Theorem eulerpartlemt 26893

Description: Lemma for eulerpart 26904 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemt	|- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )

Distinct variable groups:   f, m, J   R, m   T, m

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   P( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   R( x, y, z, f, g, k, n, r)   T( x, y, z, f, g, k, n, r)   F( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   J( x, y, z, g, k, n, r)   M( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   N( x, y, z, f, g, k, m, n, r)   O( x, y, z, f, g, k, m, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemt

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7339	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( NN0 ^m J ) -> o : J --> NN0 )
2	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> o : J --> NN0 )
3		c0ex 9486	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
4	3	fconst 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 }
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 } )
6		disjdif 3854	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/) )
8		fun 5678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( o : J --> NN0 /\ ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) : ( NN \ J ) --> { 0 } ) /\ ( J i^i ( NN \ J ) ) = (/) ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
9	2, 5, 7, 8	syl21anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
10		eulerpart.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
11		ssrab2 3540	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. NN | -. 2 || z } C_ NN
12	10, 11	eqsstri 3489	. . . . . . . . . 10 |- J C_ NN
13		undif 3862	. . . . . . . . . 10 |- ( J C_ NN <-> ( J u. ( NN \ J ) ) = NN )
14	12, 13	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( J u. ( NN \ J ) ) = NN
15		0nn0 10700	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
16		snssi 4120	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. NN0 -> { 0 } C_ NN0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ NN0
18		ssequn2 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 } C_ NN0 <-> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
19	17, 18	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- ( NN0 u. { 0 } ) = NN0
20	14, 19	feq23i 5656	. . . . . . . 8 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : ( J u. ( NN \ J ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) <-> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
21	9, 20	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
22		nn0ex 10691	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
23		nnex 10434	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
24	22, 23	elmap 7346	. . . . . . 7 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) <-> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) : NN --> NN0 )
25	21, 24	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) )
26		cnvun 5345	. . . . . . . . 9 |- `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) = ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) )
27	26	imaeq1i 5269	. . . . . . . 8 |- ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN )
28		imaundir 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( `' o u. `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) )
29	27, 28	eqtri 2481	. . . . . . 7 |- ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) = ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) )
30		vex 3075	. . . . . . . . . . 11 |- o e. _V
31		cnveq 5116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = o -> `' f = `' o )
32	31	imaeq1d 5271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = o -> ( `' f " NN ) = ( `' o " NN ) )
33	32	eleq1d 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = o -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' o " NN ) e. Fin ) )
34		eulerpart.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
35	30, 33, 34	elab2 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. R <-> ( `' o " NN ) e. Fin )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( o e. R -> ( `' o " NN ) e. Fin )
37	36	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' o " NN ) e. Fin )
38		cnvxp 5358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = ( { 0 } X. ( NN \ J ) )
39	38	dmeqi 5144	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) )
40		2nn 10585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
41		2z 10784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
42		iddvds 13659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 || 2
44		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = 2 -> ( 2 || z <-> 2 || 2 ) )
45	44	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = 2 -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || 2 ) )
46	45, 10	elrab2 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. J <-> ( 2 e. NN /\ -. 2 || 2 ) )
47	46	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. J -> -. 2 || 2 )
48	43, 47	mt2 179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 2 e. J
49		eldif 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. ( NN \ J ) <-> ( 2 e. NN /\ -. 2 e. J ) )
50	40, 48, 49	mpbir2an 911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( NN \ J )
51		ne0i 3746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( NN \ J ) -> ( NN \ J ) =/= (/) )
52		dmxp 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( NN \ J ) =/= (/) -> dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) ) = { 0 } )
53	50, 51, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( { 0 } X. ( NN \ J ) ) = { 0 }
54	39, 53	eqtri 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) = { 0 }
55	54	ineq1i 3651	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = ( { 0 } i^i NN )
56		incom 3646	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i NN )
57		0nnn 10459	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 0 e. NN
58		disjsn 4039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. NN )
59	57, 58	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN i^i { 0 } ) = (/)
60	55, 56, 59	3eqtr2i 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = (/)
61		imadisj 5291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) = (/) <-> ( dom `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) i^i NN ) = (/) )
62	60, 61	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) = (/)
63		0fin 7646	. . . . . . . . 9 |- (/) e. Fin
64	62, 63	eqeltri 2536	. . . . . . . 8 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) e. Fin
65		unfi 7685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) e. Fin )
66	37, 64, 65	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) e. Fin )
67	29, 66	syl5eqel 2544	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) e. Fin )
68		cnvimass 5292	. . . . . . . . 9 |- ( `' o " NN ) C_ dom o
69		fdm 5666	. . . . . . . . . 10 |- ( o : J --> NN0 -> dom o = J )
70	2, 69	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> dom o = J )
71	68, 70	syl5sseq 3507	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' o " NN ) C_ J )
72		0ss 3769	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ J
73	62, 72	eqsstri 3489	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) C_ J
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) C_ J )
75	71, 74	unssd 3635	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( `' o " NN ) u. ( `' ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) " NN ) ) C_ J )
76	29, 75	syl5eqss 3503	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) C_ J )
77		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
78		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
