Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv1 Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemsv1 26876
Description: Lemma for eulerpart 26902. Value of the sum of a partition  A. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv1  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlemsv1
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . . 3  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) 
|->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
) ) )
3 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  f  =  A )  /\  k  e.  NN )  ->  f  =  A )
43fveq1d 5794 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  f  =  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  =  ( A `  k ) )
54oveq1d 6208 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  f  =  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  k ) )
65sumeq2dv 13291 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  f  =  A )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k ) )
7 id 22 . 2  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
8 sumex 13276 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  _V
98a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  _V )
102, 6, 7, 9fvmptd 5881 1  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   "cima 4944   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   Fincfn 7413    x. cmul 9391   NNcn 10426   NN0cn0 10683   sum_csu 13274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-sum 13275
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv2  26878  eulerpartlemsf  26879  eulerpartlems  26880  eulerpartlemsv3  26881  eulerpartlemn  26901
  Copyright terms: Public domain W3C validator