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Theorem eupap1 23769
Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupap1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
eupap1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
eupap1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
eupap1.d  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
eupap1.g  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
eupap1.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
eupap1.f  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
eupap1.h  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
eupap1.q  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
eupap1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
2 eupap1.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 prex 4645 . . . . . 6  |-  { ( P `  N ) ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5790 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `
 N ) ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } : { B }
-1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } } )
6 f1ofn 5753 . . . . 5  |-  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } }  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  Fn  { B } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )
8 eupap1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
9 disjsn 4047 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
11 eupap1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
12 eupagra 23759 . . . . 5  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
14 relumgra 23420 . . . . . . 7  |-  Rel UMGrph
1514brrelexi 4990 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
17 eupapf 23765 . . . . . . 7  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V )
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
20 eupacl 23762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2219, 21eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
23 nn0uz 11009 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
25 eluzfz2 11579 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2719oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2826, 27eleqtrd 2544 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2918, 28ffvelrnd 5956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  V )
30 eupap1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
31 umgra1 23432 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( P `  N )  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1220 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )
331, 7, 10, 13, 32umgraun 23434 . . 3  |-  ( ph  ->  V UMGrph  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
34 eupap1.f . . 3  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3533, 34syl6breqr 4443 . 2  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
36 peano2nn0 10734 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3722, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
38 eupaf1o 23763 . . . . . . . 8  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
3911, 1, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
4019oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( # `  G
) ) )
41 f1oeq2 5744 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... ( # `  G
) )  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <-> 
G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4339, 42mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
44 f1osng 5790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
4537, 2, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
46 fzp1disj 11635 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
48 f1oun 5771 . . . . . 6  |-  ( ( ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { B } )  /\  ( ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
50 eupap1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
51 f1oeq1 5743 . . . . . 6  |-  ( H  =  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
5349, 52sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
54 1z 10790 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
55 1m1e0 10504 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5655fveq2i 5805 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
5724, 56syl6eleqr 2553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
58 fzsuc2 11634 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
5954, 57, 58sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
60 f1oeq2 5744 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  ->  ( H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6159, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6253, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) )
6327feq2d 5658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P : ( 0 ... N ) --> V  <->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V ) )
6418, 63mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... N ) --> V )
65 f1osng 5790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
6637, 30, 65syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
67 f1of 5752 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
6866, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }
)
6930snssd 4129 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { C }  C_  V )
70 fss 5678 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  V )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> V )
72 fzp1disj 11635 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
74 fun2 5687 . . . . 5  |-  ( ( ( P : ( 0 ... N ) --> V  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )  /\  ( ( 0 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V )
7564, 71, 73, 74syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V )
76 eupap1.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
78 fzsuc 11622 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
7924, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
8077, 79feq12d 5659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  <->  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V ) )
8175, 80mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) --> V )
8234fveq1i 5803 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( G `  k ) )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )
83 f1of 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... N
) --> A )
8443, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) --> A )
8584ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  A )
868adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  B  e.  A )
87 nelne2 2782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( G `  k )  =/=  B
)
8885, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  =/=  B )
8988necomd 2723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  B  =/=  ( G `  k
) )
90 fvunsn 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  ( G `  k )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9282, 91syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( E `  ( G `  k )
) )
9350fveq1i 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 k )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )
94 elfznn 11598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  NN )
9695nnred 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
9722nn0red 10751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
9937nn0red 10751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
101 elfzle2 11575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  <_  N )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <_  N )
10397ltp1d 10377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
10596, 98, 100, 102, 104lelttrd 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
10696, 105gtned 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  k )
107 fvunsn 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
10993, 108syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  k ) )
110109fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
11176fveq1i 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 ( k  - 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )
112 peano2rem 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11396, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11496ltm1d 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  k )
115113, 96, 100, 114, 105lttrd 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
116113, 115gtned 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 ) )
117 fvunsn 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
119111, 118syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
12076fveq1i 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 k )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )
121 fvunsn 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
