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Theorem eulerpartlems 26748
Description: Lemma for eulerpart 26770. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2 eulerpartlems.s . . . . . 6  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
31, 2eulerpartlemsf 26747 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
43ffvelrni 5847 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
5 nndiffz1 26080 . . . . 5  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
65eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
87pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
10 eldif 3343 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
119, 10sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )
1211simpld 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
131, 2eulerpartlemelr 26745 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1413simpld 459 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1514ffvelrnda 5848 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1612, 15syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
17 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i 
R ) )
184adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
1911simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )
20 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  NN )
21 nnuz 10901 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
23 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2423nn0zd 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  ZZ )
25 elfz5 11450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( S `  A )  e.  ZZ )  ->  (
t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) )  <->  t  <_  ( S `  A ) ) )
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) )  <-> 
t  <_  ( S `  A ) ) )
2726notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
2823nn0red 10642 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2920nnred 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  RR )
3028, 29ltnled 9526 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  A )  <  t  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
3127, 30bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  ( S `  A )  <  t
) )
3231biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A
)  e.  NN0 )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( S `  A )  <  t
)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  <  t )
34 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
35 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
3634, 35oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
3736cbvsumv 13178 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )
381, 2eulerpartlemsv1 26744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
3938eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  ( S `  A ) )
4037, 39syl5eqr 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  ( S `  A ) )
41 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
( S `  A
)  <  t  <->  ( S `  A )  <  l
) )
42 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  l  ->  ( A `  t )  =  ( A `  l ) )
4342breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
0  <  ( A `  t )  <->  0  <  ( A `  l ) ) )
4441, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  l  ->  (
( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <-> 
( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) ) )
4544cbvrexv 2953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) )  <->  E. l  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )
464adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4746nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
484ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4948nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN )
5251nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  RR )
53 1z 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
57 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  m  =  t )
5958fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
6059, 58oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( ( A `  m )  x.  m )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
62 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
6361nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6462, 63nn0mulcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  NN0 )
6557, 60, 61, 64fvmptd 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) `  t )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
6655, 56, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) `
 t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
6714adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
6867ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
6956nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
7068, 69nn0mulcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  NN0 )
7170nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
72 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  t  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
7472, 73oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  t  ->  (
( A `  m
)  x.  m )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7574cbvmptv 4388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7670, 75fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0 )
77 nn0sscn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  C_  CC
78 fss 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) : NN --> CC )
7976, 77, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> CC )
80 nnex 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  e.  _V
81 0nn0 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  NN0
82 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( CC 
\  { 0 } )
8382ffs2 26033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  0  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) "
( CC  \  {
0 } ) ) )
8480, 81, 83mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) " ( CC 
\  { 0 } ) ) )
8579, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) " ( CC  \  { 0 } ) ) )
86 frnnn0supp 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A : NN --> NN0 )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8780, 86mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8867, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8913simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
9188, 90eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  e.  Fin )
9280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  NN  e.  _V )
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  0  e.  NN0 )
94 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
95 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
9695oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
97 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  NN )
9897nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  CC )
9998mul02d 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
10096, 99eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
10175, 92, 93, 94, 100suppss3 26032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )
10267, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  C_  ( A supp  0 ) )
103 ssfi 7538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  e.  Fin )
10491, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  e.  Fin )
10585, 104eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )
" ( CC  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
10621, 54, 79, 105fsumcvg4 26385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10721, 54, 66, 71, 106isumrecl 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
109 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  l
)
11014ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  NN0 )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  NN0 )
112111nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  RR )
113112, 52remulcld 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  e.  RR )
11451nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
115 nn0ge0 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  NN0  ->  0  <_ 
l )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <_  l )
117 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <  ( A `  l ) )
118 elnnnn0b 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  <->  ( ( A `  l )  e.  NN0  /\  0  < 
( A `  l
) ) )
119 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  ->  1  <_  ( A `  l
) )
120118, 119sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  e.  NN0  /\  0  <  ( A `  l ) )  -> 
1  <_  ( A `  l ) )
121111, 117, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  1  <_  ( A `  l ) )
12252, 112, 116, 121lemulge12d 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  ( ( A `  l
)  x.  l ) )
123110nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  CC )
12450nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  CC )
125123, 124mulcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  =  l  ->  t  =  l )
12742, 126oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  l  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( ( A `
 l )  x.  l ) )
128127sumsn 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( l  e.  NN  /\  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )  ->  sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
12950, 125, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
130 snfi 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { l }  e.  Fin
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  e.  Fin )
13250snssd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  C_  NN )
13370nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  0  <_  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13421, 54, 131, 132, 66, 71, 133, 106isumless 13313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
135129, 134eqbrtrrd 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
13752, 113, 108, 122, 136letrd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13849, 52, 108, 109, 137ltletrd 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) ) )
140139rexlimdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) ) )
141140imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
142127cbvsumv 13178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  sum_ l  e.  NN  (
( A `  l
)  x.  l )
143141, 142syl6breq 4336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ l  e.  NN  (
( A `  l
)  x.  l ) )
144 ltne 9476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  ( S `  A )  <  sum_ l  e.  NN  ( ( A `  l )  x.  l
) )  ->  sum_ l  e.  NN  ( ( A `
 l )  x.  l )  =/=  ( S `  A )
)
145142neeq1i 2623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =/=  ( S `  A )  <->  sum_ l  e.  NN  ( ( A `
 l )  x.  l )  =/=  ( S `  A )
)
146144, 145sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  ( S `  A )  <  sum_ l  e.  NN  ( ( A `  l )  x.  l
) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =/=  ( S `  A )
)
14747, 143, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) )
148147ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
14945, 148syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
150149necon2bd 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( S `  A )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) ) )
15140, 150mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) )
152 ralnex 2730 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
153151, 152sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `  t
) ) )
154 imnan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
155154ralbii 2744 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
156153, 155sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
t  ->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
157156r19.21bi 2819 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( S `  A )  <  t  ->  -.  0  <  ( A `  t )
) )
158157imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  ( S `  A
)  <  t )  ->  -.  0  <  ( A `  t )
)
15917, 12, 33, 158syl21anc 1217 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )
160 nn0re 10593 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( A `
 t )  e.  RR )
161 0re 9391 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
162161a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
163160, 162lenltd 9525 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
164 nn0le0eq0 10613 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
165163, 164bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( -.  0  <  ( A `
 t )  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
166165biimpa 484 . . 3  |-  ( ( ( A `  t
)  e.  NN0  /\  -.  0  <  ( A `
 t ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
16716, 159, 166syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
1688, 167sylbir 213 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    i^i cin 3332    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supp csupp 6695    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  26749  eulerpartlemgc  26750
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