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Theorem eupap1 23420
Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupap1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
eupap1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
eupap1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
eupap1.d  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
eupap1.g  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
eupap1.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
eupap1.f  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
eupap1.h  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
eupap1.q  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
eupap1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
2 eupap1.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 prex 4522 . . . . . 6  |-  { ( P `  N ) ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5667 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `
 N ) ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } : { B }
-1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } } )
6 f1ofn 5630 . . . . 5  |-  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } }  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  Fn  { B } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )
8 eupap1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
9 disjsn 3924 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
11 eupap1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
12 eupagra 23410 . . . . 5  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
14 relumgra 23071 . . . . . . 7  |-  Rel UMGrph
1514brrelexi 4866 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
17 eupapf 23416 . . . . . . 7  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V )
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
20 eupacl 23413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2219, 21eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
23 nn0uz 10883 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
25 eluzfz2 11446 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2719oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2826, 27eleqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2918, 28ffvelrnd 5832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  V )
30 eupap1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
31 umgra1 23083 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( P `  N )  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1212 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )
331, 7, 10, 13, 32umgraun 23085 . . 3  |-  ( ph  ->  V UMGrph  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
34 eupap1.f . . 3  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3533, 34syl6breqr 4320 . 2  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
36 peano2nn0 10608 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3722, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
38 eupaf1o 23414 . . . . . . . 8  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
3911, 1, 38syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
4019oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( # `  G
) ) )
41 f1oeq2 5621 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... ( # `  G
) )  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <-> 
G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4339, 42mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
44 f1osng 5667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
4537, 2, 44syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
46 fzp1disj 11500 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
48 f1oun 5648 . . . . . 6  |-  ( ( ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { B } )  /\  ( ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
50 eupap1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
51 f1oeq1 5620 . . . . . 6  |-  ( H  =  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
5349, 52sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
54 1z 10664 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
55 1m1e0 10378 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5655fveq2i 5682 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
5724, 56syl6eleqr 2524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
58 fzsuc2 11499 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
5954, 57, 58sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
60 f1oeq2 5621 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  ->  ( H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6159, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6253, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) )
6327feq2d 5535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P : ( 0 ... N ) --> V  <->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V ) )
6418, 63mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... N ) --> V )
65 f1osng 5667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
6637, 30, 65syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
67 f1of 5629 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
6866, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }
)
6930snssd 4006 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { C }  C_  V )
70 fss 5555 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  V )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )
7168, 69, 70syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> V )
72 fzp1disj 11500 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
74 fun2 5564 . . . . 5  |-  ( ( ( P : ( 0 ... N ) --> V  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )  /\  ( ( 0 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V )
7564, 71, 73, 74syl21anc 1210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V )
76 eupap1.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
78 fzsuc 11489 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
7924, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
8077, 79feq12d 5536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  <->  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V ) )
8175, 80mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) --> V )
8234fveq1i 5680 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( G `  k ) )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )
83 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... N
) --> A )
8443, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) --> A )
8584ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  A )
868adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  B  e.  A )
87 nelne2 2692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( G `  k )  =/=  B
)
8885, 86, 87syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  =/=  B )
8988necomd 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  B  =/=  ( G `  k
) )
90 fvunsn 5897 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  ( G `  k )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9282, 91syl5eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( E `  ( G `  k )
) )
9350fveq1i 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 k )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )
94 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
9594adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  NN )
9695nnred 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
9722nn0red 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
9937nn0red 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
101 elfzle2 11442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  <_  N )
102101adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <_  N )
10397ltp1d 10251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
104103adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
10596, 98, 100, 102, 104lelttrd 9517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
10696, 105gtned 9497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  k )
107 fvunsn 5897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
10993, 108syl5eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  k ) )
110109fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
11176fveq1i 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 ( k  - 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )
112 peano2rem 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11396, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11496ltm1d 10253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  k )
115113, 96, 100, 114, 105lttrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
116113, 115gtned 9497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 ) )
117 fvunsn 5897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
119111, 118syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
