MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupa0 Structured version   Unicode version

Theorem eupa0 23746
Description: There is an Eulerian path on the empty graph. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupa0  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )

Proof of Theorem eupa0
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgra0 23410 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  V UMGrph  (/) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  V UMGrph  (/) )
3 0nn0 10704 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  0  e.  NN0 )
5 f1o0 5782 . . . 4  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
8 f1osng 5786 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
93, 7, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A } )
10 f1of 5748 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }
)
127snssd 4125 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { A }  C_  V )
13 fss 5674 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> { A }  /\  { A }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V )
15 ral0 3891 . . . 4  |-  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) }
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } )
17 oveq2 6207 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 0
) )
18 fz10 11586 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
1 ... n )  =  (/) )
20 f1oeq2 5740 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... n )  =  (/)  ->  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/)  <->  (/) :
(/)
-1-1-onto-> (/) ) )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( (/)
: ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
22 oveq2 6207 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... 0
) )
23 0z 10767 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
24 fzsn 11616 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2622, 25syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  { 0 } )
2726feq2d 5654 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V ) )
2819raleqdv 3027 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( A. k  e.  (
1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) }  <->  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )
2921, 27, 283anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } )  <->  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
3029rspcev 3177 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : { 0 } --> V  /\  A. k  e.  (/)  ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
314, 6, 14, 16, 30syl13anc 1221 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> (/)  /\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) (
(/) `  ( (/) `  k
) )  =  {
( { <. 0 ,  A >. } `  (
k  -  1 ) ) ,  ( {
<. 0 ,  A >. } `  k ) } ) )
32 dm0 5160 . . 3  |-  dom  (/)  =  (/)
33 iseupa 23737 . . 3  |-  ( dom  (/)  =  (/)  ->  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . 2  |-  ( (/) ( V EulPaths  (/) ) { <. 0 ,  A >. }  <-> 
( V UMGrph  (/)  /\  E. n  e.  NN0  ( (/) : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> (/) 
/\  { <. 0 ,  A >. } : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( (/) `  ( (/) `  k ) )  =  { ( { <. 0 ,  A >. } `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( { <. 0 ,  A >. } `  k
) } ) ) )
352, 31, 34sylanbrc 664 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
(/) ( V EulPaths  (/) ) {
<. 0 ,  A >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   (/)c0 3744   {csn 3984   {cpr 3986   <.cop 3990   class class class wbr 4399   dom cdm 4947   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   1c1 9393    - cmin 9705   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ...cfz 11553   UMGrph cumg 23397   EulPaths ceup 23734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-umgra 23398  df-eupa 23735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator