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Theorem eupap1 25783
Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupap1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
eupap1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
eupap1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
eupap1.d  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
eupap1.g  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
eupap1.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
eupap1.f  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
eupap1.h  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
eupap1.q  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
eupap1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
2 eupap1.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 prex 4642 . . . . . 6  |-  { ( P `  N ) ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5867 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `
 N ) ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } : { B }
-1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } } )
6 f1ofn 5829 . . . . 5  |-  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } }  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  Fn  { B } )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )
8 eupap1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
9 disjsn 4023 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
108, 9sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
11 eupap1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
12 eupagra 25773 . . . . 5  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
14 relumgra 25120 . . . . . . 7  |-  Rel UMGrph
1514brrelexi 4880 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
1613, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
17 eupapf 25779 . . . . . . 7  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
1811, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V )
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
20 eupacl 25776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2111, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2219, 21eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
23 nn0uz 11217 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
25 eluzfz2 11833 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2719oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2826, 27eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2918, 28ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  V )
30 eupap1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
31 umgra1 25132 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( P `  N )  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )
331, 7, 10, 13, 32umgraun 25134 . . 3  |-  ( ph  ->  V UMGrph  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
34 eupap1.f . . 3  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3533, 34syl6breqr 4436 . 2  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
36 peano2nn0 10934 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3722, 36syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
38 eupaf1o 25777 . . . . . . . 8  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
3911, 1, 38syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
4019oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( # `  G
) ) )
41 f1oeq2 5819 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... ( # `  G
) )  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <-> 
G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4339, 42mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
44 f1osng 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
4537, 2, 44syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
46 fzp1disj 11880 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
48 f1oun 5847 . . . . . 6  |-  ( ( ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { B } )  /\  ( ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
50 eupap1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
51 f1oeq1 5818 . . . . . 6  |-  ( H  =  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
5349, 52sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
54 1z 10991 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
55 1m1e0 10700 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5655fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
5724, 56syl6eleqr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
58 fzsuc2 11879 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
5954, 57, 58sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
60 f1oeq2 5819 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  ->  ( H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6159, 60syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6253, 61mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) )
6327feq2d 5725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P : ( 0 ... N ) --> V  <->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V ) )
6418, 63mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... N ) --> V )
65 f1osng 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
6637, 30, 65syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
67 f1of 5828 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
6866, 67syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }
)
6930snssd 4108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { C }  C_  V )
7068, 69fssd 5750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> V )
71 fzp1disj 11880 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
7271a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
73 fun2 5759 . . . . 5  |-  ( ( ( P : ( 0 ... N ) --> V  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )  /\  ( ( 0 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V )
7464, 70, 72, 73syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V )
75 eupap1.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
77 fzsuc 11869 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
7824, 77syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
7976, 78feq12d 5727 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  <->  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V ) )
8074, 79mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) --> V )
8134fveq1i 5880 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( G `  k ) )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )
82 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... N
) --> A )
8343, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) --> A )
8483ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  A )
858adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  B  e.  A )
86 nelne2 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( G `  k )  =/=  B
)
8784, 85, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  =/=  B )
8887necomd 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  B  =/=  ( G `  k
) )
89 fvunsn 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  ( G `  k )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9181, 90syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( E `  ( G `  k )
) )
9250fveq1i 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 k )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )
93 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  NN )
9594nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
9622nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
9837nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
100 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  <_  N )
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <_  N )
10296ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
10495, 97, 99, 101, 103lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
10595, 104gtned 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  k )
106 fvunsn 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
10892, 107syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  k ) )
109108fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
11075fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 ( k  - 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )
111 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11295, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11395ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  k )
114112, 95, 99, 113, 104lttrd 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
115112, 114gtned 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 ) )
116 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
118110, 117syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
11975fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 k )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )
120 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
121105, 120syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
122119, 121syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  k )  =  ( P `  k ) )
123118, 122preq12d 4050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
12411adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  G
( V EulPaths  E ) P )
12540eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... N )  <-> 
k  e.  ( 1 ... ( # `  G
) ) ) )
126125biimpa 492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )
127 eupaseg 25780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )  ->  ( E `  ( G `  k
) )  =  {
( P `  (
k  -  1 ) ) ,  ( P `
 k ) } )
128124, 126, 127syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( E `  ( G `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
129123, 128eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  ( E `  ( G `
 k ) ) )
13091, 109, 1293eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
131130ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
13234fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 B )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )
133 fnun 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )  -> 
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
1341, 7, 10, 133syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
135 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
137 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } ) )
139 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { B } )
1402, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1413dmsnop 5317 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. }  =  { B }
142140, 141syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
143 funssfv 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  /\  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  /\  B  e.  dom  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  ->  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B ) )
144136, 138, 142, 143syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } `  B ) )
145132, 144syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `
 B ) )
146 fvsng 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B )  =  { ( P `
 N ) ,  C } )
1472, 3, 146sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
148145, 147eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
14950fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )
150 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
15149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
152 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) )
154 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
{ ( N  + 
1 ) } )
15537, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  { ( N  +  1 ) } )
156 dmsnopg 5314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
1572, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
158155, 157eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
159 funssfv 5894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
160151, 153, 158, 159syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
161149, 160syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
162 fvsng 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
16337, 2, 162syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
164161, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  B )
165164fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 B ) )
16696recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
168 pncan 9901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
169166, 167, 168sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170169fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( Q `
 N ) )
17175fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 N )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )
17296, 102gtned 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  N )
173 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  N  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
175171, 174syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  N
)  =  ( P `
 N ) )
176170, 175eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 N ) )
17775fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )
178 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V  ->  Fun  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
17974, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
180 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) )
182 dmsnopg 5314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
18330, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
184155, 183eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
185 funssfv 5894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  ->  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
186179, 181, 184, 185syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
187177, 186syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
188 fvsng 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
18937, 30, 188syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
190187, 189eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  C )
191176, 190preq12d 4050 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( Q `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1 ) ) }  =  { ( P `  N ) ,  C } )
192148, 165, 1913eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } )
193 elsni 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
194193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( N  +  1 ) ) )
195194fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `
 ( H `  ( N  +  1
) ) ) )
196193oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( k  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
197196fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
198193fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( N  +  1 ) ) )
199197, 198preq12d 4050 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  =  {
( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `
 ( N  + 
1 ) ) } )
200195, 199eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } ) )
201192, 200syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
202201ralrimiv 2808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
( N  +  1 ) }  ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
203 ralun 3607 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  /\  A. k  e.  { ( N  +  1 ) }  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
204131, 202, 203syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
20559raleqdv 2979 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  A. k  e.  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
206204, 205mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
207 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
208 f1oeq2 5819 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
209207, 208syl 17 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
210 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
211210feq2d 5725 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( Q : ( 0 ... n ) --> V  <->  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V ) )
212207raleqdv 2979 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
213209, 211, 2123anbi123d 1365 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } )  <->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) )
214213rspcev 3136 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21537, 62, 80, 206, 214syl13anc 1294 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21634fneq1i 5680 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  <->  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } ) )
217134, 216sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A  u.  { B }
) )
218 fndm 5685 . . . 4  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B }
) )
219217, 218syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B } ) )
220 iseupa 25772 . . 3  |-  ( dom 
F  =  ( A  u.  { B }
)  ->  ( H
( V EulPaths  F ) Q 
<->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
221219, 220syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( V EulPaths  F ) Q  <->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e. 
NN0  ( H :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
22235, 215, 221mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   #chash 12553   UMGrph cumg 25118   EulPaths ceup 25769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-umgra 25119  df-eupa 25770
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