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Theorem eulerpartlems 28276
Description: Lemma for eulerpart 28298. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2 eulerpartlems.s . . . . . 6  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
31, 2eulerpartlemsf 28275 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
43ffvelrni 6015 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
5 nndiffz1 27572 . . . . 5  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
65eleq2d 2513 . . . 4  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
87pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
10 eldif 3471 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
119, 10sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )
1211simpld 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
131, 2eulerpartlemelr 28273 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1413simpld 459 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1514ffvelrnda 6016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1612, 15syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
17 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i 
R ) )
184adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
1911simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )
20 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  NN )
21 nnuz 11126 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
23 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2423nn0zd 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  ZZ )
25 elfz5 11690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( S `  A )  e.  ZZ )  ->  (
t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) )  <->  t  <_  ( S `  A ) ) )
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) )  <-> 
t  <_  ( S `  A ) ) )
2726notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
2823nn0red 10860 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2920nnred 10558 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  RR )
3028, 29ltnled 9735 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  A )  <  t  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
3127, 30bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  ( S `  A )  <  t
) )
3231biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A
)  e.  NN0 )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( S `  A )  <  t
)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  <  t )
341, 2eulerpartlemsv1 28272 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
35 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
3735, 36oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
3837cbvsumv 13499 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )
3934, 38syl6req 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  ( S `  A ) )
40 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
( S `  A
)  <  t  <->  ( S `  A )  <  l
) )
41 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  l  ->  ( A `  t )  =  ( A `  l ) )
4241breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
0  <  ( A `  t )  <->  0  <  ( A `  l ) ) )
4340, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  l  ->  (
( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <-> 
( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) ) )
4443cbvrexv 3071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) )  <->  E. l  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )
454adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4645nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
474ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4847nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN )
5150nnred 10558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  RR )
52 1zzd 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
55 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  m  =  t )
5756fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
5857, 56oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( ( A `  m )  x.  m )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
60 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
6159nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6260, 61nn0mulcld 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  NN0 )
6355, 58, 59, 62fvmptd 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) `  t )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
6453, 54, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) `
 t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
6514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
6665ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
6754nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6866, 67nn0mulcld 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  NN0 )
6968nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
70 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
7270, 71oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  t  ->  (
( A `  m
)  x.  m )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7372cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7468, 73fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0 )
75 nn0sscn 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  CC
76 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) : NN --> CC )
7774, 75, 76sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> CC )
78 nnex 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  e.  _V
79 0nn0 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
80 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( CC 
\  { 0 } )
8180ffs2 27527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  0  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) "
( CC  \  {
0 } ) ) )
8278, 79, 81mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) " ( CC 
\  { 0 } ) ) )
8377, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) " ( CC  \  { 0 } ) ) )
84 frnnn0supp 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A : NN --> NN0 )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8578, 65, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8613simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8885, 87eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  e.  Fin )
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  NN  e.  _V )
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  0  e.  NN0 )
91 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
92 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
9392oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
94 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  NN )
9594nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  CC )
9695mul02d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
9793, 96eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 27526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )
9965, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  C_  ( A supp  0 ) )
100 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  e.  Fin )
10188, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  e.  Fin )
10283, 101eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )
" ( CC  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 27909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
106 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  l
)
10714ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  NN0 )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  NN0 )
109108nn0red 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  RR )
110109, 51remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  e.  RR )
11150nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
112111nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <_  l )
113 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <  ( A `  l ) )
114 elnnnn0b 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  <->  ( ( A `  l )  e.  NN0  /\  0  < 
( A `  l
) ) )
115 nnge1 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  ->  1  <_  ( A `  l
) )
116114, 115sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  l
)  e.  NN0  /\  0  <  ( A `  l ) )  -> 
1  <_  ( A `  l ) )
117108, 113, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  1  <_  ( A `  l ) )
11851, 109, 112, 117lemulge12d 10491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  ( ( A `  l
)  x.  l ) )
119107nn0cnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  CC )
12049nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  CC )
121119, 120mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  l  ->  t  =  l )
12341, 122oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  l  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( ( A `
 l )  x.  l ) )
124123sumsn 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( l  e.  NN  /\  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )  ->  sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
12549, 121, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
126 snfi 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { l }  e.  Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  e.  Fin )
12849snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  C_  NN )
12968nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  0  <_  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 13638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
131125, 130eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
13351, 110, 105, 118, 132letrd 9742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
135134r19.29an 2984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13646, 135gtned 9723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
13844, 137syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
139138necon2bd 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( S `  A )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) ) )
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) )
141 ralnex 2889 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
142140, 141sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `  t
) ) )
143 imnan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
144143ralbii 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
145142, 144sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
t  ->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
146145r19.21bi 2812 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( S `  A )  <  t  ->  -.  0  <  ( A `  t )
) )
147146imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  ( S `  A
)  <  t )  ->  -.  0  <  ( A `  t )
)
14817, 12, 33, 147syl21anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )
149 nn0re 10811 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( A `
 t )  e.  RR )
150 0red 9600 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
151149, 150lenltd 9734 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
152 nn0le0eq0 10831 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
153151, 152bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( -.  0  <  ( A `
 t )  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
154153biimpa 484 . . 3  |-  ( ( ( A `  t
)  e.  NN0  /\  -.  0  <  ( A `
 t ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
15516, 148, 154syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
1568, 155sylbir 213 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682   sum_csu 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  28277  eulerpartlemgc  28278
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