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Theorem eupatrl 25094
 Description: An Eulerian path is a trail. Unfortunately, the edge function of an Eulerian path has the domain , whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain ..^ (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 24760, fargshiftfv 24761, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
eupatrl.f ..^
Assertion
Ref Expression
eupatrl EulPaths Trails
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem eupatrl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-eupa 25089 . . . 4 EulPaths UMGrph
21brovmpt2ex 6969 . . 3 EulPaths
3 eupatrl.f . . . . . . 7 ..^
4 ovex 6324 . . . . . . . 8 ..^
54mptex 6144 . . . . . . 7 ..^
63, 5eqeltri 2541 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
87anim1i 568 . . . 4
98anim2i 569 . . 3
102, 9syl 16 . 2 EulPaths
11 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . . 13
12 fseq1hash 12446 . . . . . . . . . . . . 13
1311, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
15 f1of1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163fargshiftf1 24763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
1716expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
20 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
213fargshiftfo 24764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
2221expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
25 df-f1o 5601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^
2619, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
27 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
28 hashfn 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
2928anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
3029ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
3127, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
32 hashfzo0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
3332eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
35 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
3734, 36syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^
3831, 37mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
3926, 38sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
40 df-f1 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
41 iswrdi 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ Word
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ Word
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ Word
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ Word
4525, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Word
4645ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Word
4740simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
4925, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
5049ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5146, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ Word
52 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
5655feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
58 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 fargshiftlem 24760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
60 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6261fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ..^
64 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
65 elfzoelz 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ..^
6665zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ..^
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ..^
68 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ..^
6967, 68pncand 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ..^
7064, 69sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ..^
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ..^
72 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ..^
7471, 73preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ..^
7563, 74eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
80 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ..^
8180anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^ ..^
8483ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^ ..^
853fargshiftfv 24761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ..^
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^
8786eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
8882, 84, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
8988fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
9089eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
9179, 90bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
9260, 91rspcdv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
9392ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
9493com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
9559, 94mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
9695ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
9796com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
9897imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
9998ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
10099ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
101100expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
10258, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
103102imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
104 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
105104raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
106105imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
107103, 106syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
109108imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
11151, 57, 1103jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ Word ..^
112111exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ Word ..^
11339, 112mpancom 669 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
115 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . 14
117 f1oeq2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
119 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
120119eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 120anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
122116raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . 13
123 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124123eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
126125imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ Word ..^
127122, 126imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^ Word ..^
128114, 121, 1273imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
12914, 128mpcom 36 . . . . . . . . . 10 Word ..^
130129ex 434 . . . . . . . . 9 Word ..^
131130com24 87 . . . . . . . 8 Word ..^
1321313imp 1190 . . . . . . 7 Word ..^
133132com12 31 . . . . . 6 Word ..^
134133rexlimiv 2943 . . . . 5 Word ..^
135134adantl 466 . . . 4 UMGrph Word ..^
136135a1i 11 . . 3 UMGrph Word ..^
137 eqid 2457 . . . 4
138 iseupa 25091 . . . 4 EulPaths UMGrph
139137, 138mp1i 12 . . 3 EulPaths UMGrph
140 istrl 24665 . . 3 Trails Word ..^
141136, 139, 1403imtr4d 268 . 2 EulPaths Trails
14210, 141mpcom 36 1 EulPaths Trails
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109  cpr 4034   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008   wfun 5588   wfn 5589  wf 5590  wf1 5591  wfo 5592  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmin 9824  cn0 10816  cfz 11697  ..^cfzo 11820  chash 12407  Word cword 12537   UMGrph cumg 24438   Trails ctrail 24625   EulPaths ceup 25088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-hash 12408  df-word 12545  df-umgra 24439  df-wlk 24634  df-trail 24635  df-eupa 25089 This theorem is referenced by: (None)
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