Theorem euobj1 3834

Description: The two existential uniqueness expressions of eufromeq3 3830 specify the same object.

Hypothesis

Ref	Expression
euobj1.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
euobj1	|- (E!xE.y e. A x = B -> U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem euobj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euobj1.1	. . . . . . 7 |- B e. _V
2	1	eufromeq3 3830	. . . . . 6 |- (E!xE.y e. A x = B <-> E!xA.y e. A x = B)
3		reuv 2307	. . . . . . 7 |- (E!x e. _V A.y e. A x = B <-> E!xA.y e. A x = B)
4		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x = B <-> z = B))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (A.y e. A x = B <-> A.y e. A z = B))
6		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. A z = B -> A.yA.y e. A z = B)
7		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. _V -> A.y x e. _V)
8	6, 7	hbrab 2258	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. {z e. _V | A.y e. A z = B} -> A.y x e. {z e. _V | A.y e. A z = B})
9	8	hbuni 3183	. . . . . . . . . 10 |- (x e. U.{z e. _V | A.y e. A z = B} -> A.y x e. U.{z e. _V | A.y e. A z = B})
10	9	hbeleq 1997	. . . . . . . . 9 |- (x = U.{z e. _V | A.y e. A z = B} -> A.y x = U.{z e. _V | A.y e. A z = B})
11		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (x = U.{z e. _V | A.y e. A z = B} -> (x = B <-> U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B))
12	10, 11	ralbid 2121	. . . . . . . 8 |- (x = U.{z e. _V | A.y e. A z = B} -> (A.y e. A x = B <-> A.y e. A U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B))
13	5, 12	reuuni3 3812	. . . . . . 7 |- (E!x e. _V A.y e. A x = B -> A.y e. A U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B)
14	3, 13	sylbir 218	. . . . . 6 |- (E!xA.y e. A x = B -> A.y e. A U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B)
15	2, 14	sylbi 216	. . . . 5 |- (E!xE.y e. A x = B -> A.y e. A U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B)
16		reuv 2307	. . . . . 6 |- (E!x e. _V E.y e. A x = B <-> E!xE.y e. A x = B)
17	4	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (x = z -> (E.y e. A x = B <-> E.y e. A z = B))
18		hbre1 2150	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y e. A z = B -> A.yE.y e. A z = B)
19	18, 7	hbrab 2258	. . . . . . . . . 10 |- (x e. {z e. _V | E.y e. A z = B} -> A.y x e. {z e. _V | E.y e. A z = B})
20	19	hbuni 3183	. . . . . . . . 9 |- (x e. U.{z e. _V | E.y e. A z = B} -> A.y x e. U.{z e. _V | E.y e. A z = B})
21	20	hbeleq 1997	. . . . . . . 8 |- (x = U.{z e. _V | E.y e. A z = B} -> A.y x = U.{z e. _V | E.y e. A z = B})
22		eqeq1 1890	. . . . . . . 8 |- (x = U.{z e. _V | E.y e. A z = B} -> (x = B <-> U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B))
23	21, 22	rexbid 2122	. . . . . . 7 |- (x = U.{z e. _V | E.y e. A z = B} -> (E.y e. A x = B <-> E.y e. A U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B))
24	17, 23	reuuni3 3812	. . . . . 6 |- (E!x e. _V E.y e. A x = B -> E.y e. A U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B)
25	16, 24	sylbir 218	. . . . 5 |- (E!xE.y e. A x = B -> E.y e. A U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B)
26		r19.29 2227	. . . . 5 |- ((A.y e. A U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B /\ E.y e. A U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B) -> E.y e. A (U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B))
27	15, 25, 26	syl11anc 524	. . . 4 |- (E!xE.y e. A x = B -> E.y e. A (U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B))
28		eqtr3 1907	. . . . . . 7 |- ((U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B) -> U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = U.{z e. _V | A.y e. A z = B})
29	17	cbvabv 2420	. . . . . . . . 9 |- {x | E.y e. A x = B} = {z | E.y e. A z = B}
30		rabab 2308	. . . . . . . . 9 |- {z e. _V | E.y e. A z = B} = {z | E.y e. A z = B}
31	29, 30	eqtr4i 1911	. . . . . . . 8 |- {x | E.y e. A x = B} = {z e. _V | E.y e. A z = B}
32	31	unieqi 3187	. . . . . . 7 |- U.{x | E.y e. A x = B} = U.{z e. _V | E.y e. A z = B}
33	5	cbvabv 2420	. . . . . . . . 9 |- {x | A.y e. A x = B} = {z | A.y e. A z = B}
34		rabab 2308	. . . . . . . . 9 |- {z e. _V | A.y e. A z = B} = {z | A.y e. A z = B}
35	33, 34	eqtr4i 1911	. . . . . . . 8 |- {x | A.y e. A x = B} = {z e. _V | A.y e. A z = B}
36	35	unieqi 3187	. . . . . . 7 |- U.{x | A.y e. A x = B} = U.{z e. _V | A.y e. A z = B}
37	28, 32, 36	3eqtr4g 1953	. . . . . 6 |- ((U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B) -> U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})
38	37	ancoms 484	. . . . 5 |- ((U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B) -> U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})
39	38	reximi 2198	. . . 4 |- (E.y e. A (U.{z e. _V | A.y e. A z = B} = B /\ U.{z e. _V | E.y e. A z = B} = B) -> E.y e. A U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})
40	27, 39	syl 12	. . 3 |- (E!xE.y e. A x = B -> E.y e. A U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})
41		df-rex 2110	. . . 4 |- (E.y e. A U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B} <-> E.y(y e. A /\ U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B}))
42		hbre1 2150	. . . . . . . 8 |- (E.y e. A x = B -> A.yE.y e. A x = B)
43	42	hbab 1875	. . . . . . 7 |- (z e. {x | E.y e. A x = B} -> A.y z e. {x | E.y e. A x = B})
44	43	hbuni 3183	. . . . . 6 |- (z e. U.{x | E.y e. A x = B} -> A.y z e. U.{x | E.y e. A x = B})
45		hbra1 2147	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A x = B -> A.yA.y e. A x = B)
46	45	hbab 1875	. . . . . . 7 |- (z e. {x | A.y e. A x = B} -> A.y z e. {x | A.y e. A x = B})
47	46	hbuni 3183	. . . . . 6 |- (z e. U.{x | A.y e. A x = B} -> A.y z e. U.{x | A.y e. A x = B})
48	44, 47	hbeq 1995	. . . . 5 |- (U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B} -> A.yU.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})
49	48	19.41 1448	. . . 4 |- (E.y(y e. A /\ U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B}) <-> (E.y y e. A /\ U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B}))
50	41, 49	bitri 190	. . 3 |- (E.y e. A U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B} <-> (E.y y e. A /\ U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B}))
51	40, 50	sylib 215	. 2 |- (E!xE.y e. A x = B -> (E.y y e. A /\ U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B}))
52	51	simprd 352	1 |- (E!xE.y e. A x = B -> U.{x | E.y e. A x = B} = U.{x | A.y e. A x = B})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108  _Vcvv 2292  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  euobj2 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-uni 3178

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