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Theorem eupatrl 23740
Description: An Eulerian path is a trail.

Unfortunately, the edge function  F of an Eulerian path has the domain  ( 1 ... ( # `  F
) ), whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain  ( 0..^ ( # `  F
) ) (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 23671, fargshiftfv 23672, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis
Ref Expression
eupatrl.f  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
eupatrl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem eupatrl
Dummy variables  e 
f  k  n  p  v  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-eupa 23735 . . . 4  |- EulPaths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
21brovmpt2ex 6850 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 eupatrl.f . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
4 ovex 6224 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
54mptex 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( F `  ( x  +  1
) ) )  e. 
_V
63, 5eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  G  e.  _V )
87anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
98anim2i 569 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
102, 9syl 16 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
11 f1ofn 5749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... n
) )
12 fseq1hash 12256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... n ) )  ->  ( # `  F
)  =  n )
1311, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E )  -> 
( # `  F )  =  n )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  =  n )
15 f1of1 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
163fargshiftf1 23674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
20 f1ofo 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)
213fargshiftfo 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E )
25 df-f1o 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  <->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
) )
2619, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E )
27 f1ofn 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
28 hashfn 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
2928anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3029ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3127, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
32 hashfzo0 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
3332eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) )
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )
35 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3734, 36syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  ->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) ) )
3831, 37mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
3926, 38sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
40 df-f1 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' G ) )
41 iswrdi 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  Fun  `' G )  ->  G  e. Word  dom  E )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G  e. Word  dom 
E )
4525, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  e. Word  dom 
E )
4645ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  G  e. Word  dom  E )
4740simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  Fun  `' G )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  Fun  `' G
)
4925, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  Fun  `' G
)
5049ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  Fun  `' G
)
5146, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G ) )
52 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5352biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  G
) )
5554oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  G ) ) )
5655feq2d 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V ) )
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
58 f1of 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)
59 fargshiftlem 23671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
60 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
61 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
6261fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `
 ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( l  +  1 )  - 
1 ) )
65 elfzoelz 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  ZZ )
6665zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  CC )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  CC )
68 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
1  e.  CC )
7067, 69pncand 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( l  +  1 )  -  1 )  =  l )
7164, 70sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  =  l )
7271fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  l ) )
73 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7572, 74preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } )
7663, 75eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
k  =  ( l  +  1 )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
81 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
8281anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8584ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
863fargshiftfv 23672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) )
8887eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
8983, 85, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
9089fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  ( E `
 ( G `  l ) ) )
9190eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9280, 91bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9360, 92rspcdv 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
9594com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9659, 95mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9796ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9897com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( E `  ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9998imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
10099ralrimiv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
10358, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
105 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ ( # `  G
) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
106105raleqdv 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
107106imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )  <->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
108104, 107syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  ->  (
( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
110109imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
11251, 57, 1113jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
113112exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
11439, 113mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
116 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
117116eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
118 f1oeq2 5740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
120 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
121120eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
122119, 121anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 ) 
<->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )
) )
123117raleqdv 3027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
124 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
125124eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
126125feq2d 5654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
127126imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )  <->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
128123, 127imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )  <-> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
129115, 122, 1283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
13014, 129mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
131130ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
132131com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
1331323imp 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
134133com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
135134rexlimiv 2939 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
136135adantl 466 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
137136a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
138 eqid 2454 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  E
139 iseupa 23737 . . . 4  |-  ( dom 
E  =  dom  E  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
140138, 139mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P 
<->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
141 istrl 23587 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( G
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
142137, 140, 1413imtr4d 268 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P ) )
14310, 142mpcom 36 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076   {cpr 3986   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   -onto->wfo 5523   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    - cmin 9705   NN0cn0 10689   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   #chash 12219  Word cword 12338   UMGrph cumg 23397   Trails ctrail 23557   EulPaths ceup 23734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-hash 12220  df-word 12346  df-umgra 23398  df-wlk 23566  df-trail 23567  df-eupa 23735
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