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Theorem eupatrl 24672
Description: An Eulerian path is a trail.

Unfortunately, the edge function  F of an Eulerian path has the domain  ( 1 ... ( # `  F
) ), whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain  ( 0..^ ( # `  F
) ) (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 24338, fargshiftfv 24339, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis
Ref Expression
eupatrl.f  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
eupatrl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem eupatrl
Dummy variables  e 
f  k  n  p  v  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-eupa 24667 . . . 4  |- EulPaths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
21brovmpt2ex 6951 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 eupatrl.f . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
4 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
54mptex 6131 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( F `  ( x  +  1
) ) )  e. 
_V
63, 5eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  G  e.  _V )
87anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
98anim2i 569 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
102, 9syl 16 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
11 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... n
) )
12 fseq1hash 12412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... n ) )  ->  ( # `  F
)  =  n )
1311, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E )  -> 
( # `  F )  =  n )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  =  n )
15 f1of1 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
163fargshiftf1 24341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
20 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)
213fargshiftfo 24342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E )
25 df-f1o 5595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  <->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
) )
2619, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E )
27 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
28 hashfn 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
2928anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3029ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3127, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
32 hashfzo0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
3332eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) )
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )
35 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3734, 36syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  ->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) ) )
3831, 37mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
3926, 38sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
40 df-f1 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' G ) )
41 iswrdi 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  Fun  `' G )  ->  G  e. Word  dom  E )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G  e. Word  dom 
E )
4525, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  e. Word  dom 
E )
4645ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  G  e. Word  dom  E )
4740simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  Fun  `' G )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  Fun  `' G
)
4925, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  Fun  `' G
)
5049ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  Fun  `' G
)
5146, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G ) )
52 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5352biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  G
) )
5554oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  G ) ) )
5655feq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V ) )
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
58 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)
59 fargshiftlem 24338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
60 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
61 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
6261fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `
 ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( l  +  1 )  - 
1 ) )
65 elfzoelz 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  ZZ )
6665zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  CC )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  CC )
68 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
1  e.  CC )
7067, 69pncand 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( l  +  1 )  -  1 )  =  l )
7164, 70sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  =  l )
7271fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  l ) )
73 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7572, 74preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } )
7663, 75eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
k  =  ( l  +  1 )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
81 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
8281anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8584ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
863fargshiftfv 24339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) )
8887eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
8983, 85, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
9089fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  ( E `
 ( G `  l ) ) )
9190eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9280, 91bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9360, 92rspcdv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
9594com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9659, 95mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9796ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9897com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( E `  ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9998imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
10099ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
10358, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
105 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ ( # `  G
) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
106105raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
107106imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )  <->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
108104, 107syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  ->  (
( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
110109imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
11251, 57, 1113jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
113112exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
11439, 113mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
116 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
117116eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
118 f1oeq2 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
120 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
121120eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
122119, 121anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 ) 
<->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )
) )
123117raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
124 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
125124eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
126125feq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
127126imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )  <->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
128123, 127imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )  <-> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
129115, 122, 1283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
13014, 129mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
131130ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
132131com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
1331323imp 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
134133com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
135134rexlimiv 2949 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
136135adantl 466 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
137136a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
138 eqid 2467 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  E
139 iseupa 24669 . . . 4  |-  ( dom 
E  =  dom  E  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
140138, 139mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P 
<->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
141 istrl 24243 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( G
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
142137, 140, 1413imtr4d 268 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P ) )
14310, 142mpcom 36 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373  Word cword 12500   UMGrph cumg 24016   Trails ctrail 24203   EulPaths ceup 24666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-umgra 24017  df-wlk 24212  df-trail 24213  df-eupa 24667
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