Theorem eulerpartlems 29195

Description: Lemma for eulerpart 29217. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlems	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems

Dummy variables l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . . . . 6 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		eulerpartlems.s	. . . . . 6 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
3	1, 2	eulerpartlemsf 29194	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
4	3	ffvelrni 6034	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
5		nndiffz1 28366	. . . . 5 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2493	. . . 4 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
8	7	pm5.32i 642	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
9		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
10		eldif 3447	. . . . . 6 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
11	9, 10	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
12	11	simpld 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
13	1, 2	eulerpartlemelr 29192	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
14	13	simpld 461	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
15	14	ffvelrnda 6035	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	12, 15	syldan 473	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
17		simpl 459	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
18	4	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
19	11	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
20		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. NN )
21		nnuz 11196	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22	20, 21	syl6eleq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. ZZ )
25		elfz5 11794	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( S ` A ) e. ZZ ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
27	26	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
28	23	nn0red 10928	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. RR )
29	20	nnred 10626	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. RR )
30	28, 29	ltnled 9784	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( ( S ` A ) < t <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
31	27, 30	bitr4d 260	. . . . . 6 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> ( S ` A ) < t ) )
32	31	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
33	12, 18, 19, 32	syl21anc 1264	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
34	1, 2	eulerpartlemsv1 29191	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) )
35		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
36		id 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> k = t )
37	35, 36	oveq12d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
38	37	cbvsumv 13755	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) = sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t )
39	34, 38	syl6req 2481	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) )
40		breq2 4425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( ( S ` A ) < t <-> ( S ` A ) < l ) )
41		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = l -> ( A ` t ) = ( A ` l ) )
42	41	breq2d 4433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( 0 < ( A ` t ) <-> 0 < ( A ` l ) ) )
43	40, 42	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = l -> ( ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) )
44	43	cbvrexv 3057	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) )
45	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
46	45	nn0red 10928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
47	4	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
48	47	nn0red 10928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
49		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. NN )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN )
51	50	nnred 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. RR )
52		1zzd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> 1 e. ZZ )
53	14	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
54		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN )
55		eqidd 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) )
56		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> m = t )
57	56	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
58	57, 56	oveq12d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
59		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN )
60		ffvelrn 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
61	59	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
62	60, 61	nn0mulcld 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
63	55, 58, 59, 62	fvmptd 5968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64	53, 54, 63	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
65	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
66	65	ffvelrnda 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
67	54	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
68	66, 67	nn0mulcld 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
69	68	nn0red 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
70		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
71		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> m = t )
72	70, 71	oveq12d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = t -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
73	72	cbvmptv 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( t e. NN |-> ( ( A ` t ) x. t ) )
74	68, 73	fmptd 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 )
75		nn0sscn 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 C_ CC
76		fss 5752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
77	74, 75, 76	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
78		nnex 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- NN e. _V
79		0nn0 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. NN0
80		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC \ { 0 } ) = ( CC \ { 0 } )
81	80	ffs2 28313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( NN e. _V /\ 0 e. NN0 /\ ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
82	78, 79, 81	mp3an12 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
84		frnnn0supp 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( NN e. _V /\ A : NN --> NN0 ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
85	78, 65, 84	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
86	13	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
87	86	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
88	85, 87	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) e. Fin )
89	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> NN e. _V )
90	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> 0 e. NN0 )
91		ffn 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> A Fn NN )
92		simp3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( A ` t ) = 0 )
93	92	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
94		simp2 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. NN )
95	94	nncnd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. CC )
96	95	mul02d 9833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
97	93, 96	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
98	73, 89, 90, 91, 97	suppss3 28312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A : NN --> NN0 -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
99	65, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
100		ssfi 7796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A supp 0 ) e. Fin /\ ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
101	88, 99, 100	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
102	83, 101	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) e. Fin )
103	21, 52, 77, 102	fsumcvg4 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ) e. dom ~~> )
104	21, 52, 64, 69, 103	isumrecl 13819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
105	104	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
106		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < l )
107	14	ffvelrnda 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
108	107	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
109	108	nn0red 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. RR )
110	109, 51	remulcld 9673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. RR )
111	50	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN0 )
112	111	nn0ge0d 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 <_ l )
113		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 < ( A ` l ) )
114		elnnnn0b 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN <-> ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) )
115		nnge1 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN -> 1 <_ ( A ` l ) )
116	114, 115	sylbir 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
117	108, 113, 116	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
118	51, 109, 112, 117	lemulge12d 10547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ ( ( A ` l ) x. l ) )
119	107	nn0cnd 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. CC )
120	49	nncnd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. CC )
121	119, 120	mulcld 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. CC )
122		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = l -> t = l )
123	41, 122	oveq12d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = l -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
124	123	sumsn 13800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. NN /\ ( ( A ` l ) x. l ) e. CC ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
125	49, 121, 124	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
126		snfi 7655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { l } e. Fin
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } e. Fin )
128	49	snssd 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } C_ NN )
129	68	nn0ge0d 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
130	21, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103	isumless 13896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
131	125, 130	eqbrtrrd 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
132	131	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
133	51, 110, 105, 118, 132	letrd 9794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
134	48, 51, 105, 106, 133	ltletrd 9797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
135	134	r19.29an 2970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
136	46, 135	gtned 9772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) )
137	136	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
138	44, 137	syl5bi 221	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
139	138	necon2bd 2640	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) ) )
140	39, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
141		ralnex 2872	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
142	140, 141	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
143		imnan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
144	143	ralbii 2857	. . . . . . 7 |- ( A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
145	142, 144	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
146	145	r19.21bi 2795	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
147	146	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ ( S ` A ) < t ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
148	17, 12, 33, 147	syl21anc 1264	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
149		nn0re 10880	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( A ` t ) e. RR )
150		0red 9646	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> 0 e. RR )
151	149, 150	lenltd 9783	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> -. 0 < ( A ` t ) ) )
152		nn0le0eq0 10900	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> ( A ` t ) = 0 ) )
153	151, 152	bitr3d 259	. . . 4 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( -. 0 < ( A ` t ) <-> ( A ` t ) = 0 ) )
154	153	biimpa 487	. . 3 |- ( ( ( A ` t ) e. NN0 /\ -. 0 < ( A ` t ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
155	16, 148, 154	syl2anc 666	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
156	8, 155	sylbir 217	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   {cab 2408   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   i^i cin 3436   C_ wss 3437   {csn 3997   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   "cima 4854   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   supp csupp 6923   ^m cmap 7478   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   x. cmul 9546   < clt 9677   <_ cle 9678   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786   sum_csu 13745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  29196  eulerpartlemgc  29197