12076fveq1i 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 k )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )
121 fvunsn 5897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
122106, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
123120, 122syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  k )  =  ( P `  k ) )
124119, 123preq12d 3950 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
12511adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  G
( V EulPaths  E ) P )
12640eleq2d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... N )  <-> 
k  e.  ( 1 ... ( # `  G
) ) ) )
127126biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )
128 eupaseg 23417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )  ->  ( E `  ( G `  k
) )  =  {
( P `  (
k  -  1 ) ) ,  ( P `
 k ) } )
129125, 127, 128syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( E `  ( G `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
130124, 129eqtr4d 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  ( E `  ( G `
 k ) ) )
13192, 110, 1303eqtr4d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
132131ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
13334fveq1i 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 B )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )
134 fnun 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )  -> 
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
1351, 7, 10, 134syl21anc 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
136 fnfun 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
138 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } ) )
140 snidg 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { B } )
1412, 140syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1423dmsnop 5301 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. }  =  { B }
143141, 142syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
144 funssfv 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  /\  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  /\  B  e.  dom  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  ->  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B ) )
145137, 139, 143, 144syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } `  B ) )
146133, 145syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `
 B ) )
147 fvsng 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B )  =  { ( P `
 N ) ,  C } )
1482, 3, 147sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
149146, 148eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
15050fveq1i 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )
151 f1ofun 5631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
15249, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
153 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) )
155 snidg 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
{ ( N  + 
1 ) } )
15637, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  { ( N  +  1 ) } )
157 dmsnopg 5298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
1582, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
159156, 158eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
160 funssfv 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
161152, 154, 159, 160syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
162150, 161syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
163 fvsng 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
16437, 2, 163syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
165162, 164eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  B )
166165fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 B ) )
16797recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
168 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
169 pncan 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170167, 168, 169sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
171170fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( Q `
 N ) )
17276fveq1i 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 N )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )
17397, 103gtned 9497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  N )
174 fvunsn 5897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  N  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
176172, 175syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  N
)  =  ( P `
 N ) )
177171, 176eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 N ) )
17876fveq1i 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )
179 ffun 5549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V  ->  Fun  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
18075, 179syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
181 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) )
183 dmsnopg 5298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
18430, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
185156, 184eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
186 funssfv 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  ->  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
187180, 182, 185, 186syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
188178, 187syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
189 fvsng 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
19037, 30, 189syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
191188, 190eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  C )
192177, 191preq12d 3950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( Q `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1 ) ) }  =  { ( P `  N ) ,  C } )
193149, 166, 1923eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } )
194 elsni 3890 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
195194fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( N  +  1 ) ) )
196195fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `
 ( H `  ( N  +  1
) ) ) )
197194oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( k  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
198197fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
199194fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( N  +  1 ) ) )
200198, 199preq12d 3950 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  =  {
( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `
 ( N  + 
1 ) ) } )
201196, 200eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } ) )
202193, 201syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
203202ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
( N  +  1 ) }  ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
204 ralun 3526 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  /\  A. k  e.  { ( N  +  1 ) }  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
205132, 203, 204syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
20659raleqdv 2913 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  A. k  e.  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
207205, 206mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
208 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
209 f1oeq2 5621 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
210208, 209syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
211 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
212211feq2d 5535 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( Q : ( 0 ... n ) --> V  <->  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V ) )
213208raleqdv 2913 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
214210, 212, 2133anbi123d 1282 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } )  <->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) )
215214rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21637, 62, 81, 207, 215syl13anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21734fneq1i 5493 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  <->  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } ) )
218135, 217sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A  u.  { B }
) )
219 fndm 5498 . . . 4  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B }
) )
220218, 219syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B } ) )
221 iseupa 23409 . . 3  |-  ( dom 
F  =  ( A  u.  { B }
)  ->  ( H
( V EulPaths  F ) Q 
<->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
222220, 221syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( V EulPaths  F ) Q  <->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e. 
NN0  ( H :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
22335, 216, 222mpbir2and 906 1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   <.cop 3871   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424   #chash 12087   UMGrph cumg 23069   EulPaths ceup 23406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088  df-umgra 23070  df-eupa 23407
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