Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupap1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eupap1 25783
 Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e
eupap1.a
eupap1.b
eupap1.c
eupap1.d
eupap1.g EulPaths
eupap1.n
eupap1.f
eupap1.h
eupap1.q
Assertion
Ref Expression
eupap1 EulPaths

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4
2 eupap1.b . . . . . 6
3 prex 4642 . . . . . 6
4 f1osng 5867 . . . . . 6
52, 3, 4sylancl 675 . . . . 5
6 f1ofn 5829 . . . . 5
75, 6syl 17 . . . 4
8 eupap1.d . . . . 5
9 disjsn 4023 . . . . 5
108, 9sylibr 217 . . . 4
11 eupap1.g . . . . 5 EulPaths
12 eupagra 25773 . . . . 5 EulPaths UMGrph
1311, 12syl 17 . . . 4 UMGrph
14 relumgra 25120 . . . . . . 7 UMGrph
1514brrelexi 4880 . . . . . 6 UMGrph
1613, 15syl 17 . . . . 5
17 eupapf 25779 . . . . . . 7 EulPaths
1811, 17syl 17 . . . . . 6
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10
20 eupacl 25776 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
2111, 20syl 17 . . . . . . . . . 10
2219, 21eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
23 nn0uz 11217 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eleq 2559 . . . . . . . 8
25 eluzfz2 11833 . . . . . . . 8
2624, 25syl 17 . . . . . . 7
2719oveq2d 6324 . . . . . . 7
2826, 27eleqtrd 2551 . . . . . 6
2918, 28ffvelrnd 6038 . . . . 5
30 eupap1.c . . . . 5
31 umgra1 25132 . . . . 5 UMGrph
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1293 . . . 4 UMGrph
331, 7, 10, 13, 32umgraun 25134 . . 3 UMGrph
34 eupap1.f . . 3
3533, 34syl6breqr 4436 . 2 UMGrph
36 peano2nn0 10934 . . . 4
3722, 36syl 17 . . 3
38 eupaf1o 25777 . . . . . . . 8 EulPaths
3911, 1, 38syl2anc 673 . . . . . . 7
4019oveq2d 6324 . . . . . . . 8
41 f1oeq2 5819 . . . . . . . 8
4240, 41syl 17 . . . . . . 7
4339, 42mpbird 240 . . . . . 6
44 f1osng 5867 . . . . . . 7
4537, 2, 44syl2anc 673 . . . . . 6
46 fzp1disj 11880 . . . . . . 7
4746a1i 11 . . . . . 6
48 f1oun 5847 . . . . . 6
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1293 . . . . 5
50 eupap1.h . . . . . 6
51 f1oeq1 5818 . . . . . 6
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5
5349, 52sylibr 217 . . . 4
54 1z 10991 . . . . . 6
55 1m1e0 10700 . . . . . . . 8
5655fveq2i 5882 . . . . . . 7
5724, 56syl6eleqr 2560 . . . . . 6
58 fzsuc2 11879 . . . . . 6
5954, 57, 58sylancr 676 . . . . 5
60 f1oeq2 5819 . . . . 5
6159, 60syl 17 . . . 4
6253, 61mpbird 240 . . 3
6327feq2d 5725 . . . . . 6
6418, 63mpbird 240 . . . . 5
65 f1osng 5867 . . . . . . . 8
6637, 30, 65syl2anc 673 . . . . . . 7
67 f1of 5828 . . . . . . 7
6866, 67syl 17 . . . . . 6
6930snssd 4108 . . . . . 6
7068, 69fssd 5750 . . . . 5
71 fzp1disj 11880 . . . . . 6
7271a1i 11 . . . . 5
73 fun2 5759 . . . . 5
7464, 70, 72, 73syl21anc 1291 . . . 4
75 eupap1.q . . . . . 6
7675a1i 11 . . . . 5
77 fzsuc 11869 . . . . . 6
7824, 77syl 17 . . . . 5
7976, 78feq12d 5727 . . . 4
8074, 79mpbird 240 . . 3
8134fveq1i 5880 . . . . . . . 8
82 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . 13
8343, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12
8483ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
858adantr 472 . . . . . . . . . . 11
86 nelne2 2740 . . . . . . . . . . 11
8784, 85, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
8887necomd 2698 . . . . . . . . 9
89 fvunsn 6112 . . . . . . . . 9
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8
9181, 90syl5eq 2517 . . . . . . 7
9250fveq1i 5880 . . . . . . . . 9
93 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
9594nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
9622nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9837nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
100 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
10296ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
10495, 97, 99, 101, 103lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11
10595, 104gtned 9787 . . . . . . . . . 10
106 fvunsn 6112 . . . . . . . . . 10
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9
10892, 107syl5eq 2517 . . . . . . . 8
109108fveq2d 5883 . . . . . . 7
11075fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10
111 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . 13
11295, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12
11395ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . 13
114112, 95, 99, 113, 104lttrd 9813 . . . . . . . . . . . 12
115112, 114gtned 9787 . . . . . . . . . . 11
116 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . 11
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10
118110, 117syl5eq 2517 . . . . . . . . 9
11975fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10
120 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . 11
121105, 120syl 17 . . . . . . . . . 10
122119, 121syl5eq 2517 . . . . . . . . 9
123118, 122preq12d 4050 . . . . . . . 8
12411adantr 472 . . . . . . . . 9 EulPaths
12540eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
126125biimpa 492 . . . . . . . . 9
