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Theorem eulerpartlemt 26893
Description: Lemma for eulerpart 26904 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Distinct variable groups:    f, m, J    R, m    T, m
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    J( x, y, z, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, m, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, m, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemt
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7339 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  o : J --> NN0 )
21adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o : J --> NN0 )
3 c0ex 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
43fconst 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) : ( NN 
\  J ) --> { 0 }
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) : ( NN  \  J
) --> { 0 } )
6 disjdif 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/)
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )
8 fun 5678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( o : J --> NN0  /\  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) : ( NN  \  J ) --> { 0 } )  /\  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )  =  (/) )  ->  ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
92, 5, 7, 8syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN  \  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } ) )
10 eulerpart.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
11 ssrab2 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
1210, 11eqsstri 3489 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  NN
13 undif 3862 . . . . . . . . . 10  |-  ( J 
C_  NN  <->  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN )
1412, 13mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( J  u.  ( NN  \  J ) )  =  NN
15 0nn0 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
16 snssi 4120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  NN0
18 ssequn2 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
1917, 18mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
2014, 19feq23i 5656 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) ) : ( J  u.  ( NN 
\  J ) ) --> ( NN0  u.  {
0 } )  <->  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) ) : NN --> NN0 )
219, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
22 nn0ex 10691 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
23 nnex 10434 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2422, 23elmap 7346 . . . . . . 7  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  <-> 
( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
2521, 24sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
26 cnvun 5345 . . . . . . . . 9  |-  `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  =  ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
2726imaeq1i 5269 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o  u.  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )
28 imaundir 5353 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' o  u.  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  =  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )
2927, 28eqtri 2481 . . . . . . 7  |-  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  =  (
( `' o " NN )  u.  ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN ) )
30 vex 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  o  e. 
_V
31 cnveq 5116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  o  ->  `' f  =  `' o
)
3231imaeq1d 5271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  o  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' o " NN ) )
3332eleq1d 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  o  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
)
34 eulerpart.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
3530, 33, 34elab2 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  R  <->  ( `' o " NN )  e. 
Fin )
3635biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  R  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  e.  Fin )
38 cnvxp 5358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )
3938dmeqi 5144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  dom  ( { 0 }  X.  ( NN 
\  J ) )
40 2nn 10585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
41 2z 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
42 iddvds 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  ||  2
44 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  2  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  2 ) )
4544notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  2  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  2 ) )
4645, 10elrab2 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  J  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  ||  2 ) )
4746simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  J  ->  -.  2  ||  2 )
4843, 47mt2 179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  2  e.  J
49 eldif 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  <->  ( 2  e.  NN  /\  -.  2  e.  J )
)
5040, 48, 49mpbir2an 911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ( NN  \  J
)
51 ne0i 3746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( NN  \  J )  ->  ( NN  \  J )  =/=  (/) )
52 dmxp 5161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  \  J )  =/=  (/)  ->  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 } )
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( { 0 }  X.  ( NN  \  J ) )  =  { 0 }
5439, 53eqtri 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  =  { 0 }
5554ineq1i 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
56 incom 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  ( { 0 }  i^i  NN )
57 0nnn 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  0  e.  NN
58 disjsn 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
5957, 58mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
6055, 56, 593eqtr2i 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )  i^i  NN )  =  (/)
61 imadisj 5291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } )
" NN )  =  (/) 
<->  ( dom  `' ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  i^i  NN )  =  (/) )
6260, 61mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  =  (/)
63 0fin 7646 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
6462, 63eqeltri 2536 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin
65 unfi 7685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' o " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )  -> 
( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6637, 64, 65sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  e.  Fin )
6729, 66syl5eqel 2544 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN )  e.  Fin )
68 cnvimass 5292 . . . . . . . . 9  |-  ( `' o " NN ) 
C_  dom  o
69 fdm 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( o : J --> NN0  ->  dom  o  =  J )
702, 69syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  dom  o  =  J )
7168, 70syl5sseq 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' o " NN )  C_  J )
72 0ss 3769 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  J
7362, 72eqsstri 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) " NN )  C_  J
7473a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  J )
7571, 74unssd 3635 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( `' o
" NN )  u.  ( `' ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) " NN ) )  C_  J )
7629, 75syl5eqss 3503 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( `' ( o  u.  ( ( NN 
\  J )  X. 
