MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupath2 Structured version   Unicode version

Theorem eupath2 25553
Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupath2.3  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
Assertion
Ref Expression
eupath2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    P( x)

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
3 eupaf1o 25543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
5 f1ofo 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) )
-onto-> A )
6 foima 5815 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> A  -> 
( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
87reseq2d 5125 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  ( E  |`  A ) )
9 fnresdm 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( E  Fn  A  ->  ( E  |`  A )  =  E )
102, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  A )  =  E )
118, 10eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  E )
1211oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )  =  ( V VDeg 
E ) )
1312fveq1d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) )
1413breq2d 4438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) ) )
1514notbid 295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x )
) )
1615rabbidv 3079 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
17 eupacl 25542 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
18 nn0re 10878 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
191, 17, 183syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
2019leidd 10179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) )
211, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
22 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  0  <_  ( # `
 F ) ) )
23 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... 0
) )
24 fz10 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  (/) )
2625imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (/) ) )
27 ima0 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  (/) )
2928reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  (/) ) )
30 res0 5129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  |`  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  (/) )
3231oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  0  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  (/) ) )
3332fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
3433breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) ) )
3534notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) ) )
3635rabbidv 3079 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) } )
37 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  m )  =  ( P ` 
0 ) )
3837eqcomd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  m ) )
3938iftrued 3923 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4036, 39eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
4122, 40imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( 0  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) )
4241imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) ) )
43 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  n  <_  ( # `  F ) ) )
44 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
4544imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... n ) ) )
4645reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) )
4746oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) )
4847fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) )
4948breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) ) )
5049notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) ) )
5150rabbidv 3079 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) } )
52 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( P `  m )  =  ( P `  n ) )
5352eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  n
) ) )
5452preq2d 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } )
5553, 54ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )
5651, 55eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )
5743, 56imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
5857imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) ) ) )
59 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F ) ) )
60 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6160imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) )
6261reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) )
6362oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6463fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) )
6564breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) ) )
6665notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) ) )
6766rabbidv 3079 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) } )
68 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) )
6968eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ) )
7068preq2d 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } )
7169, 70ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) )
7267, 71eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
7359, 72imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
7473imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
75 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) ) )
76 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
7776imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( F " ( 1 ... m
) )  =  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
7877reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) )  =  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )
7978oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F
" ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) )
8079fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) )
8180breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 2 
||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8281notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8382rabbidv 3079 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) } )
84 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
8584eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )
8684preq2d 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
8785, 86ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } )  =  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
8883, 87eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
8975, 88imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( (
m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) )  <-> 
( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
9089imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( ph  ->  ( m  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  m ) } ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (
# `  F )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) ) )
91 2z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
92 dvds0 14296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
94 eupagra 25539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
95 relumgra 24887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel UMGrph
9695brrelexi 4895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
971, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
98 vdgr0 25473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
9997, 98sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10093, 99syl5breqr 4462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
101 notnot1 125 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
102100, 101syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
103102ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) )
104 rabeq0 3790 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
105103, 104sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) )
106105a1d 26 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
107 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
108107adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
109108lep1d 10538 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
110 peano2re 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
111108, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11219adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
113 letr 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( # `  F )  e.  RR )  -> 
( ( n  <_ 
( n  +  1 )  /\  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
114108, 111, 112, 113syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( n  +  1 )  /\  ( n  +  1
)  <_  ( # `  F
) )  ->  n  <_  ( # `  F
) ) )
115109, 114mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
116115imim1d 78 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
117 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )
118117breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
119118notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 y ) ) )
120119elrab 3235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  <-> 
( y  e.  V  /\  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
1212ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  E  Fn  A )
1221ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  F
( V EulPaths  E ) P )
123 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  n  e.  NN0 )
124 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
) )
125 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
126 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )
127121, 122, 123, 124, 125, 126eupath2lem3 25552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
)  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
128127pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
129 0elpw 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  ~P V
130 eupapf 25545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
1311, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
132131ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
13321ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
134 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
135133, 134syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
136 eluzfz1 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
138132, 137ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
139 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )
140 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
141140ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
142141, 134syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
143133nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
144 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
145142, 143, 144syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
146139, 145mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
147132, 146ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V
)
148 prssi 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  C_  V )
149138, 147, 148syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
150 prex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  _V
151150elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) }  e.  ~P V  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
152149, 151sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  ~P V )
153 ifcl 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
(/)  e.  ~P V  /\  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  e.  ~P V
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
154129, 152, 153sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
155154elpwid 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  C_  V )
156155sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  ->  y  e.  V ) )
157156pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
158128, 157bitr4d 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
159120, 158syl5bb 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
160159eqrdv 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) )
161160exp32 608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
162161a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
163116, 162syld 45 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
164163expcom 436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 29 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
16642, 58, 74, 90, 106, 165nn0ind 11030 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
16721, 166mpcom 37 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
16820, 167mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
16916, 168eqtr3d 2472 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3915   ~Pcpw 3985   {cpr 4004   class class class wbr 4426    |` cres 4856   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    <_ cle 9675   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   #chash 12512    || cdvds 14283   UMGrph cumg 24885   VDeg cvdg 25466   EulPaths ceup 25535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-umgra 24886  df-vdgr 25467  df-eupa 25536
This theorem is referenced by:  eupath  25554
  Copyright terms: Public domain W3C validator