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Theorem eulerpartlemt 26702
Description: Lemma for eulerpart 26713 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Distinct variable groups:    f, m, J    R, m    T, m
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    J( x, y, z, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, m, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemt
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7226 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  o : J --> NN0 )
21adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o : J --> NN0 )
3 c0ex 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
43fconst 5589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) : ( NN 
\  J ) --> { 0 }
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) : ( NN  \  J
) --> { 0 } )
6 disjdif 3744 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/)
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )
8 fun 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( o : J --> NN0  /\  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) : ( NN  \  J ) --> { 0 } )  /\  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )  ->  ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
92, 5, 7, 8syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } ) )
10 eulerpart.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
11 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
1210, 11eqsstri 3379 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  NN
13 undif 3752 . . . . . . . . . 10  |-  ( J 
C_  NN  <->  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN )
1412, 13mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN
15 0nn0 10586 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
16 snssi 4010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  NN0
18 ssequn2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
1917, 18mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
2014, 19feq23i 5546 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN 
\  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } )  <->  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) ) : NN --> NN0 )
219, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
22 nn0ex 10577 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
23 nnex 10320 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2422, 23elmap 7233 . . . . . . 7  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  <-> 
( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
2521, 24sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
26 cnvun 5235 . . . . . . . . 9  |-  `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  =  ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
2726imaeq1i 5159 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o  u.  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )
28 imaundir 5243 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  =  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )
2927, 28eqtri 2457 . . . . . . 7  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o " NN )  u.  ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN ) )
30 vex 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  o  e. 
_V
31 cnveq 5005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  o  ->  `' f  =  `' o
)
3231imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  o  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' o " NN ) )
3332eleq1d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  o  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
)
34 eulerpart.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
3530, 33, 34elab2 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  R  <->  ( `' o " NN )  e. 
Fin )
3635biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  R  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
38 cnvxp 5248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )
3938dmeqi 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  dom  ( { 0 }  X.  ( NN 
\  J ) )
40 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
41 2z 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
42 iddvds 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  ||  2
44 breq2 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  2  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  2 ) )
4544notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  2  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  2 ) )
4645, 10elrab2 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  J  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  ||  2 ) )
4746simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  J  ->  -.  2  ||  2 )
4843, 47mt2 179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  e.  J
49 eldif 3331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  e.  J )
)
5040, 48, 49mpbir2an 911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( NN  \  J
)
51 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  ->  ( NN  \  J )  =/=  (/) )
52 dmxp 5050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  \  J )  =/=  (/)  ->  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 } )
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 }
5439, 53eqtri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  { 0 }
5554ineq1i 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
56 incom 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
57 0nnn 10345 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  0  e.  NN
58 disjsn 3929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
5957, 58mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
6055, 56, 593eqtr2i 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  (/)
61 imadisj 5181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN )  =  (/) 
<->  ( dom  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  i^i  NN )  =  (/) )
6260, 61mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  =  (/)
63 0fin 7532 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
6462, 63eqeltri 2507 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin
65 unfi 7571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' o " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )  -> 
( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6637, 64, 65sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6729, 66syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )  e.  Fin )
68 cnvimass 5182 . . . . . . . . 9  |-  ( `' o " NN ) 
C_  dom  o
69 fdm 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( o : J --> NN0  ->  dom  o  =  J )
702, 69syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  dom  o  =  J )
7168, 70syl5sseq 3397 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  C_  J )
72 0ss 3659 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  J
7362, 72eqsstri 3379 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  C_  J
