Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupath2 Structured version   Unicode version

Theorem eupath2 25553
 Description: The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupath2.1
eupath2.3 EulPaths
Assertion
Ref Expression
eupath2 VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem eupath2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupath2.3 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
2 eupath2.1 . . . . . . . . . . 11
3 eupaf1o 25543 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
5 f1ofo 5838 . . . . . . . . . 10
6 foima 5815 . . . . . . . . . 10
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9
87reseq2d 5125 . . . . . . . 8
9 fnresdm 5703 . . . . . . . . 9
102, 9syl 17 . . . . . . . 8
118, 10eqtrd 2470 . . . . . . 7
1211oveq2d 6321 . . . . . 6 VDeg VDeg
1312fveq1d 5883 . . . . 5 VDeg VDeg
1413breq2d 4438 . . . 4 VDeg VDeg
1514notbid 295 . . 3 VDeg VDeg
1615rabbidv 3079 . 2 VDeg VDeg
17 eupacl 25542 . . . . 5 EulPaths
18 nn0re 10878 . . . . 5
191, 17, 183syl 18 . . . 4
2019leidd 10179 . . 3
211, 17syl 17 . . . 4
22 breq1 4429 . . . . . . 7
23 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 fz10 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 ima0 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . 14
30 res0 5129 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13
3231oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
3332fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
3433breq2d 4438 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
3534notbid 295 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
3635rabbidv 3079 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
37 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
3837eqcomd 2437 . . . . . . . . 9
3938iftrued 3923 . . . . . . . 8
4036, 39eqeq12d 2451 . . . . . . 7 VDeg VDeg
4122, 40imbi12d 321 . . . . . 6 VDeg VDeg
4241imbi2d 317 . . . . 5 VDeg VDeg
43 breq1 4429 . . . . . . 7
44 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14
4645reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13
4746oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
4847fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
4948breq2d 4438 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
5049notbid 295 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
5150rabbidv 3079 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
52 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
5352eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9
5452preq2d 4089 . . . . . . . . 9
5553, 54ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8
5651, 55eqeq12d 2451 . . . . . . 7 VDeg VDeg
5743, 56imbi12d 321 . . . . . 6 VDeg VDeg
5857imbi2d 317 . . . . 5 VDeg VDeg
59 breq1 4429 . . . . . . 7
60 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14
6261reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13
6362oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
6463fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
6564breq2d 4438 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
6665notbid 295 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
6766rabbidv 3079 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
68 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
6968eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9
7068preq2d 4089 . . . . . . . . 9
7169, 70ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8
7267, 71eqeq12d 2451 . . . . . . 7 VDeg VDeg
7359, 72imbi12d 321 . . . . . 6 VDeg VDeg
7473imbi2d 317 . . . . 5 VDeg VDeg
75 breq1 4429 . . . . . . 7
76 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . 14
7877reseq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13
7978oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
8079fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
8180breq2d 4438 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
8281notbid 295 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
8382rabbidv 3079 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
84 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
8584eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9
8684preq2d 4089 . . . . . . . . 9
8785, 86ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8
8883, 87eqeq12d 2451 . . . . . . 7 VDeg VDeg
8975, 88imbi12d 321 . . . . . 6 VDeg VDeg
9089imbi2d 317 . . . . 5 VDeg VDeg
91 2z 10969 . . . . . . . . . . 11
92 dvds0 14296 . . . . . . . . . . 11
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
94 eupagra 25539 . . . . . . . . . . . 12 EulPaths UMGrph
95 relumgra 24887 . . . . . . . . . . . . 13 UMGrph
9695brrelexi 4895 . . . . . . . . . . . 12 UMGrph
971, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11
98 vdgr0 25473 . . . . . . . . . . 11 VDeg
9997, 98sylan 473 . . . . . . . . . 10 VDeg
10093, 99syl5breqr 4462 . . . . . . . . 9 VDeg
101 notnot1 125 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
102100, 101syl 17 . . . . . . . 8 VDeg
103102ralrimiva 2846 . . . . . . 7 VDeg
104 rabeq0 3790 . . . . . . 7 VDeg VDeg
105103, 104sylibr 215 . . . . . 6 VDeg
106105a1d 26 . . . . 5 VDeg
107 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . 12
108107adantl 467 . . . . . . . . . . 11
109108lep1d 10538 . . . . . . . . . 10
110 peano2re 9805 . . . . . . . . . . . 12
111108, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11
11219adantr 466 . . . . . . . . . . 11
113 letr 9726 . . . . . . . . . . 11
114108, 111, 112, 113syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
115109, 114mpand 679 . . . . . . . . 9
116115imim1d 78 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
117 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
118117breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
119118notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
120119elrab 3235 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
1212ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
1221ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg EulPaths
123 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
124 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
125 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
126 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg VDeg
127121, 122, 123, 124, 125, 126eupath2lem3 25552 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
128127pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
129 0elpw 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 eupapf 25545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 EulPaths
1311, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
132131ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
13321ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
134 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135133, 134syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
136 eluzfz1 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
138132, 137ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
139 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
140 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
141140ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VDeg
142141, 134syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
143133nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VDeg
144 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145142, 143, 144syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VDeg
146139, 145mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
147132, 146ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
148 prssi 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149138, 147, 148syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VDeg
150 prex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151150elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152149, 151sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VDeg
153 ifcl 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154129, 152, 153sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg
155154elpwid 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
156155sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg
157156pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg
158128, 157bitr4d 259 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
159120, 158syl5bb 260 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
160159eqrdv 2426 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
161160exp32 608 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
162161a2d 29 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
163116, 162syld 45 . . . . . . 7 VDeg VDeg
164163expcom 436 . . . . . 6 VDeg VDeg
165164a2d 29 . . . . 5 VDeg VDeg
16642, 58, 74, 90, 106, 165nn0ind 11030 . . . 4 VDeg
16721, 166mpcom 37 . . 3 VDeg
16820, 167mpd 15 . 2 VDeg
16916, 168eqtr3d 2472 1 VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  crab 2786  cvv 3087   wss 3442  c0 3767  cif 3915  cpw 3985  cpr 4004   class class class wbr 4426   cres 4856  cima 4857   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cle 9675  c2 10659  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782  chash 12512   cdvds 14283   UMGrph cumg 24885   VDeg cvdg 25466   EulPaths ceup 25535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-umgra 24886  df-vdgr 25467  df-eupa 25536 This theorem is referenced by:  eupath  25554
 Copyright terms: Public domain W3C validator