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Theorem eupatrl 23412
Description: An Eulerian path is a trail.

Unfortunately, the edge function  F of an Eulerian path has the domain  ( 1 ... ( # `  F
) ), whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain  ( 0..^ ( # `  F
) ) (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 23343, fargshiftfv 23344, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis
Ref Expression
eupatrl.f  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
eupatrl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem eupatrl
Dummy variables  e 
f  k  n  p  v  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-eupa 23407 . . . 4  |- EulPaths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
21brovmpt2ex 6730 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 eupatrl.f . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
4 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  e.  _V
54mptex 5935 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  |->  ( F `  ( x  +  1
) ) )  e. 
_V
63, 5eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  G  e.  _V )
87anim1i 563 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
98anim2i 564 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
102, 9syl 16 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
11 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... n
) )
12 fseq1hash 12123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... n ) )  ->  ( # `  F
)  =  n )
1311, 12sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E )  -> 
( # `  F )  =  n )
1413ancoms 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  =  n )
15 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
163fargshiftf1 23346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
20 f1ofo 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)
213fargshiftfo 23347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E )
25 df-f1o 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  <->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
) )
2619, 24, 25sylanbrc 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E )
27 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
28 hashfn 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
2928anim2i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3029ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
3127, 30sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
32 hashfzo0 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  =  ( # `  F
) )
3332eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) )
3433biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )
35 pm3.2 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  ( ( # `
 G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3635adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) ) )
3734, 36syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( # `  G )  =  ( # `  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  ->  ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) ) ) )
3831, 37mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
3926, 38sylancom 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
) )
40 df-f1 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  Fun  `' G ) )
41 iswrdi 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4241adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  Fun  `' G )  ->  G  e. Word  dom  E )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  G  e. Word  dom  E )
4443adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  G  e. Word  dom 
E )
4525, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  G  e. Word  dom 
E )
4645ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  G  e. Word  dom  E )
4740simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  Fun  `' G )
4847adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -onto-> dom  E
)  ->  Fun  `' G
)
4925, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  ->  Fun  `' G
)
5049ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  Fun  `' G
)
5146, 50jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G ) )
52 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5352biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  G ) )
5453ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  G
) )
5554oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  G ) ) )
5655feq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V ) )
5756biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
58 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)
59 fargshiftlem 23343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
60 simpll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
61 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( l  +  1 ) ) )
6261fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
6362adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `
 ( F `  ( l  +  1 ) ) ) )
64 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( l  +  1 )  - 
1 ) )
65 elfzoelz 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  ZZ )
6665zcnd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  l  e.  CC )
6766adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  CC )
68 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
1  e.  CC )
7067, 69pncand 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( l  +  1 )  -  1 )  =  l )
7164, 70sylan9eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( k  - 
1 )  =  l )
7271fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  l ) )
73 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7473adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( l  +  1 ) ) )
7572, 74preq12d 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } )
7663, 75eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7877adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
7978adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
k  =  ( l  +  1 )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( F `  (
l  +  1 ) ) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
81 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
8281anim1i 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E ) )
8382adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
) )
84 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8584ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
863fargshiftfv 23344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( G `  l
)  =  ( F `
 ( l  +  1 ) ) )
8887eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
8983, 85, 88syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( F `  (
l  +  1 ) )  =  ( G `
 l ) )
9089fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  ( E `
 ( G `  l ) ) )
9190eqeq1d 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  ( l  +  1 ) ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9280, 91bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  /\  k  =  ( l  +  1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  <->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9360, 92rspcdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F ) )  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )  /\  F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `  l
) )  =  {
( P `  l
) ,  ( P `
 ( l  +  1 ) ) } ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
9594com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9659, 95mpancom 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
9796ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9897com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( E `  ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
9998imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( E `  ( G `  l )
)  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
10099ralrimiv 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
10358, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) )
105 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ ( # `  G
) )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
106105raleqdv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) }  <->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
107106imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )  <->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
108104, 107syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  G )  =  ( # `  F
)  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) )
109108adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  ->  (
( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
110109imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G
)  =  ( # `  F ) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } )
111110adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } )
11251, 57, 1113jca 1161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G : ( 0..^ (
# `  F )
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  G )  =  (
# `  F )
)  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
113112exp31 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 G )  =  ( # `  F
) )  /\  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
11439, 113mpancom 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `
 F )  e. 
NN0 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
116 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
117116eqcoms 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
118 f1oeq2 5621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  <->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E ) )
120 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
121120eqcoms 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( n  e.  NN0  <->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
)
122119, 121anbi12d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 ) 
<->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )
) )
123117raleqdv 2913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
124 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
125124eqcoms 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( 0 ... n )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
126125feq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
127126imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )  <->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
128123, 127imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )  <-> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
129115, 122, 1283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  n  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
13014, 129mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) )
131130ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
132131com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... n ) --> V  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) }  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 G ) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G ) ) ( E `  ( G `
 l ) )  =  { ( P `
 l ) ,  ( P `  (
l  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
1331323imp 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
134133com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
135134rexlimiv 2825 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
136135adantl 463 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) )
137136a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
138 eqid 2433 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  E
139 iseupa 23409 . . . 4  |-  ( dom 
E  =  dom  E  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  E  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
140138, 139mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P 
<->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) ) )
141 istrl 23259 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( G
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( G  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' G )  /\  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V  /\  A. l  e.  ( 0..^ ( # `  G
) ) ( E `
 ( G `  l ) )  =  { ( P `  l ) ,  ( P `  ( l  +  1 ) ) } ) ) )
142137, 140, 1413imtr4d 268 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( G  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P ) )
14310, 142mpcom 36 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  G ( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   {cpr 3867   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    - cmin 9583   NN0cn0 10567   ...cfz 11424  ..^cfzo 11532   #chash 12087  Word cword 12205   UMGrph cumg 23069   Trails ctrail 23229   EulPaths ceup 23406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-hash 12088  df-word 12213  df-umgra 23070  df-wlk 23238  df-trail 23239  df-eupa 23407
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