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Theorem eupap1 24668
Description: Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eupap1.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
eupap1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
eupap1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
eupap1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
eupap1.d  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
eupap1.g  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
eupap1.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
eupap1.f  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
eupap1.h  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
eupap1.q  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
eupap1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )

Proof of Theorem eupap1
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupap1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
2 eupap1.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
3 prex 4689 . . . . . 6  |-  { ( P `  N ) ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5853 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `
 N ) ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } : { B }
-1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } } )
6 f1ofn 5816 . . . . 5  |-  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } : { B } -1-1-onto-> { { ( P `  N ) ,  C } }  ->  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  Fn  { B } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )
8 eupap1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
9 disjsn 4088 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
11 eupap1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G ( V EulPaths  E ) P )
12 eupagra 24658 . . . . 5  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
14 relumgra 24006 . . . . . . 7  |-  Rel UMGrph
1514brrelexi 5039 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E  ->  V  e.  _V )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
17 eupapf 24664 . . . . . . 7  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  P : ( 0 ... ( # `  G ) ) --> V )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V )
19 eupap1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =  ( # `  G ) )
20 eupacl 24661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  G
)  e.  NN0 )
2219, 21eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
23 nn0uz 11115 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
25 eluzfz2 11693 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
2719oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2826, 27eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  G
) ) )
2918, 28ffvelrnd 6021 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  V )
30 eupap1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
31 umgra1 24018 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( ( P `  N )  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3216, 2, 29, 30, 31syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )
331, 7, 10, 13, 32umgraun 24020 . . 3  |-  ( ph  ->  V UMGrph  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
34 eupap1.f . . 3  |-  F  =  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
3533, 34syl6breqr 4487 . 2  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
36 peano2nn0 10835 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3722, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
38 eupaf1o 24662 . . . . . . . 8  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  A )  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
3911, 1, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A )
4019oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... ( # `  G
) ) )
41 f1oeq2 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... ( # `  G
) )  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <->  G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  <-> 
G : ( 1 ... ( # `  G
) ) -1-1-onto-> A ) )
4339, 42mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
44 f1osng 5853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
4537, 2, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { B } )
46 fzp1disj 11737 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
48 f1oun 5834 . . . . . 6  |-  ( ( ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { B } )  /\  ( ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
4943, 45, 47, 10, 48syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
50 eupap1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
51 f1oeq1 5806 . . . . . 6  |-  ( H  =  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( H : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
5349, 52sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) )
54 1z 10893 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
55 1m1e0 10603 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5655fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
5724, 56syl6eleqr 2566 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
58 fzsuc2 11736 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
5954, 57, 58sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
60 f1oeq2 5807 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } )  ->  ( H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6159, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) ) )
6253, 61mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
) )
6327feq2d 5717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P : ( 0 ... N ) --> V  <->  P : ( 0 ... ( # `  G
) ) --> V ) )
6418, 63mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : ( 0 ... N ) --> V )
65 f1osng 5853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
6637, 30, 65syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
67 f1of 5815 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
6866, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }
)
6930snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { C }  C_  V )
70 fss 5738 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  V )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> V )
72 fzp1disj 11737 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )  =  (/) )
74 fun2 5748 . . . . 5  |-  ( ( ( P : ( 0 ... N ) --> V  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> V )  /\  ( ( 0 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V )
7564, 71, 73, 74syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V )
76 eupap1.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
78 fzsuc 11726 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
7924, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
8077, 79feq12d 5719 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  <->  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> V ) )
8175, 80mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) --> V )
8234fveq1i 5866 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( G `  k ) )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )
83 f1of 5815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  G :
( 1 ... N
) --> A )
8443, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... N ) --> A )
8584ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  A )
868adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  B  e.  A )
87 nelne2 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  A  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( G `  k )  =/=  B
)
8885, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  =/=  B )
8988necomd 2738 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  B  =/=  ( G `  k
) )
90 fvunsn 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  ( G `  k )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  ( G `
 k ) )  =  ( E `  ( G `  k ) ) )
9282, 91syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( E `  ( G `  k )
) )
9350fveq1i 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 k )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )
94 elfznn 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  NN )
9695nnred 10550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
9722nn0red 10852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
9937nn0red 10852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
101 elfzle2 11689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  <_  N )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <_  N )
10397ltp1d 10475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
10596, 98, 100, 102, 104lelttrd 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
10696, 105gtned 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  k )
107 fvunsn 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  k )  =  ( G `  k ) )
10993, 108syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  k ) )
110109fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
11176fveq1i 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 ( k  - 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )
112 peano2rem 9885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11396, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
11496ltm1d 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  k )
115113, 96, 100, 114, 105lttrd 9741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
k  -  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
116113, 115gtned 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 ) )
117 fvunsn 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  ( k  - 
1 )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
119111, 118syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( P `  ( k  -  1 ) ) )
12076fveq1i 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 k )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )
121 fvunsn 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  k  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
122106, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  k )  =  ( P `  k ) )
123120, 122syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Q `  k )  =  ( P `  k ) )
124119, 123preq12d 4114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
12511adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  G
( V EulPaths  E ) P )
12640eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... N )  <-> 
k  e.  ( 1 ... ( # `  G
) ) ) )
127126biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )
128 eupaseg 24665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G ( V EulPaths  E ) P  /\  k  e.  ( 1 ... ( # `
 G ) ) )  ->  ( E `  ( G `  k
) )  =  {
( P `  (
