cevl 17587  eval1ce1 17749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-evl 17589  df-evl1 17751
This theorem is referenced by:  evl1val  17763  evl1fval1lem  17764  evl1rhm  17766  pf1rcl  17783
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