Theorem eulerpartlems 28686

Description: Lemma for eulerpart 28708. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlems	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems

Dummy variables l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . . . . 6 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		eulerpartlems.s	. . . . . 6 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
3	1, 2	eulerpartlemsf 28685	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
4	3	ffvelrni 5962	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
5		nndiffz1 27925	. . . . 5 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2470	. . . 4 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
8	7	pm5.32i 635	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
9		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
10		eldif 3421	. . . . . 6 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
12	11	simpld 457	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
13	1, 2	eulerpartlemelr 28683	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
14	13	simpld 457	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
15	14	ffvelrnda 5963	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	12, 15	syldan 468	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
17		simpl 455	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
18	4	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
19	11	simprd 461	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
20		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. NN )
21		nnuz 11078	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22	20, 21	syl6eleq 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 10924	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. ZZ )
25		elfz5 11649	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( S ` A ) e. ZZ ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
27	26	notbid 292	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
28	23	nn0red 10812	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. RR )
29	20	nnred 10509	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. RR )
30	28, 29	ltnled 9682	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( ( S ` A ) < t <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
31	27, 30	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> ( S ` A ) < t ) )
32	31	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
33	12, 18, 19, 32	syl21anc 1227	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
34	1, 2	eulerpartlemsv1 28682	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) )
35		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> k = t )
37	35, 36	oveq12d 6250	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
38	37	cbvsumv 13572	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) = sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t )
39	34, 38	syl6req 2458	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) )
40		breq2 4396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( ( S ` A ) < t <-> ( S ` A ) < l ) )
41		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = l -> ( A ` t ) = ( A ` l ) )
42	41	breq2d 4404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( 0 < ( A ` t ) <-> 0 < ( A ` l ) ) )
43	40, 42	anbi12d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = l -> ( ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) )
44	43	cbvrexv 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) )
45	4	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
46	45	nn0red 10812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
47	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
48	47	nn0red 10812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
49		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. NN )
50	49	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN )
51	50	nnred 10509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. RR )
52		1zzd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> 1 e. ZZ )
53	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
54		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN )
55		eqidd 2401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) )
56		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> m = t )
57	56	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
58	57, 56	oveq12d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
59		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN )
60		ffvelrn 5961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
61	59	nnnn0d 10811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
62	60, 61	nn0mulcld 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
63	55, 58, 59, 62	fvmptd 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64	53, 54, 63	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
65	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
66	65	ffvelrnda 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
67	54	nnnn0d 10811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
68	66, 67	nn0mulcld 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
69	68	nn0red 10812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
70		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> m = t )
72	70, 71	oveq12d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = t -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
73	72	cbvmptv 4484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( t e. NN |-> ( ( A ` t ) x. t ) )
74	68, 73	fmptd 5987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 )
75		nn0sscn 10759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 C_ CC
76		fss 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
77	74, 75, 76	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
78		nnex 10500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- NN e. _V
79		0nn0 10769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. NN0
80		eqid 2400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC \ { 0 } ) = ( CC \ { 0 } )
81	80	ffs2 27879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( NN e. _V /\ 0 e. NN0 /\ ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
82	78, 79, 81	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
84		frnnn0supp 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( NN e. _V /\ A : NN --> NN0 ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
85	78, 65, 84	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
86	13	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
87	86	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
88	85, 87	eqeltrd 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) e. Fin )
89	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> NN e. _V )
90	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> 0 e. NN0 )
91		ffn 5668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> A Fn NN )
92		simp3 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( A ` t ) = 0 )
93	92	oveq1d 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
94		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. NN )
95	94	nncnd 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. CC )
96	95	mul02d 9730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
97	93, 96	eqtrd 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
98	73, 89, 90, 91, 97	suppss3 27878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A : NN --> NN0 -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
99	65, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
100		ssfi 7693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A supp 0 ) e. Fin /\ ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
101	88, 99, 100	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
102	83, 101	eqeltrrd 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) e. Fin )
103	21, 52, 77, 102	fsumcvg4 28266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ) e. dom ~~> )
104	21, 52, 64, 69, 103	isumrecl 13636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
105	104	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
106		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < l )
107	14	ffvelrnda 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
108	107	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
109	108	nn0red 10812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. RR )
110	109, 51	remulcld 9572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. RR )
111	50	nnnn0d 10811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN0 )
112	111	nn0ge0d 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 <_ l )
113		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 < ( A ` l ) )
114		elnnnn0b 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN <-> ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) )
115		nnge1 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN -> 1 <_ ( A ` l ) )
116	114, 115	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
117	108, 113, 116	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
118	51, 109, 112, 117	lemulge12d 10442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ ( ( A ` l ) x. l ) )
119	107	nn0cnd 10813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. CC )
120	49	nncnd 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. CC )
121	119, 120	mulcld 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. CC )
122		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = l -> t = l )
123	41, 122	oveq12d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = l -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
124	123	sumsn 13617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. NN /\ ( ( A ` l ) x. l ) e. CC ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
125	49, 121, 124	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
126		snfi 7552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { l } e. Fin
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } e. Fin )
128	49	snssd 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } C_ NN )
129	68	nn0ge0d 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
130	21, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103	isumless 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
131	125, 130	eqbrtrrd 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
132	131	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
133	51, 110, 105, 118, 132	letrd 9691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
134	48, 51, 105, 106, 133	ltletrd 9694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
135	134	r19.29an 2945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
136	46, 135	gtned 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) )
137	136	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
138	44, 137	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
139	138	necon2bd 2616	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) ) )
140	39, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
141		ralnex 2847	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
142	140, 141	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
143		imnan 420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
144	143	ralbii 2832	. . . . . . 7 |- ( A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
145	142, 144	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
146	145	r19.21bi 2770	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
147	146	imp 427	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ ( S ` A ) < t ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
148	17, 12, 33, 147	syl21anc 1227	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
149		nn0re 10763	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( A ` t ) e. RR )
150		0red 9545	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> 0 e. RR )
151	149, 150	lenltd 9681	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> -. 0 < ( A ` t ) ) )
152		nn0le0eq0 10783	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> ( A ` t ) = 0 ) )
153	151, 152	bitr3d 255	. . . 4 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( -. 0 < ( A ` t ) <-> ( A ` t ) = 0 ) )
154	153	biimpa 482	. . 3 |- ( ( ( A ` t ) e. NN0 /\ -. 0 < ( A ` t ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
155	16, 148, 154	syl2anc 659	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
156	8, 155	sylbir 213	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 972   = wceq 1403   e. wcel 1840   {cab 2385   =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3408   i^i cin 3410   C_ wss 3411   {csn 3969   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   "cima 4943   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   supp csupp 6854   ^m cmap 7375   Fincfn 7472   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441   + caddc 9443   x. cmul 9445   < clt 9576   <_ cle 9577   NNcn 10494   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043   ...cfz 11641   sum_csu 13562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  28687  eulerpartlemgc  28688