Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemsf 28804
Description: Lemma for eulerpart 28827. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Distinct variable group:    f, k, R
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
2 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  g  =  f )
32fveq1d 5851 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  =  ( f `
 k ) )
43oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( ( f `  k )  x.  k ) )
54sumeq2dv 13674 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
65eleq1d 2471 . . 3  |-  ( g  =  f  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
)
7 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
87, 1eulerpartlemsv2 28803 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
97, 1eulerpartlemsv1 28801 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
108, 9eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
117, 1eulerpartlemelr 28802 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )
)
1211simprd 461 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
1311simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  g : NN --> NN0 )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  g : NN --> NN0 )
15 cnvimass 5177 . . . . . . . . 9  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
16 fdm 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
1713, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  dom  g  =  NN )
1815, 17syl5sseq 3490 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
1918sselda 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
2014, 19ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( g `  k )  e.  NN0 )
2119nnnn0d 10893 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
2220, 21nn0mulcld 10898 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2312, 22fsumnn0cl 13707 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2410, 23eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
256, 24vtoclga 3123 . 2  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
261, 25fmpti 6032 1  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    i^i cin 3413    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Fincfn 7554    x. cmul 9527   NNcn 10576   NN0cn0 10836   sum_csu 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  28805  eulerpartlemsv3  28806  eulerpartlemgc  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator