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Theorem eulerpartlems 29241
Description: Lemma for eulerpart 29263. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2 eulerpartlems.s . . . . . 6  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
31, 2eulerpartlemsf 29240 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
43ffvelrni 6043 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
5 nndiffz1 28414 . . . . 5  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
65eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
74, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
87pm5.32i 647 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
9 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
10 eldif 3425 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
119, 10sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )
1211simpld 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
131, 2eulerpartlemelr 29238 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1413simpld 465 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1514ffvelrnda 6044 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1612, 15syldan 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
17 simpl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i 
R ) )
184adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
1911simprd 469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )
20 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  NN )
21 nnuz 11222 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
23 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2423nn0zd 11066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  ZZ )
25 elfz5 11820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( S `  A )  e.  ZZ )  ->  (
t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) )  <->  t  <_  ( S `  A ) ) )
2622, 24, 25syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) )  <-> 
t  <_  ( S `  A ) ) )
2726notbid 300 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
2823nn0red 10954 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2920nnred 10651 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  RR )
3028, 29ltnled 9807 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  A )  <  t  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
3127, 30bitr4d 264 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  ( S `  A )  <  t
) )
3231biimpa 491 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A
)  e.  NN0 )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( S `  A )  <  t
)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  <  t )
341, 2eulerpartlemsv1 29237 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
35 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
3735, 36oveq12d 6332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
3837cbvsumv 13810 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )
3934, 38syl6req 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  ( S `  A ) )
40 breq2 4419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
( S `  A
)  <  t  <->  ( S `  A )  <  l
) )
41 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  l  ->  ( A `  t )  =  ( A `  l ) )
4241breq2d 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
0  <  ( A `  t )  <->  0  <  ( A `  l ) ) )
4340, 42anbi12d 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  l  ->  (
( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <-> 
( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) ) )
4443cbvrexv 3031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) )  <->  E. l  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )
454adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4645nn0red 10954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
474ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4847nn0red 10954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
49 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
5049adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN )
5150nnred 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  RR )
52 1zzd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5314ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
54 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
55 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) )
56 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  m  =  t )
5756fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
5857, 56oveq12d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( ( A `  m )  x.  m )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
59 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
60 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
6159nnnn0d 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6260, 61nn0mulcld 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  NN0 )
6355, 58, 59, 62fvmptd 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) `  t )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
6453, 54, 63syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) `
 t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
6514adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
6665ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
6754nnnn0d 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6866, 67nn0mulcld 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  NN0 )
6968nn0red 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
70 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
7270, 71oveq12d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  t  ->  (
( A `  m
)  x.  m )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7372cbvmptv 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7468, 73fmptd 6068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0 )
75 nn0sscn 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  CC
76 fss 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) : NN --> CC )
7774, 75, 76sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> CC )
78 nnex 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  e.  _V
79 0nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
80 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( CC 
\  { 0 } )
8180ffs2 28361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  0  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) "
( CC  \  {
0 } ) ) )
8278, 79, 81mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) " ( CC 
\  { 0 } ) ) )
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) " ( CC  \  { 0 } ) ) )
84 frnnn0supp 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A : NN --> NN0 )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8578, 65, 84sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8613simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8786adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8885, 87eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  e.  Fin )
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  NN  e.  _V )
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  0  e.  NN0 )
91 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
92 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
9392oveq1d 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
94 simp2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  NN )
9594nncnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  CC )
9695mul02d 9856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
9793, 96eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 28360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  C_  ( A supp  0 ) )
100 ssfi 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  e.  Fin )
10188, 99, 100syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  e.  Fin )
10283, 101eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )
" ( CC  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 28804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 13874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
105104adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
106 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  l
)
10714ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  NN0 )
108107adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  NN0 )
109108nn0red 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  RR )
110109, 51remulcld 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  e.  RR )
11150nnnn0d 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
112111nn0ge0d 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <_  l )
113 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <  ( A `  l ) )
114 elnnnn0b 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  <->  ( ( A `  l )  e.  NN0  /\  0  < 
( A `  l
) ) )
115 nnge1 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  ->  1  <_  ( A `  l
) )
116114, 115sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  l
)  e.  NN0  /\  0  <  ( A `  l ) )  -> 
1  <_  ( A `  l ) )
117108, 113, 116syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  1  <_  ( A `  l ) )
11851, 109, 112, 117lemulge12d 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  ( ( A `  l
)  x.  l ) )
119107nn0cnd 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  CC )
12049nncnd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  CC )
121119, 120mulcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  l  ->  t  =  l )
12341, 122oveq12d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  l  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( ( A `
 l )  x.  l ) )
124123sumsn 13855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( l  e.  NN  /\  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )  ->  sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
12549, 121, 124syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
126 snfi 7675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { l }  e.  Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  e.  Fin )
12849snssd 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  C_  NN )
12968nn0ge0d 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  0  <_  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 13951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
131125, 130eqbrtrrd 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
132131adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
13351, 110, 105, 118, 132letrd 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 9820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
135134r19.29an 2942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13646, 135gtned 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) )
137136ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
13844, 137syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
139138necon2bd 2651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( S `  A )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) ) )
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) )
141 ralnex 2845 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
142140, 141sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `  t
) ) )
143 imnan 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
144143ralbii 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
145142, 144sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
t  ->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
146145r19.21bi 2768 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( S `  A )  <  t  ->  -.  0  <  ( A `  t )
) )
147146imp 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  ( S `  A
)  <  t )  ->  -.  0  <  ( A `  t )
)
14817, 12, 33, 147syl21anc 1275 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )
149 nn0re 10906 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( A `
 t )  e.  RR )
150 0red 9669 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
151149, 150lenltd 9806 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
152 nn0le0eq0 10926 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
153151, 152bitr3d 263 . . . 4  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( -.  0  <  ( A `
 t )  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
154153biimpa 491 . . 3  |-  ( ( ( A `  t
)  e.  NN0  /\  -.  0  <  ( A `
 t ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
15516, 148, 154syl2anc 671 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
1568, 155sylbir 218 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   {cab 2447    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    i^i cin 3414    C_ wss 3415   {csn 3979   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supp csupp 6940    ^m cmap 7497   Fincfn 7594   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569    < clt 9700    <_ cle 9701   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   sum_csu 13800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  29242  eulerpartlemgc  29243
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