{ 0 } ) ) " NN ) 
C_  J )
77 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
78 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
79 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
80 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
81 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
82 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
83 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
8477, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 26891 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R )  <-> 
( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) ) " NN )  C_  J ) )
8525, 67, 76, 84syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
) )
86 resundir 5228 . . . . . 6  |-  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J )  =  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )
87 ffn 5662 . . . . . . . 8  |-  ( o : J --> NN0  ->  o  Fn  J )
88 fnresdm 5623 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
o  |`  J )  =  o )
89 incom 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  ( J  i^i  ( NN  \  J ) )
9089, 6eqtri 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  \  J )  i^i  J )  =  (/)
91 fnconstg 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  Fn  ( NN 
\  J ) )
92 fnresdisj 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  Fn  ( NN  \  J )  -> 
( ( ( NN 
\  J )  i^i 
J )  =  (/)  <->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) ) )
9315, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( NN  \  J
)  i^i  J )  =  (/)  <->  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/) )
9490, 93mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( NN  \  J
)  X.  { 0 } )  |`  J )  =  (/)
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J )  =  (/) )
9688, 95uneq12d 3614 . . . . . . . 8  |-  ( o  Fn  J  ->  (
( o  |`  J )  u.  ( ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } )  |`  J )
)  =  ( o  u.  (/) ) )
972, 87, 963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  ( o  u.  (/) ) )
98 un0 3765 . . . . . . 7  |-  ( o  u.  (/) )  =  o
9997, 98syl6eq 2509 . . . . . 6  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  ( ( o  |`  J )  u.  (
( ( NN  \  J )  X.  {
0 } )  |`  J ) )  =  o )
10086, 99syl5req 2506 . . . . 5  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
101 reseq1 5207 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( m  |`  J )  =  ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  |`  J ) )
102101eqeq2d 2466 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  ->  ( o  =  ( m  |`  J )  <-> 
o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  { 0 } ) )  |`  J ) ) )
103102rspcev 3173 . . . . 5  |-  ( ( ( o  u.  (
( NN  \  J
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( T  i^i  R
)  /\  o  =  ( ( o  u.  ( ( NN  \  J )  X.  {
0 } ) )  |`  J ) )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
10485, 100, 103syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  ->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
105 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  =  ( m  |`  J ) )
106 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( T  i^i  R ) )
10777, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83eulerpartlemt0 26891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
108106, 107sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' m " NN )  e.  Fin  /\  ( `' m " NN )  C_  J ) )
109108simp1d 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
11022, 23elmap 7346 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  m : NN --> NN0 )
111109, 110sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  ->  m : NN --> NN0 )
112 fssres 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
113111, 12, 112sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J ) : J --> NN0 )
11423rabex 4546 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  e.  _V
11510, 114eqeltri 2536 . . . . . . . . 9  |-  J  e. 
_V
11622, 115elmap 7346 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J
)  <->  ( m  |`  J ) : J --> NN0 )
117113, 116sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  ( NN0  ^m  J ) )
118105, 117eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  ( NN0 
^m  J ) )
119 ffun 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( m : NN --> NN0  ->  Fun  m )
120 respreima 5936 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  m  ->  ( `' ( m  |`  J )
" NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J
) )
121111, 119, 1203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  =  ( ( `' m " NN )  i^i  J ) )
122108simp2d 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' m " NN )  e.  Fin )
123 infi 7642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' m " NN )  e.  Fin  ->  (
( `' m " NN )  i^i  J )  e.  Fin )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( ( `' m " NN )  i^i  J
)  e.  Fin )
125121, 124eqeltrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
126 vex 3075 . . . . . . . . . 10  |-  m  e. 
_V
127126resex 5253 . . . . . . . . 9  |-  ( m  |`  J )  e.  _V
128 cnveq 5116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  `' f  =  `' (
m  |`  J ) )
129128imaeq1d 5271 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' ( m  |`  J )
" NN ) )
130129eleq1d 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( m  |`  J )  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
)
131127, 130, 34elab2 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  |`  J )  e.  R  <->  ( `' ( m  |`  J ) " NN )  e.  Fin )
132125, 131sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( m  |`  J )  e.  R )
133105, 132eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
o  e.  R )
134118, 133jca 532 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( T  i^i  R )  /\  o  =  ( m  |`  J ) )  -> 
( o  e.  ( NN0  ^m  J )  /\  o  e.  R
) )
135134rexlimiva 2936 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J )  ->  (
o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )
)
136104, 135impbii 188 . . 3  |-  ( ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) )
137136abbii 2586 . 2  |-  { o  |  ( o  e.  ( NN0  ^m  J
)  /\  o  e.  R ) }  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R ) o  =  ( m  |`  J ) }
138 df-in 3438 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { o  |  ( o  e.  ( NN0 
^m  J )  /\  o  e.  R ) }
139 eqid 2452 . . 3  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  =  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) )
140139rnmpt 5188 . 2  |-  ran  (
m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J )
)  =  { o  |  E. m  e.  ( T  i^i  R
) o  =  ( m  |`  J ) }
141137, 138, 1403eqtr4i 2491 1  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2437    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    u. cun 3429    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   {csn 3980   class class class wbr 4395   {copab 4452    |-> cmpt 4453    X. cxp 4941   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   ran crn 4944    |` cres 4945   "cima 4946   Fun wfun 5515    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   supp csupp 6795    ^m cmap 7319   Fincfn 7415   0cc0 9388   1c1 9389    x. cmul 9393    <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ^cexp 11977   sum_csu 13276    || cdivides 13648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-dvds 13649
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