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Theorem eupatrl 25094
Description: An Eulerian path is a trail.

Unfortunately, the edge function  F of an Eulerian path has the domain  ( 1 ... ( # `  F
) ), whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain  ( 0..^ ( # `  F
) ) (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 24760, fargshiftfv 24761, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis
Ref Expression
eupatrl.f  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
eupatrl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem eupatrl
Dummy variables  e 
f  k  n  p  v  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-eupa 25089 . . . 4  |- EulPaths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
21brovmpt2ex 6969 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 eupatrl.f . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
4 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
54mptex 6144 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( F `  ( x  +  1
) ) )  e. 
_V
63, 5eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  G  e.  _V )
87anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
98anim2i 569 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
102, 9syl 16 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
11 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... n
) )
12 fseq1hash 12446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... n ) )  ->  ( # `  F
)  =  n )
1311, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E )  -> 
( # `  F )  =  n )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  =  n )
15 f1of1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
163fargshiftf1 24763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
20 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)
213fargshiftfo 24764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E )
25 df-f1o 5601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  <->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
) )
2619, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E )
27 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
28 hashfn 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
2928anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3029ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3127, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
32 hashfzo0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
3332eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) )
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )
35 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3734, 36syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  ->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) ) )
3831, 37mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
3926, 38sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
40 df-f1 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' G ) )
41 iswrdi 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  Fun  `' G )  ->  G  e. Word  dom  E )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G  e. Word  dom 
E )
4525, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  e. Word  dom 
E )
4645ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  G  e. Word  dom  E )
4740simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  Fun  `' G )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  Fun  `' G
)
4925, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  Fun  `' G
)
5049ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  Fun  `' G
)
5146, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G ) )
52 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5352biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  G
) )
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  G ) ) )
5655feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V ) )
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
58 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)
59 fargshiftlem 24760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
60 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
6261fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `
 ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( l  +  1 )  - 
1 ) )
65 elfzoelz 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  ZZ )
6665zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  CC )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  CC )
68 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
1  e.  CC )
6967, 68pncand 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( l  +  1 )  -  1 )  =  l )
7064, 69sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  =  l )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  l ) )
72 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7471, 73preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } )
7563, 74eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
k  =  ( l  +  1 )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
80 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
8180anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8483ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
853fargshiftfv 24761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) )
8786eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
8882, 84, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
8988fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  ( E `
 ( G `  l ) ) )
9089eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9179, 90bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9260, 91rspcdv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
9493com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9559, 94mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9695ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9796com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( E `  ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9897imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
9998ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
10099ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
101100expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
10258, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
103102imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
104 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ ( # `  G
) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
105104raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
106105imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )  <->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
107103, 106syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  ->  (
( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
109108imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
11151, 57, 1103jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
112111exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
11339, 112mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
115 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
116115eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
117 f1oeq2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
119 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
120119eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
121118, 120anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 ) 
<->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )
) )
122116raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
123 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
124123eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
125124feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
126125imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )  <->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
127122, 126imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )  <-> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
128114, 121, 1273imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
12914, 128mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
130129ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
131130com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
1321313imp 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
133132com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
134133rexlimiv 2943 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
135134adantl 466 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
136135a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
137 eqid 2457 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  E
138 iseupa 25091 . . . 4  |-  ( dom 
E  =  dom  E  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
139137, 138mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P 
<->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
140 istrl 24665 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( G
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
141136, 139, 1403imtr4d 268 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P ) )
14210, 141mpcom 36 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820   #chash 12407  Word cword 12537   UMGrph cumg 24438   Trails ctrail 24625   EulPaths ceup 25088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-hash 12408  df-word 12545  df-umgra 24439  df-wlk 24634  df-trail 24635  df-eupa 25089
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