79		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
80		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
81		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
82		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
83		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
84	77, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83	eulerpartlemt0 26891	. . . . . 6 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) <-> ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) e. Fin /\ ( `' ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) " NN ) C_ J ) )
85	25, 67, 76, 84	syl3anbrc 1172	. . . . 5 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) )
86		resundir 5228	. . . . . 6 |- ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) = ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) )
87		ffn 5662	. . . . . . . 8 |- ( o : J --> NN0 -> o Fn J )
88		fnresdm 5623	. . . . . . . . 9 |- ( o Fn J -> ( o |` J ) = o )
89		incom 3646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN \ J ) i^i J ) = ( J i^i ( NN \ J ) )
90	89, 6	eqtri 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/)
91		fnconstg 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) Fn ( NN \ J ) )
92		fnresdisj 5624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) Fn ( NN \ J ) -> ( ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/) <-> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) ) )
93	15, 91, 92	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( NN \ J ) i^i J ) = (/) <-> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) )
94	90, 93	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( o Fn J -> ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) = (/) )
96	88, 95	uneq12d 3614	. . . . . . . 8 |- ( o Fn J -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = ( o u. (/) ) )
97	2, 87, 96	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = ( o u. (/) ) )
98		un0 3765	. . . . . . 7 |- ( o u. (/) ) = o
99	97, 98	syl6eq 2509	. . . . . 6 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> ( ( o |` J ) u. ( ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) |` J ) ) = o )
100	86, 99	syl5req 2506	. . . . 5 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) )
101		reseq1 5207	. . . . . . 7 |- ( m = ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) -> ( m |` J ) = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) )
102	101	eqeq2d 2466	. . . . . 6 |- ( m = ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) -> ( o = ( m |` J ) <-> o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) ) )
103	102	rspcev 3173	. . . . 5 |- ( ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) e. ( T i^i R ) /\ o = ( ( o u. ( ( NN \ J ) X. { 0 } ) ) |` J ) ) -> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
104	85, 100, 103	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) -> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
105		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o = ( m |` J ) )
106		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m e. ( T i^i R ) )
107	77, 78, 79, 10, 80, 81, 82, 34, 83	eulerpartlemt0 26891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( T i^i R ) <-> ( m e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' m " NN ) e. Fin /\ ( `' m " NN ) C_ J ) )
108	106, 107	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' m " NN ) e. Fin /\ ( `' m " NN ) C_ J ) )
109	108	simp1d 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m e. ( NN0 ^m NN ) )
110	22, 23	elmap 7346	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( NN0 ^m NN ) <-> m : NN --> NN0 )
111	109, 110	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> m : NN --> NN0 )
112		fssres 5681	. . . . . . . . 9 |- ( ( m : NN --> NN0 /\ J C_ NN ) -> ( m |` J ) : J --> NN0 )
113	111, 12, 112	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) : J --> NN0 )
114	23	rabex 4546	. . . . . . . . . 10 |- { z e. NN | -. 2 || z } e. _V
115	10, 114	eqeltri 2536	. . . . . . . . 9 |- J e. _V
116	22, 115	elmap 7346	. . . . . . . 8 |- ( ( m |` J ) e. ( NN0 ^m J ) <-> ( m |` J ) : J --> NN0 )
117	113, 116	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) e. ( NN0 ^m J ) )
118	105, 117	eqeltrd 2540	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o e. ( NN0 ^m J ) )
119		ffun 5664	. . . . . . . . . 10 |- ( m : NN --> NN0 -> Fun m )
120		respreima 5936	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun m -> ( `' ( m |` J ) " NN ) = ( ( `' m " NN ) i^i J ) )
121	111, 119, 120	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' ( m |` J ) " NN ) = ( ( `' m " NN ) i^i J ) )
122	108	simp2d 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' m " NN ) e. Fin )
123		infi 7642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' m " NN ) e. Fin -> ( ( `' m " NN ) i^i J ) e. Fin )
124	122, 123	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( ( `' m " NN ) i^i J ) e. Fin )
125	121, 124	eqeltrd 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin )
126		vex 3075	. . . . . . . . . 10 |- m e. _V
127	126	resex 5253	. . . . . . . . 9 |- ( m |` J ) e. _V
128		cnveq 5116	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( m |` J ) -> `' f = `' ( m |` J ) )
129	128	imaeq1d 5271	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( m |` J ) -> ( `' f " NN ) = ( `' ( m |` J ) " NN ) )
130	129	eleq1d 2521	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( m |` J ) -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin ) )
131	127, 130, 34	elab2 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( m |` J ) e. R <-> ( `' ( m |` J ) " NN ) e. Fin )
132	125, 131	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( m |` J ) e. R )
133	105, 132	eqeltrd 2540	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> o e. R )
134	118, 133	jca 532	. . . . 5 |- ( ( m e. ( T i^i R ) /\ o = ( m |` J ) ) -> ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) )
135	134	rexlimiva 2936	. . . 4 |- ( E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) -> ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) )
136	104, 135	impbii 188	. . 3 |- ( ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) <-> E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) )
137	136	abbii 2586	. 2 |- { o | ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) } = { o | E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) }
138		df-in 3438	. 2 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = { o | ( o e. ( NN0 ^m J ) /\ o e. R ) }
139		eqid 2452	. . 3 |- ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) = ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )
140	139	rnmpt 5188	. 2 |- ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) = { o | E. m e. ( T i^i R ) o = ( m |` J ) }
141	137, 138, 140	3eqtr4i 2491	1 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2437   =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800   _Vcvv 3072   \ cdif 3428   u. cun 3429   i^i cin 3430   C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   {csn 3980   class class class wbr 4395   {copab 4452   |-> cmpt 4453   X. cxp 4941   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   ran crn 4944   |` cres 4945   "cima 4946   Fun wfun 5515   Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   |-> cmpt2 6197   supp csupp 6795   ^m cmap 7319   Fincfn 7415   0cc0 9388   1c1 9389   x. cmul 9393   <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ^cexp 11977   sum_csu 13276   || cdivides 13648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-dvds 13649

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  26894