k  -  1 ) ) ,  ( P `
 k ) } )
129125, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( E `  ( G `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
130124, 129eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  =  ( E `  ( G `
 k ) ) )
13192, 110, 1303eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
132131ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
13334fveq1i 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 B )  =  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )
134 fnun 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  Fn  { B } )  /\  ( A  i^i  { B }
)  =  (/) )  -> 
( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
1351, 7, 10, 134syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B }
) )
136 fnfun 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) )
138 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } ) )
140 snidg 4053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { B } )
1412, 140syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1423dmsnop 5481 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. }  =  { B }
143141, 142syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )
144 funssfv 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  /\  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. }  C_  ( E  u.  { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } )  /\  B  e.  dom  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } )  ->  ( ( E  u.  { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B ) )
145137, 139, 143, 144syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  u.  {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  { ( P `
 N ) ,  C } >. } `  B ) )
146133, 145syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( {
<. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `
 B ) )
147 fvsng 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  { ( P `  N
) ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } `  B )  =  { ( P `
 N ) ,  C } )
1482, 3, 147sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. B ,  { ( P `  N ) ,  C } >. } `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
149146, 148eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  { ( P `  N ) ,  C } )
15050fveq1i 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )
151 f1ofun 5817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  ->  Fun  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
15249, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) )
153 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  B >. } ) )
155 snidg 4053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
{ ( N  + 
1 ) } )
15637, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  { ( N  +  1 ) } )
157 dmsnopg 5478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
1582, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
159156, 158eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )
160 funssfv 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. }  C_  ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
161152, 154, 159, 160syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) ) )
162150, 161syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  B >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
163 fvsng 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
16437, 2, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  B >. } `  ( N  +  1
) )  =  B )
165162, 164eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  ( N  +  1 ) )  =  B )
166165fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 B ) )
16797recnd 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
168 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
169 pncan 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
170167, 168, 169sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
171170fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( Q `
 N ) )
17276fveq1i 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 N )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )
17397, 103gtned 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  N )
174 fvunsn 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  N  ->  (
( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  N )  =  ( P `  N ) )
176172, 175syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  N
)  =  ( P `
 N ) )
177171, 176eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 N ) )
17876fveq1i 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )
179 ffun 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 0 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> V  ->  Fun  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
18075, 179syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) )
181 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) )
183 dmsnopg 5478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  V  ->  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  +  1 ) } )
18430, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  =  { ( N  + 
1 ) } )
185156, 184eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  dom  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
186 funssfv 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. }  C_  ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  /\  ( N  + 
1 )  e.  dom  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  ->  ( ( P  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
187180, 182, 185, 186syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) ) )
188178, 187syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } `
 ( N  + 
1 ) ) )
189 fvsng 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  C  e.  V )  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
19037, 30, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } `  ( N  +  1
) )  =  C )
191188, 190eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( N  +  1 ) )  =  C )
192177, 191preq12d 4114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( Q `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1 ) ) }  =  { ( P `  N ) ,  C } )
193149, 166, 1923eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } )
194 elsni 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
195194fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( N  +  1 ) ) )
196195fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  ( F `
 ( H `  ( N  +  1
) ) ) )
197194oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( k  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
198197fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  ( k  -  1 ) )  =  ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
199194fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( N  +  1 ) ) )
200198, 199preq12d 4114 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  =  {
( Q `  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `
 ( N  + 
1 ) ) } )
201196, 200eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { ( N  +  1 ) }  ->  ( ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  ( F `  ( H `  ( N  +  1 ) ) )  =  { ( Q `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ,  ( Q `  ( N  +  1
) ) } ) )
202193, 201syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
( N  +  1 ) }  ->  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
203202ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
( N  +  1 ) }  ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
204 ralun 3686 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  /\  A. k  e.  { ( N  +  1 ) }  ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
205132, 203, 204syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } ) ( F `
 ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
20659raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) }  <->  A. k  e.  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
207205, 206mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k )
)  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } )
208 oveq2 6291 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
209 f1oeq2 5807 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
210208, 209syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  <->  H :
( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } ) ) )
211 oveq2 6291 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
212211feq2d 5717 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( Q : ( 0 ... n ) --> V  <->  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V ) )
213208raleqdv 3064 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) }  <->  A. k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( F `  ( H `  k ) )  =  { ( Q `  ( k  -  1 ) ) ,  ( Q `  k ) } ) )
214210, 212, 2133anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } )  <->  ( H : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) )
215214rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( H : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... ( N  +  1 ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21637, 62, 81, 207, 215syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B }
)  /\  Q :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) )
21734fneq1i 5674 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  <->  ( E  u.  { <. B ,  {
( P `  N
) ,  C } >. } )  Fn  ( A  u.  { B } ) )
218135, 217sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A  u.  { B }
) )
219 fndm 5679 . . . 4  |-  ( F  Fn  ( A  u.  { B } )  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B }
) )
220218, 219syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A  u.  { B } ) )
221 iseupa 24657 . . 3  |-  ( dom 
F  =  ( A  u.  { B }
)  ->  ( H
( V EulPaths  F ) Q 
<->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e.  NN0  ( H : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
222220, 221syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( V EulPaths  F ) Q  <->  ( V UMGrph  F  /\  E. n  e. 
NN0  ( H :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> ( A  u.  { B } )  /\  Q : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  ( H `
 k ) )  =  { ( Q `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( Q `  k
) } ) ) ) )
22335, 216, 222mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  H ( V EulPaths  F ) Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Fun wfun 5581    Fn wfn 5582   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   #chash 12372   UMGrph cumg 24004   EulPaths ceup 24654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-hash 12373  df-umgra 24005  df-eupa 24655
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