Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemsf 26873
Description: Lemma for eulerpart 26896. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Distinct variable group:    f, k, R
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  g  =  f )
32fveq1d 5788 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  =  ( f `
 k ) )
43oveq1d 6202 . . . . 5  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( ( f `  k )  x.  k ) )
54sumeq2dv 13279 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
65eleq1d 2519 . . 3  |-  ( g  =  f  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
)
7 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
87, 1eulerpartlemsv2 26872 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
97, 1eulerpartlemsv1 26870 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
108, 9eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
117, 1eulerpartlemelr 26871 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )
)
1211simprd 463 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
1311simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  g : NN --> NN0 )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  g : NN --> NN0 )
15 cnvimass 5284 . . . . . . . . 9  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
16 fdm 5658 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
1713, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  dom  g  =  NN )
1815, 17syl5sseq 3499 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
1918sselda 3451 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
2014, 19ffvelrnd 5940 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( g `  k )  e.  NN0 )
2119nnnn0d 10734 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
2220, 21nn0mulcld 10739 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2312, 22fsumnn0cl 13312 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2410, 23eqeltrrd 2538 . . 3  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
256, 24vtoclga 3129 . 2  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
261, 25fmpti 5962 1  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436    i^i cin 3422    |-> cmpt 4445   `'ccnv 4934   dom cdm 4935   "cima 4938   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    ^m cmap 7311   Fincfn 7407    x. cmul 9385   NNcn 10420   NN0cn0 10677   sum_csu 13262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-sum 13263
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  26874  eulerpartlemsv3  26875  eulerpartlemgc  26876
  Copyright terms: Public domain W3C validator