Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupai Structured version   Unicode version

Theorem eupai 25540
 Description: Properties of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupai EulPaths
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem eupai
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5693 . . . . 5
2 iseupa 25538 . . . . 5 EulPaths UMGrph
31, 2syl 17 . . . 4 EulPaths UMGrph
43biimpac 488 . . 3 EulPaths UMGrph
54simprd 464 . 2 EulPaths
6 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . . . . 14
76ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . 13 EulPaths
8 fzfid 12183 . . . . . . . . . . . . 13 EulPaths
9 fndmeng 7653 . . . . . . . . . . . . 13
107, 8, 9syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 EulPaths
11 enfi 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 EulPaths
138, 12mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13 EulPaths
14 hashen 12527 . . . . . . . . . . . . 13
158, 13, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 EulPaths
1610, 15mpbird 235 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
17 hashfz1 12526 . . . . . . . . . . . 12
1817ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
1916, 18eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10 EulPaths
20 simprl 762 . . . . . . . . . 10 EulPaths
2119, 20eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9 EulPaths
2221a1d 26 . . . . . . . 8 EulPaths
23 simprr 764 . . . . . . . . . 10 EulPaths
2419oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11 EulPaths
25 f1oeq2 5823 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 EulPaths
2723, 26mpbird 235 . . . . . . . . 9 EulPaths
2827a1d 26 . . . . . . . 8 EulPaths
2919oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 EulPaths
3029feq2d 5733 . . . . . . . . 9 EulPaths
3130biimprd 226 . . . . . . . 8 EulPaths
3222, 28, 313jcad 1186 . . . . . . 7 EulPaths
3324raleqdv 3038 . . . . . . . 8 EulPaths
3433biimprd 226 . . . . . . 7 EulPaths
3532, 34anim12d 565 . . . . . 6 EulPaths
3635expd 437 . . . . 5 EulPaths
3736expr 618 . . . 4 EulPaths
38373impd 1219 . . 3 EulPaths
3938rexlimdva 2924 . 2 EulPaths
405, 39mpd 15 1 EulPaths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783  cpr 4004   class class class wbr 4426   cdm 4854   wfn 5596  wf 5597  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   cen 7574  cfn 7577  cc0 9538  c1 9539   cmin 9859  cn0 10869  cfz 11782  chash 12512   UMGrph cumg 24885   EulPaths ceup 25535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-umgra 24886  df-eupa 25536 This theorem is referenced by:  eupacl  25542  eupaf1o  25543  eupapf  25545  eupaseg  25546
 Copyright terms: Public domain W3C validator