127 eupaseg 25780 . . . . . . . . 9 EulPaths
128124, 126, 127syl2anc 673 . . . . . . . 8
129123, 128eqtr4d 2508 . . . . . . 7
13091, 109, 1293eqtr4d 2515 . . . . . 6
131130ralrimiva 2809 . . . . 5
13234fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10
133 fnun 5692 . . . . . . . . . . . . 13
1341, 7, 10, 133syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12
135 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . 12
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11
137 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . 12
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11
139 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . 13
1402, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12
1413dmsnop 5317 . . . . . . . . . . . 12
142140, 141syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11
143 funssfv 5894 . . . . . . . . . . 11
144136, 138, 142, 143syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
145132, 144syl5eq 2517 . . . . . . . . 9
146 fvsng 6114 . . . . . . . . . 10
1472, 3, 146sylancl 675 . . . . . . . . 9
148145, 147eqtrd 2505 . . . . . . . 8
14950fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11
150 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . 13
15149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12
152 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
154 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . 14
15537, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
156 dmsnopg 5314 . . . . . . . . . . . . . 14
1572, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
158155, 157eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12
159 funssfv 5894 . . . . . . . . . . . 12
160151, 153, 158, 159syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
161149, 160syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
162 fvsng 6114 . . . . . . . . . . 11
16337, 2, 162syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
164161, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
165164fveq2d 5883 . . . . . . . 8
16696recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
167 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . 12
168 pncan 9901 . . . . . . . . . . . 12
169166, 167, 168sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
170169fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
17175fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11
17296, 102gtned 9787 . . . . . . . . . . . 12
173 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . . 12
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11
175171, 174syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
176170, 175eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
17775fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11
178 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13
17974, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12
180 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
182 dmsnopg 5314 . . . . . . . . . . . . . 14
18330, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
184155, 183eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12
185 funssfv 5894 . . . . . . . . . . . 12
186179, 181, 184, 185syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
187177, 186syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
188 fvsng 6114 . . . . . . . . . . 11
18937, 30, 188syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
190187, 189eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
191176, 190preq12d 4050 . . . . . . . 8
192148, 165, 1913eqtr4d 2515 . . . . . . 7
193 elsni 3985 . . . . . . . . . 10
194193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
195194fveq2d 5883 . . . . . . . 8
196193oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
197196fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
198193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
199197, 198preq12d 4050 . . . . . . . 8
200195, 199eqeq12d 2486 . . . . . . 7
201192, 200syl5ibrcom 230 . . . . . 6
202201ralrimiv 2808 . . . . 5
203 ralun 3607 . . . . 5
204131, 202, 203syl2anc 673 . . . 4
20559raleqdv 2979 . . . 4
206204, 205mpbird 240 . . 3
207 oveq2 6316 . . . . . 6
208 f1oeq2 5819 . . . . . 6
209207, 208syl 17 . . . . 5
210 oveq2 6316 . . . . . 6
211210feq2d 5725 . . . . 5
212207raleqdv 2979 . . . . 5
213209, 211, 2123anbi123d 1365 . . . 4
214213rspcev 3136 . . 3
21537, 62, 80, 206, 214syl13anc 1294 . 2
21634fneq1i 5680 . . . . 5
217134, 216sylibr 217 . . . 4
218 fndm 5685 . . . 4
219217, 218syl 17 . . 3
220 iseupa 25772 . . 3 EulPaths UMGrph
221219, 220syl 17 . 2 EulPaths UMGrph
22235, 215, 221mpbir2and 936 1 EulPaths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961  cop 3965   class class class wbr 4395   cdm 4839   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  chash 12553   UMGrph cumg 25118   EulPaths ceup 25769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-umgra 25119  df-eupa 25770 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator