Theorem eulerpartlemt 28574

Description: Lemma for eulerpart 28585 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemt	|- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )

Distinct variable groups:   f, m, J   R, m   T, m

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   P( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   R( x, y, z, f, g, k, n, r)   T( x, y, z, f, g, k, n, r)   F( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   J( x, y, z, g, k, n, r)   M( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   N( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   O( x, y, z, f, g, k, m, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemt

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7433	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( NN0 ^m J ) -> o : J --> NN0 )
2	1	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> o : J --> NN0 )
3		c0ex 9579	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
4	3	fconst 5753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 }
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 } )
6		disjdif 3888	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/) )
8		fun 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( o : J --> NN0 /\ ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 } ) /\ ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/) ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
9	2, 5, 7, 8	syl21anc 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
10		eulerpart.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
11		ssrab2 3571	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. NN | -. 2 || z } C_ NN
12	10, 11	eqsstri 3519	. . . . . . . . . 10 |- J C_ NN
13		undif 3896	. . . . . . . . . 10 |- ( J C_ NN <-> ( J u. ( NN \ J ) ) = NN )
14	12, 13	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( J u. ( NN \ J ) ) = NN
15		0nn0 10806	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
16		snssi 4160	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. NN0 -> { 0 } C_ NN0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ NN0
18		ssequn2 3663	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 } C_ NN0 <-> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
19	17, 18	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( NN0 u. { 0 } ) = NN0
20	14, 19	feq23i 5707	. . . . . . . 8 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) <-> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
21	9, 20	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
22		nn0ex 10797	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
23		nnex 10537	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
24	22, 23	elmap 7440	. . . . . . 7 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) <-> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
25	21, 24	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) )
26		cnvun 5396	. . . . . . . . 9 |- `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) = ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) )
27	26	imaeq1i 5322	. . . . . . . 8 |- ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN )
28		imaundir 5404	. . . . . . . 8 |- ( ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) )
29	27, 28	eqtri 2483	. . . . . . 7 |- ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) )
30		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- o e. _V
31		cnveq 5165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = o -> `' f = `' o )
32	31	imaeq1d 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = o -> ( `' f " NN ) = ( `' o " NN ) )
33	32	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = o -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' o " NN ) e. Fin ) )
34		eulerpart.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
35	30, 33, 34	elab2 3246	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. R <-> ( `' o " NN ) e. Fin )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( o e. R -> ( `' o " NN ) e. Fin )
37	36	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' o " NN ) e. Fin )
38		cnvxp 5409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = ( { 0 } X. ( NN \ J ) )
39	38	dmeqi 5193	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) )
40		2nn 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
41		2z 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
42		iddvds 14081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 || 2
44		breq2 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = 2 -> ( 2 || z <-> 2 || 2 ) )
45	44	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = 2 -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || 2 ) )
46	45, 10	elrab2 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. J <-> ( 2 e. NN /\ -. 2 || 2 ) )
47	46	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. J -> -. 2 || 2 )
48	43, 47	mt2 179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 e. J
49		eldif 3471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. ( NN \ J ) <-> ( 2 e. NN /\ -. 2 e. J ) )
50	40, 48, 49	mpbir2an 918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( NN \ J )
51		ne0i 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( NN \ J ) -> ( NN \ J ) =/= (/) )
52		dmxp 5210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( NN \ J ) =/= (/) -> dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) ) = { 0 } )
53	50, 51, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) ) = { 0 }
54	39, 53	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = { 0 }
55	54	ineq1i 3682	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = ( { 0 } i^i NN )
56		incom 3677	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i NN )
57		0nnn 10563	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 0 e. NN
58		disjsn 4076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. NN )
59	57, 58	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN i^i { 0 } ) = (/)
60	55, 56, 59	3eqtr2i 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = (/)
61		imadisj 5344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) = (/) <-> ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = (/) )
62	60, 61	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) = (/)
63		0fin 7740	. . . . . . . . 9 |- (/) e. Fin
64	62, 63	eqeltri 2538	. . . . . . . 8 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) e. Fin
65		unfi 7779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) e. Fin )
66	37, 64, 65	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) e. Fin )
67	29, 66	syl5eqel 2546	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) e. Fin )
68		cnvimass 5345	. . . . . . . . 9 |- ( `' o " NN ) C_ dom o
69		fdm 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( o : J --> NN0 -> dom o = J )
70	2, 69	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> dom o = J )
71	68, 70	syl5sseq 3537	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' o " NN ) C_ J )
72		0ss 3813	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ J
73	62, 72	eqsstri 3519	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) C_ J
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) C_ J )
75	71, 74	unssd 3666	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) C_ J )
