Theorem eulerpartlems 29241

Description: Lemma for eulerpart 29263. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlems	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems

Dummy variables l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . . . . 6 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		eulerpartlems.s	. . . . . 6 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
3	1, 2	eulerpartlemsf 29240	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
4	3	ffvelrni 6043	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
5		nndiffz1 28414	. . . . 5 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
8	7	pm5.32i 647	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
9		simpr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
10		eldif 3425	. . . . . 6 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
11	9, 10	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
12	11	simpld 465	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
13	1, 2	eulerpartlemelr 29238	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
14	13	simpld 465	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
15	14	ffvelrnda 6044	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	12, 15	syldan 477	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
17		simpl 463	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
18	4	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
19	11	simprd 469	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
20		simpl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. NN )
21		nnuz 11222	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22	20, 21	syl6eleq 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. ZZ )
25		elfz5 11820	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( S ` A ) e. ZZ ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
27	26	notbid 300	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
28	23	nn0red 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. RR )
29	20	nnred 10651	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. RR )
30	28, 29	ltnled 9807	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( ( S ` A ) < t <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
31	27, 30	bitr4d 264	. . . . . 6 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> ( S ` A ) < t ) )
32	31	biimpa 491	. . . . 5 |- ( ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
33	12, 18, 19, 32	syl21anc 1275	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
34	1, 2	eulerpartlemsv1 29237	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) )
35		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> k = t )
37	35, 36	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
38	37	cbvsumv 13810	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) = sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t )
39	34, 38	syl6req 2512	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) )
40		breq2 4419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( ( S ` A ) < t <-> ( S ` A ) < l ) )
41		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = l -> ( A ` t ) = ( A ` l ) )
42	41	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( 0 < ( A ` t ) <-> 0 < ( A ` l ) ) )
43	40, 42	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = l -> ( ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) )
44	43	cbvrexv 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) )
45	4	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
46	45	nn0red 10954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
47	4	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
48	47	nn0red 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
49		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. NN )
50	49	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN )
51	50	nnred 10651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. RR )
52		1zzd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> 1 e. ZZ )
53	14	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
54		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN )
55		eqidd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) )
56		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> m = t )
57	56	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
58	57, 56	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
59		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN )
60		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
61	59	nnnn0d 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
62	60, 61	nn0mulcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
63	55, 58, 59, 62	fvmptd 5976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64	53, 54, 63	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
65	14	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
66	65	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
67	54	nnnn0d 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
68	66, 67	nn0mulcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
69	68	nn0red 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
70		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> m = t )
72	70, 71	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = t -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
73	72	cbvmptv 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( t e. NN |-> ( ( A ` t ) x. t ) )
74	68, 73	fmptd 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 )
75		nn0sscn 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 C_ CC
76		fss 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
77	74, 75, 76	sylancl 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
78		nnex 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- NN e. _V
79		0nn0 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. NN0
80		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC \ { 0 } ) = ( CC \ { 0 } )
81	80	ffs2 28361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( NN e. _V /\ 0 e. NN0 /\ ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
82	78, 79, 81	mp3an12 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
84		frnnn0supp 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( NN e. _V /\ A : NN --> NN0 ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
85	78, 65, 84	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
86	13	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
87	86	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
88	85, 87	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) e. Fin )
89	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> NN e. _V )
90	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> 0 e. NN0 )
91		ffn 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> A Fn NN )
92		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( A ` t ) = 0 )
93	92	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
94		simp2 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. NN )
95	94	nncnd 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. CC )
96	95	mul02d 9856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
97	93, 96	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
98	73, 89, 90, 91, 97	suppss3 28360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A : NN --> NN0 -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
99	65, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
100		ssfi 7817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A supp 0 ) e. Fin /\ ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
101	88, 99, 100	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
102	83, 101	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) e. Fin )
103	21, 52, 77, 102	fsumcvg4 28804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ) e. dom ~~> )
104	21, 52, 64, 69, 103	isumrecl 13874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
105	104	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
106		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < l )
107	14	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
108	107	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
109	108	nn0red 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. RR )
110	109, 51	remulcld 9696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. RR )
111	50	nnnn0d 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN0 )
112	111	nn0ge0d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 <_ l )
113		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 < ( A ` l ) )
114		elnnnn0b 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN <-> ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) )
115		nnge1 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN -> 1 <_ ( A ` l ) )
116	114, 115	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
117	108, 113, 116	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
118	51, 109, 112, 117	lemulge12d 10572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ ( ( A ` l ) x. l ) )
119	107	nn0cnd 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. CC )
120	49	nncnd 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. CC )
121	119, 120	mulcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. CC )
122		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = l -> t = l )
123	41, 122	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = l -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
124	123	sumsn 13855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. NN /\ ( ( A ` l ) x. l ) e. CC ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
125	49, 121, 124	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
126		snfi 7675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { l } e. Fin
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } e. Fin )
128	49	snssd 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } C_ NN )
129	68	nn0ge0d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
130	21, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103	isumless 13951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
131	125, 130	eqbrtrrd 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
132	131	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
133	51, 110, 105, 118, 132	letrd 9817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
134	48, 51, 105, 106, 133	ltletrd 9820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
135	134	r19.29an 2942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
136	46, 135	gtned 9795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) )
137	136	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
138	44, 137	syl5bi 225	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
139	138	necon2bd 2651	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) ) )
140	39, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
141		ralnex 2845	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
142	140, 141	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
143		imnan 428	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
144	143	ralbii 2830	. . . . . . 7 |- ( A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
145	142, 144	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
146	145	r19.21bi 2768	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
147	146	imp 435	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ ( S ` A ) < t ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
148	17, 12, 33, 147	syl21anc 1275	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
149		nn0re 10906	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( A ` t ) e. RR )
150		0red 9669	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> 0 e. RR )
151	149, 150	lenltd 9806	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> -. 0 < ( A ` t ) ) )
152		nn0le0eq0 10926	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> ( A ` t ) = 0 ) )
153	151, 152	bitr3d 263	. . . 4 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( -. 0 < ( A ` t ) <-> ( A ` t ) = 0 ) )
154	153	biimpa 491	. . 3 |- ( ( ( A ` t ) e. NN0 /\ -. 0 < ( A ` t ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
155	16, 148, 154	syl2anc 671	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
156	8, 155	sylbir 218	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   {cab 2447   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   i^i cin 3414   C_ wss 3415   {csn 3979   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supp csupp 6940   ^m cmap 7497   Fincfn 7594   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   < clt 9700   <_ cle 9701   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812   sum_csu 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  29242  eulerpartlemgc  29243