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Theorem eulerpartlems 29195
Description: Lemma for eulerpart 29217. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2 eulerpartlems.s . . . . . 6  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
31, 2eulerpartlemsf 29194 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
43ffvelrni 6034 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
5 nndiffz1 28366 . . . . 5  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
65eleq2d 2493 . . . 4  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
74, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
87pm5.32i 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
9 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
10 eldif 3447 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
119, 10sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )
1211simpld 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
131, 2eulerpartlemelr 29192 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1413simpld 461 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1514ffvelrnda 6035 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1612, 15syldan 473 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
17 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i 
R ) )
184adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
1911simprd 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )
20 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  NN )
21 nnuz 11196 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
23 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2423nn0zd 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  ZZ )
25 elfz5 11794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( S `  A )  e.  ZZ )  ->  (
t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) )  <->  t  <_  ( S `  A ) ) )
2622, 24, 25syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) )  <-> 
t  <_  ( S `  A ) ) )
2726notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
2823nn0red 10928 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2920nnred 10626 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  RR )
3028, 29ltnled 9784 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  A )  <  t  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
3127, 30bitr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  ( S `  A )  <  t
) )
3231biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A
)  e.  NN0 )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( S `  A )  <  t
)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  <  t )
341, 2eulerpartlemsv1 29191 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
36 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
3735, 36oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
3837cbvsumv 13755 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )
3934, 38syl6req 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  ( S `  A ) )
40 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
( S `  A
)  <  t  <->  ( S `  A )  <  l
) )
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  l  ->  ( A `  t )  =  ( A `  l ) )
4241breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
0  <  ( A `  t )  <->  0  <  ( A `  l ) ) )
4340, 42anbi12d 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  l  ->  (
( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <-> 
( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) ) )
4443cbvrexv 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) )  <->  E. l  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )
454adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4645nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
474ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4847nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
49 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN )
5150nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  RR )
52 1zzd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5314ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
54 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
55 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  m  =  t )
5756fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
5857, 56oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( ( A `  m )  x.  m )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
59 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
60 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
6159nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6260, 61nn0mulcld 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  NN0 )
6355, 58, 59, 62fvmptd 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) `  t )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
6453, 54, 63syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) `
 t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
6514adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
6665ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
6754nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6866, 67nn0mulcld 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  NN0 )
6968nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
70 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
71 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
7270, 71oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  t  ->  (
( A `  m
)  x.  m )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7372cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7468, 73fmptd 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0 )
75 nn0sscn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  CC
76 fss 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) : NN --> CC )
7774, 75, 76sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> CC )
78 nnex 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  e.  _V
79 0nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
80 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( CC 
\  { 0 } )
8180ffs2 28313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  0  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) "
( CC  \  {
0 } ) ) )
8278, 79, 81mp3an12 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) " ( CC 
\  { 0 } ) ) )
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) " ( CC  \  { 0 } ) ) )
84 frnnn0supp 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A : NN --> NN0 )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8578, 65, 84sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8613simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8885, 87eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  e.  Fin )
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  NN  e.  _V )
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  0  e.  NN0 )
91 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
92 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
9392oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
94 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  NN )
9594nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  CC )
9695mul02d 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
9793, 96eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 28312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  C_  ( A supp  0 ) )
100 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  e.  Fin )
10188, 99, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  e.  Fin )
10283, 101eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )
" ( CC  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 28758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 13819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
105104adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
106 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  l
)
10714ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  NN0 )
108107adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  NN0 )
109108nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  RR )
110109, 51remulcld 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  e.  RR )
11150nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
112111nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <_  l )
113 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <  ( A `  l ) )
114 elnnnn0b 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  <->  ( ( A `  l )  e.  NN0  /\  0  < 
( A `  l
) ) )
115 nnge1 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  ->  1  <_  ( A `  l
) )
116114, 115sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  l
)  e.  NN0  /\  0  <  ( A `  l ) )  -> 
1  <_  ( A `  l ) )
117108, 113, 116syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  1  <_  ( A `  l ) )
11851, 109, 112, 117lemulge12d 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  ( ( A `  l
)  x.  l ) )
119107nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  CC )
12049nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  CC )
121119, 120mulcld 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )
122 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  l  ->  t  =  l )
12341, 122oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  l  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( ( A `
 l )  x.  l ) )
124123sumsn 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( l  e.  NN  /\  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )  ->  sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
12549, 121, 124syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
126 snfi 7655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { l }  e.  Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  e.  Fin )
12849snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  C_  NN )
12968nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  0  <_  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 13896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
131125, 130eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
132131adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
13351, 110, 105, 118, 132letrd 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 9797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
135134r19.29an 2970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13646, 135gtned 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) )
137136ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
13844, 137syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
139138necon2bd 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( S `  A )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) ) )
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) )
141 ralnex 2872 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
142140, 141sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `  t
) ) )
143 imnan 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
144143ralbii 2857 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
145142, 144sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
t  ->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
146145r19.21bi 2795 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( S `  A )  <  t  ->  -.  0  <  ( A `  t )
) )
147146imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  ( S `  A
)  <  t )  ->  -.  0  <  ( A `  t )
)
14817, 12, 33, 147syl21anc 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )
149 nn0re 10880 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( A `
 t )  e.  RR )
150 0red 9646 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
151149, 150lenltd 9783 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
152 nn0le0eq0 10900 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
153151, 152bitr3d 259 . . . 4  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( -.  0  <  ( A `
 t )  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
154153biimpa 487 . . 3  |-  ( ( ( A `  t
)  e.  NN0  /\  -.  0  <  ( A `
 t ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
15516, 148, 154syl2anc 666 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
1568, 155sylbir 217 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   "cima 4854   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   supp csupp 6923    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786   sum_csu 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  29196  eulerpartlemgc  29197
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