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Theorem eulerpartlemt 29277
Description: Lemma for eulerpart 29288. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Distinct variable groups:    f, m, J    R, m    T, m
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    J( x, y, z, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, m, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemt
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7511 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  o : J --> NN0 )
21adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o : J --> NN0 )
3 c0ex 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
43fconst 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) : ( NN 
\  J ) --> { 0 }
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) : ( NN  \  J
) --> { 0 } )
6 disjdif 3830 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/)
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )
8 fun 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( o : J --> NN0  /\  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) : ( NN  \  J ) --> { 0 } )  /\  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )  ->  ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
92, 5, 7, 8syl21anc 1291 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } ) )
10 eulerpart.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
11 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
1210, 11eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  NN
13 undif 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( J 
C_  NN  <->  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN )
1412, 13mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN
15 0nn0 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
16 snssi 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  NN0
18 ssequn2 3598 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
1917, 18mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
2014, 19feq23i 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN 
\  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } )  <->  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) ) : NN --> NN0 )
219, 20sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
22 nn0ex 10899 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
23 nnex 10637 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2422, 23elmap 7518 . . . . . . 7  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  <-> 
( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
2521, 24sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
26 cnvun 5247 . . . . . . . . 9  |-  `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  =  ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
2726imaeq1i 5171 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o  u.  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )
28 imaundir 5255 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  =  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )
2927, 28eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o " NN )  u.  ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN ) )
30 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  o  e. 
_V
31 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  o  ->  `' f  =  `' o
)
3231imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  o  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' o " NN ) )
3332eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  o  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
)
34 eulerpart.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
3530, 33, 34elab2 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  R  <->  ( `' o " NN )  e. 
Fin )
3635biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  R  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
3736adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
38 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )
3938dmeqi 5041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  dom  ( { 0 }  X.  ( NN 
\  J ) )
40 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
41 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
42 iddvds 14393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  ||  2
44 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  2  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  2 ) )
4544notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  2  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  2 ) )
4645, 10elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  J  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  ||  2 ) )
4746simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  J  ->  -.  2  ||  2 )
4843, 47mt2 184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  e.  J
49 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  e.  J )
)
5040, 48, 49mpbir2an 934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( NN  \  J
)
51 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  ->  ( NN  \  J )  =/=  (/) )
52 dmxp 5059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  \  J )  =/=  (/)  ->  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 } )
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 }
5439, 53eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  { 0 }
5554ineq1i 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
56 incom 3616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
57 0nnn 10663 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  0  e.  NN
58 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
5957, 58mpbir 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
6055, 56, 593eqtr2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  (/)
61 imadisj 5193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN )  =  (/) 
<->  ( dom  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  i^i  NN )  =  (/) )
6260, 61mpbir 214 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  =  (/)
63 0fin 7817 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
6462, 63eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin
65 unfi 7856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' o " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )  -> 
( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6637, 64, 65sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6729, 66syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )  e.  Fin )
68 cnvimass 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( `' o " NN ) 
C_  dom  o
69 fdm 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( o : J --> NN0  ->  dom  o  =  J )
702, 69syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  dom  o  =  J )
7168, 70syl5sseq 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  C_  J )
72 0ss 3766 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  J
7362, 72eqsstri 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  C_  J
7473a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  J )
7571, 74unssd 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  C_  J )
7629, 75syl5eqss 3462 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN ) 
C_  J )
77 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
78 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
79 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
80 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
81 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
82 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
83 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
8477, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 29275 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R )  <-> 
( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  C_  J ) )
8525, 67, 76, 84syl3anbrc 1214 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
) )
86 resundir 5125 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J )  =  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )
87 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( o : J --> NN0  ->  o  Fn  J )
88 fnresdm 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
o  |`  J )  =  o )
89 incom 3616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )
9089, 6eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  (/)
91 fnconstg 5784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  Fn  ( NN 
\  J ) )
92 fnresdisj 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  Fn  ( NN  \  J )  -> 
( ( ( NN 
\  J )  i^i 
J )  =  (/)  <->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) ) )
9315, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( NN  \  J
)  i^i  J )  =  (/)  <->  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/) )
9490, 93mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/)
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) )
9688, 95uneq12d 3580 . . . . . . . 8  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( o  |`  J )  u.  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )
)  =  ( o  u.  (/) ) )
972, 87, 963syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  ( o  u.  (/) ) )
98 un0 3762 . . . . . . 7  |-  ( o  u.  (/) )  =  o
9997, 98syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  o )
10086, 99syl5req 2518 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
101 reseq1 5105 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( m  |`  J )  =  ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
102101eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( o  =  ( m  |`  J )  <-> 
o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) ) )
103102rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
)  /\  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  |`  J ) )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
10485, 100, 103syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
105 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  =  ( m  |`  J ) )
106 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( T  i^i  R ) )
10777, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 29275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
108106, 107sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
109108simp1d 1042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
11022, 23elmap 7518 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  m : NN --> NN0 )
111109, 110sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m : NN --> NN0 )
112 fssres 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
113111, 12, 112sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
11410, 23rabex2 4552 . . . . . . . . 9  |-  J  e. 
_V
11522, 114elmap 7518 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J
)  <->  ( m  |`  J ) : J --> NN0 )
116113, 115sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J ) )
117105, 116eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  ( NN0 
^m  J ) )
118 ffun 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( m : NN --> NN0  ->  Fun  m )
119 respreima 6024 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  m  ->  ( `' ( m  |`  J )
" NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J
) )
120111, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J ) )
121108simp2d 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' m " NN )  e.  Fin )
122 infi 7813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' m " NN )  e.  Fin  ->  (
( `' m " NN )  i^i  J )  e.  Fin )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( ( `' m " NN )  i^i  J
)  e.  Fin )
124120, 123eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
125 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  m  e. 
_V
126125resex 5154 . . . . . . . . 9  |-  ( m  |`  J )  e.  _V
127 cnveq 5013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  `' f  =  `' (
m  |`  J ) )
128127imaeq1d 5173 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' ( m  |`  J )
" NN ) )
129128eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
)
130126, 129, 34elab2 3176 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  R  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
131124, 130sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  R )
132105, 131eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  R )
133117, 132jca 541 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( o  e.  ( NN0  ^m  J )  /\  o  e.  R
) )
134133rexlimiva 2868 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J )  ->  (
o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )
)
135104, 134impbii 192 . . 3  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
136135abbii 2587 . 2  |-  { o  |  ( o  e.  ( NN0  ^m  J
)  /\  o  e.  R ) }  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) }
137 df-in 3397 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { o  |  ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R ) }
138 eqid 2471 . . 3  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  =  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) )
139138rnmpt 5086 . 2  |-  ran  (
m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J )
)  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R
) o  =  ( m  |`  J ) }
140136, 137, 1393eqtr4i 2503 1  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   supp csupp 6933    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   sum_csu 13829    || cdvds 14382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-dvds 14383
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