MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupacl Structured version   Unicode version

Theorem eupacl 23588
Description: An Eulerian path has length  # ( F ), which is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupacl  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem eupacl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupagra 23585 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  V UMGrph  E )
2 umgraf2 23249 . . . . 5  |-  ( V UMGrph  E  ->  E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  k )  <_  2 } )
3 ffn 5557 . . . . 5  |-  ( E : dom  E --> { k  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  k
)  <_  2 }  ->  E  Fn  dom  E
)
41, 2, 33syl 20 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  E  Fn  dom  E )
5 eupai 23586 . . . 4  |-  ( ( F ( V EulPaths  E ) P  /\  E  Fn  dom  E )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
64, 5mpdan 668 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) -1-1-onto-> dom 
E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
76simpld 459 . 2  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-onto-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
87simp1d 1000 1  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( # `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3323   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   {csn 3875   {cpr 3877   class class class wbr 4290   dom cdm 4838    Fn wfn 5411   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   1c1 9281    <_ cle 9417    - cmin 9593   2c2 10369   NN0cn0 10577   ...cfz 11435   #chash 12101   UMGrph cumg 23244   EulPaths ceup 23581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-er 7099  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-umgra 23245  df-eupa 23582
This theorem is referenced by:  eupap1  23595  eupath2lem3  23598  eupath2  23599
  Copyright terms: Public domain W3C validator