76	29, 75	syl5eqss 3533	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) C_ J )
77		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
78		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
79		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
80		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
81		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
82		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
83		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
84	77, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83	eulerpartlemt0 28572	. . . . . 6 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) <-> ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) e. Fin /\ ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) C_ J ) )
85	25, 67, 76, 84	syl3anbrc 1178	. . . . 5 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) )
86		resundir 5276	. . . . . 6 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) = ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) )
87		ffn 5713	. . . . . . . 8 |- ( o : J --> NN0 -> o Fn J )
88		fnresdm 5672	. . . . . . . . 9 |- ( o Fn J -> ( o |` J ) = o )
89		incom 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN \ J ) i^i J ) = ( J i^i ( NN \ J ) )
90	89, 6	eqtri 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/)
91		fnconstg 5755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) Fn ( NN \ J ) )
92		fnresdisj 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) Fn ( NN \ J ) -> ( ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/) <-> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) ) )
93	15, 91, 92	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/) <-> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) )
94	90, 93	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( o Fn J -> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) )
96	88, 95	uneq12d 3645	. . . . . . . 8 |- ( o Fn J -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = ( o u. (/) ) )
97	2, 87, 96	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = ( o u. (/) ) )
98		un0 3809	. . . . . . 7 |- ( o u. (/) ) = o
99	97, 98	syl6eq 2511	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = o )
100	86, 99	syl5req 2508	. . . . 5 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) )
101		reseq1 5256	. . . . . . 7 |- ( m = ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) -> ( m |` J ) = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) )
102	101	eqeq2d 2468	. . . . . 6 |- ( m = ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) -> ( o = ( m |` J ) <-> o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) ) )
103	102	rspcev 3207	. . . . 5 |- ( ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) /\ o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) ) -> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
104	85, 100, 103	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
105		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o = ( m |` J ) )
106		simpl 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m e. ( T i^i R ) )
107	77, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83	eulerpartlemt0 28572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( T i^i R ) <-> ( m e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' m " NN ) e. Fin /\ ( `' m " NN ) C_ J ) )
108	106, 107	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' m " NN ) e. Fin /\ ( `' m " NN ) C_ J ) )
109	108	simp1d 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m e. ( NN0 ^m NN ) )
110	22, 23	elmap 7440	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( NN0 ^m NN ) <-> m : NN --> NN0 )
111	109, 110	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m : NN --> NN0 )
112		fssres 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( m : NN --> NN0 /\ J C_ NN ) -> ( m |` J ) : J --> NN0 )
113	111, 12, 112	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) : J --> NN0 )
114	10, 23	rabex2 4590	. . . . . . . . 9 |- J e. _V
115	22, 114	elmap 7440	. . . . . . . 8 |- ( ( m |` J ) e. ( NN0 ^m J ) <-> ( m |` J ) : J --> NN0 )
116	113, 115	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) e. ( NN0 ^m J ) )
117	105, 116	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o e. ( NN0 ^m J ) )
118		ffun 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( m : NN --> NN0 -> Fun m )
119		respreima 5992	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun m -> ( `' ( m |` J ) " NN ) = ( ( `' m " NN ) i^i J ) )
120	111, 118, 119	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' ( m |` J ) " NN ) = ( ( `' m " NN ) i^i J ) )
121	108	simp2d 1007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' m " NN ) e. Fin )
122		infi 7736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' m " NN ) e. Fin -> ( ( `' m " NN ) i^i J ) e. Fin )
123	121, 122	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( ( `' m " NN ) i^i J ) e. Fin )
124	120, 123	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin )
125		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- m e. _V
126	125	resex 5305	. . . . . . . . 9 |- ( m |` J ) e. _V
127		cnveq 5165	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( m |` J ) -> `' f = `' ( m |` J ) )
128	127	imaeq1d 5324	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( m |` J ) -> ( `' f " NN ) = ( `' ( m |` J ) " NN ) )
129	128	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( m |` J ) -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin ) )
130	126, 129, 34	elab2 3246	. . . . . . . 8 |- ( ( m |` J ) e. R <-> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin )
131	124, 130	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) e. R )
132	105, 131	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o e. R )
133	117, 132	jca 530	. . . . 5 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) )
134	133	rexlimiva 2942	. . . 4 |- ( E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) -> ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) )
135	104, 134	impbii 188	. . 3 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) <-> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
136	135	abbii 2588	. 2 |- { o | ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) } = { o | E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) }
137		df-in 3468	. 2 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = { o | ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) }
138		eqid 2454	. . 3 |- ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) = ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )
139	138	rnmpt 5237	. 2 |- ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) = { o | E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) }
140	136, 137, 139	3eqtr4i 2493	1 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439   {copab 4496   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   supp csupp 6891   ^m cmap 7412   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482   x. cmul 9486   <_ cle 9618   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ^cexp 12148   sum_csu 13590   || cdvds 14070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 14071

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28575