Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemsf 27935
Description: Lemma for eulerpart 27958. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Distinct variable group:    f, k, R
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  g  =  f )
32fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  =  ( f `
 k ) )
43oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( g  =  f  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( ( f `  k )  x.  k ) )
54sumeq2dv 13481 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
65eleq1d 2536 . . 3  |-  ( g  =  f  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
)
7 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
87, 1eulerpartlemsv2 27934 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
97, 1eulerpartlemsv1 27932 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  g )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
108, 9eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
117, 1eulerpartlemelr 27933 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )
)
1211simprd 463 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
1311simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  g : NN --> NN0 )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  g : NN --> NN0 )
15 cnvimass 5355 . . . . . . . . 9  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
16 fdm 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
1713, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  dom  g  =  NN )
1815, 17syl5sseq 3552 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
1918sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
2014, 19ffvelrnd 6020 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( g `  k )  e.  NN0 )
2119nnnn0d 10848 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
2220, 21nn0mulcld 10853 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2312, 22fsumnn0cl 13514 . . . 4  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
2410, 23eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( g  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
256, 24vtoclga 3177 . 2  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
261, 25fmpti 6042 1  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    i^i cin 3475    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513    x. cmul 9493   NNcn 10532   NN0cn0 10791   sum_csu 13464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  27936  eulerpartlemsv3  27937  eulerpartlemgc  27938
  Copyright terms: Public domain W3C validator