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Theorem eupath2 24812
Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupath2.3  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
Assertion
Ref Expression
eupath2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, F    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    P( x)

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( V EulPaths  E ) P )
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
3 eupaf1o 24802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A )
5 f1ofo 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... ( # `
 F ) )
-onto-> A )
6 foima 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -onto-> A  -> 
( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) )  =  A )
87reseq2d 5279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  ( E  |`  A ) )
9 fnresdm 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( E  Fn  A  ->  ( E  |`  A )  =  E )
102, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  |`  A )  =  E )
118, 10eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  =  E )
1211oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )  =  ( V VDeg 
E ) )
1312fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 x ) )
1413breq2d 4465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) ) )
1514notbid 294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... ( # `
 F ) ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x )
) )
1615rabbidv 3110 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
17 eupacl 24801 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
18 nn0re 10816 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
191, 17, 183syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
2019leidd 10131 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) )
211, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
22 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  0  <_  ( # `
 F ) ) )
23 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... 0
) )
24 fz10 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  0  ->  (
1 ... m )  =  (/) )
2625imaeq2d 5343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (/) ) )
27 ima0 5358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  (/) )
2928reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  (/) ) )
30 res0 5284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  |`  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  (/) )
3231oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  0  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  (/) ) )
3332fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
3433breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) ) )
3534notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) ) )
3635rabbidv 3110 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) } )
37 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  m )  =  ( P ` 
0 ) )
3837eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  m ) )
3938iftrued 3953 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  (/) )
4036, 39eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
4122, 40imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( 0  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) )
4241imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) ) ) )
43 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  n  <_  ( # `  F ) ) )
44 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
4544imaeq2d 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... n ) ) )
4645reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) )
4746oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) )
4847fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) )
4948breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) ) )
5049notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) ) )
5150rabbidv 3110 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) } )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( P `  m )  =  ( P `  n ) )
5352eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  n
) ) )
5452preq2d 4119 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } )
5553, 54ifbieq2d 3970 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )
5651, 55eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )
5743, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
5857imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) ) ) )
59 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  <_  ( # `  F
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F ) ) )
60 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6160imaeq2d 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F " ( 1 ... m ) )  =  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) )
6261reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) )  =  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) )
6362oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6463fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) )
6564breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) ) )
6665notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) ) )
6766rabbidv 3110 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) } )
68 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) )
6968eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ) )
7068preq2d 4119 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } )
7169, 70ifbieq2d 3970 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) )
7267, 71eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
7359, 72imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } ) )  <->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
7473imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
75 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( m  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  F
)  <_  ( # `  F
) ) )
76 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 F ) ) )
7776imaeq2d 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( F " ( 1 ... m
) )  =  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
7877reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( E  |`  ( F " (
1 ... m ) ) )  =  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) )
7978oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( V VDeg  ( E  |`  ( F
" ( 1 ... m ) ) ) )  =  ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) )
8079fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) )
8180breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( 2 
||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8281notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x )  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) ) )
8382rabbidv 3110 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) } )
84 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
8584eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  m )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )
8684preq2d 4119 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
8785, 86ifbieq2d 3970 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } )  =  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
8883, 87eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  m ) } )  <->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
8975, 88imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( (
m  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... m ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 m ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  m
) } ) )  <-> 
( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
9089imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  F
)  ->  ( ( ph  ->  ( m  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... m
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  m ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  m ) } ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (
# `  F )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) ) )
91 2z 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
92 dvds0 13876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
94 eupagra 24798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
95 relumgra 24146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel UMGrph
9695brrelexi 5046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
971, 94, 963syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
98 vdgr0 24732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
9997, 98sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( V VDeg  (/) ) `  x )  =  0 )
10093, 99syl5breqr 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
101 notnot1 122 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
103102ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) )
104 rabeq0 3812 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  V  -.  -.  2  ||  ( ( V VDeg  (/) ) `  x
) )
105103, 104sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) )
106105a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  (/) ) `  x ) }  =  (/) ) )
107 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
108107adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
109108lep1d 10489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
110 peano2re 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
111108, 110syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11219adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
113 letr 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( # `  F )  e.  RR )  -> 
( ( n  <_ 
( n  +  1 )  /\  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
114108, 111, 112, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( n  +  1 )  /\  ( n  +  1
)  <_  ( # `  F
) )  ->  n  <_  ( # `  F
) ) )
115109, 114mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  n  <_  (
# `  F )
) )
116115imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) ) )
117 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )
118117breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x )  <->  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
119118notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
)  <->  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 y ) ) )
120119elrab 3266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  <-> 
( y  e.  V  /\  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) ) )
1212ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  E  Fn  A )
1221ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  F
( V EulPaths  E ) P )
123 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  n  e.  NN0 )
124 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
) )
125 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
126 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )
127121, 122, 123, 124, 125, 126eupath2lem3 24811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
)  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
128127pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
129 0elpw 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  ~P V
130 eupapf 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
1311, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
13321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
134 nn0uz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
135133, 134syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
136 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
138132, 137ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
139 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) )
140 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
141140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
142141, 134syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
143133nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
144 elfz5 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
145142, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F ) ) )
146139, 145mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
147132, 146ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V
)
148 prssi 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  ( P `  ( n  +  1 ) )  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  C_  V )
149138, 147, 148syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
150 prex 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  _V
151150elpw 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) }  e.  ~P V  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  C_  V )
152149, 151sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) }  e.  ~P V )
153 ifcl 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
(/)  e.  ~P V  /\  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) }  e.  ~P V
)  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
154129, 152, 153sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  e. 
~P V )
155154elpwid 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  if (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } )  C_  V )
156155sseld 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  ->  y  e.  V ) )
157156pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } )  <->  ( y  e.  V  /\  y  e.  if ( ( P `
 0 )  =  ( P `  (
n  +  1 ) ) ,  (/) ,  {
( P `  0
) ,  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) } ) ) ) )
158128, 157bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( (
y  e.  V  /\  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  y
) )  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
159120, 158syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  ( y  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  <->  y  e.  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) )
160159eqrdv 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) ) )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) )
161160exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  n ) } )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
162161a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
163116, 162syld 44 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... n ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 n ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  n
) } ) )  ->  ( ( n  +  1 )  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... (
n  +  1 ) ) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( n  +  1
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( n  +  1 ) ) } ) ) ) )
164163expcom 435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  <_  ( # `
 F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  x
) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( n  +  1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `  0 ) ,  ( P `  ( n  +  1
) ) } ) ) ) ) )
165164a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  <_ 
( # `  F )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F "
( 1 ... n
) ) ) ) `
 x ) }  =  if ( ( P `  0 )  =  ( P `  n ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  n ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  (
n  +  1 ) ) } ) ) ) ) )
16642, 58, 74, 90, 106, 165nn0ind 10969 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) ) )
16721, 166mpcom 36 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  F
)  <_  ( # `  F
)  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  ( E  |`  ( F " ( 1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) ) )
16820, 167mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  ( E  |`  ( F " (
1 ... ( # `  F
) ) ) ) ) `  x ) }  =  if ( ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ,  (/) ,  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
16916, 168eqtr3d 2510 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }  =  if ( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ,  (/) ,  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |` cres 5007   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   #chash 12385    || cdivides 13863   UMGrph cumg 24144   VDeg cvdg 24725   EulPaths ceup 24794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-umgra 24145  df-vdgr 24726  df-eupa 24795
This theorem is referenced by:  eupath  24813
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