7473a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  J )
7571, 74unssd 3525 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  C_  J )
7629, 75syl5eqss 3393 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN ) 
C_  J )
77 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
78 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
79 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
80 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
81 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
82 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
83 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
8477, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 26700 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R )  <-> 
( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  C_  J ) )
8525, 67, 76, 84syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
) )
86 resundir 5118 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J )  =  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )
87 ffn 5552 . . . . . . . 8  |-  ( o : J --> NN0  ->  o  Fn  J )
88 fnresdm 5513 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
o  |`  J )  =  o )
89 incom 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )
9089, 6eqtri 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  (/)
91 fnconstg 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  Fn  ( NN 
\  J ) )
92 fnresdisj 5514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  Fn  ( NN  \  J )  -> 
( ( ( NN 
\  J )  i^i 
J )  =  (/)  <->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) ) )
9315, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( NN  \  J
)  i^i  J )  =  (/)  <->  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/) )
9490, 93mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/)
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) )
9688, 95uneq12d 3504 . . . . . . . 8  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( o  |`  J )  u.  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )
)  =  ( o  u.  (/) ) )
972, 87, 963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  ( o  u.  (/) ) )
98 un0 3655 . . . . . . 7  |-  ( o  u.  (/) )  =  o
9997, 98syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  o )
10086, 99syl5req 2482 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
101 reseq1 5096 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( m  |`  J )  =  ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
102101eqeq2d 2448 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( o  =  ( m  |`  J )  <-> 
o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) ) )
103102rspcev 3066 . . . . 5  |-  ( ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
)  /\  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  |`  J ) )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
10485, 100, 103syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
105 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  =  ( m  |`  J ) )
106 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( T  i^i  R ) )
10777, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 26700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
108106, 107sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
109108simp1d 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
11022, 23elmap 7233 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  m : NN --> NN0 )
111109, 110sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m : NN --> NN0 )
112 fssres 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
113111, 12, 112sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
11423rabex 4436 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  e.  _V
11510, 114eqeltri 2507 . . . . . . . . 9  |-  J  e. 
_V
11622, 115elmap 7233 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J
)  <->  ( m  |`  J ) : J --> NN0 )
117113, 116sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J ) )
118105, 117eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  ( NN0 
^m  J ) )
119 ffun 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( m : NN --> NN0  ->  Fun  m )
120 respreima 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  m  ->  ( `' ( m  |`  J )
" NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J
) )
121111, 119, 1203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J ) )
122108simp2d 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' m " NN )  e.  Fin )
123 infi 7528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' m " NN )  e.  Fin  ->  (
( `' m " NN )  i^i  J )  e.  Fin )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( ( `' m " NN )  i^i  J
)  e.  Fin )
125121, 124eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
126 vex 2969 . . . . . . . . . 10  |-  m  e. 
_V
127126resex 5143 . . . . . . . . 9  |-  ( m  |`  J )  e.  _V
128 cnveq 5005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  `' f  =  `' (
m  |`  J ) )
129128imaeq1d 5161 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' ( m  |`  J )
" NN ) )
130129eleq1d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
)
131127, 130, 34elab2 3102 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  R  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
132125, 131sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  R )
133105, 132eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  R )
134118, 133jca 532 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( o  e.  ( NN0  ^m  J )  /\  o  e.  R
) )
135134rexlimiva 2830 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J )  ->  (
o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )
)
136104, 135impbii 188 . . 3  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
137136abbii 2549 . 2  |-  { o  |  ( o  e.  ( NN0  ^m  J
)  /\  o  e.  R ) }  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) }
138 df-in 3328 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { o  |  ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R ) }
139 eqid 2437 . . 3  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  =  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) )
140139rnmpt 5077 . 2  |-  ran  (
m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J )
)  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R
) o  =  ( m  |`  J ) }
141137, 138, 1403eqtr4i 2467 1  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2423    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   _Vcvv 2966    \ cdif 3318    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   ~Pcpw 3853   {csn 3870   class class class wbr 4285   {copab 4342    e. cmpt 4343    X. cxp 4830   `'ccnv 4831   dom cdm 4832   ran crn 4833    |` cres 4834   "cima 4835   Fun wfun 5405    Fn wfn 5406   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ^cexp 11857   sum_csu 13155    || cdivides 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-dvds 13528
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