122106, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
123120, 122syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  k )  =  ( P `  k ) )
124119, 123preq12d 4073 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
12511adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  G
( V EulPaths  E ) P )
12640eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... N )  <-> 
k  e.  ( 1 ... ( # `  G
) ) ) )
127126biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )
128 eupaseg 23766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )  ->  ( E `  ( G `  k
) )  =  {
( P `  (
k  -  1 ) ) ,  ( P `
 k ) } )
129125, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( E `  ( G `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
130124, 129eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  ( E `  ( G `
 k ) ) )
13192, 110, 1303eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
132131ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
13334fveq1i 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 B )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )
134 fnun 5628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )  -> 
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
1351, 7, 10, 134syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
136 fnfun 5619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
138 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } ) )
140 snidg 4014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { B } )
1412, 140syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1423dmsnop 5424 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. }  =  { B }
143141, 142syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
144 funssfv 5817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  /\  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  /\  B  e.  dom  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  ->  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B ) )
145137, 139, 143, 144syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } `  B ) )
146133, 145syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `
 B ) )
147 fvsng 6024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B )  =  { ( P `
 N ) ,  C } )
1482, 3, 147sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
149146, 148eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
15050fveq1i 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )
151 f1ofun 5754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
15249, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
153 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) )
155 snidg 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
{ ( N  + 
1 ) } )
15637, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  { ( N  +  1 ) } )
157 dmsnopg 5421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
1582, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
159156, 158eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
160 funssfv 5817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
161152, 154, 159, 160syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
162150, 161syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
163 fvsng 6024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
16437, 2, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
165162, 164eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  B )
166165fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 B ) )
16797recnd 9526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
168 ax-1cn 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
169 pncan 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170167, 168, 169sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
171170fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( Q `
 N ) )
17276fveq1i 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 N )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )
17397, 103gtned 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  N )
174 fvunsn 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  N  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
176172, 175syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  N
)  =  ( P `
 N ) )
177171, 176eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 N ) )
17876fveq1i 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )
179 ffun 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V  ->  Fun  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
18075, 179syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
181 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) )
183 dmsnopg 5421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
18430, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
185156, 184eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
186 funssfv 5817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  ->  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
187180, 182, 185, 186syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
188178, 187syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
189 fvsng 6024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
19037, 30, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
191188, 190eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  C )
192177, 191preq12d 4073 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( Q `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1 ) ) }  =  { ( P `  N ) ,  C } )
193149, 166, 1923eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } )
194 elsni 4013 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
195194fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( N  +  1 ) ) )
196195fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `
 ( H `  ( N  +  1
) ) ) )
197194oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( k  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
198197fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
199194fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( N  +  1 ) ) )
200198, 199preq12d 4073 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  =  {
( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `
 ( N  + 
1 ) ) } )
201196, 200eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } ) )
202193, 201syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
203202ralrimiv 2828 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
( N  +  1 ) }  ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
204 ralun 3649 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  /\  A. k  e.  { ( N  +  1 ) }  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
205132, 203, 204syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
20659raleqdv 3029 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  A. k  e.  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
207205, 206mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
208 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
209 f1oeq2 5744 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
210208, 209syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
211 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
212211feq2d 5658 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( Q : ( 0 ... n ) --> V  <->  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V ) )
213208raleqdv 3029 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
214210, 212, 2133anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } )  <->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) )
215214rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21637, 62, 81, 207, 215syl13anc 1221 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21734fneq1i 5616 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  <->  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } ) )
218135, 217sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A  u.  { B }
) )
219 fndm 5621 . . . 4  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B }
) )
220218, 219syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B } ) )
221 iseupa 23758 . . 3  |-  ( dom 
F  =  ( A  u.  { B }
)  ->  ( H
( V EulPaths  F ) Q 
<->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
222220, 221syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( V EulPaths  F ) Q  <->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e. 
NN0  ( H :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
22335, 216, 222mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   Fun wfun 5523    Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557   #chash 12223   UMGrph cumg 23418   EulPaths ceup 23755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224  df-umgra 23419  df-eupa 23756
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