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Theorem eulerpartlems 28686
Description: Lemma for eulerpart 28708. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S
Allowed substitution hints:    S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2 eulerpartlems.s . . . . . 6  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
31, 2eulerpartlemsf 28685 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
43ffvelrni 5962 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
5 nndiffz1 27925 . . . . 5  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
65eleq2d 2470 . . . 4  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
74, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
87pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
9 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
10 eldif 3421 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
119, 10sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )
1211simpld 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
131, 2eulerpartlemelr 28683 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1413simpld 457 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1514ffvelrnda 5963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1612, 15syldan 468 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
17 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i 
R ) )
184adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
1911simprd 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )
20 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  NN )
21 nnuz 11078 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
23 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2423nn0zd 10924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  ZZ )
25 elfz5 11649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( S `  A )  e.  ZZ )  ->  (
t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) )  <->  t  <_  ( S `  A ) ) )
2622, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) )  <-> 
t  <_  ( S `  A ) ) )
2726notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
2823nn0red 10812 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2920nnred 10509 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
t  e.  RR )
3028, 29ltnled 9682 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  A )  <  t  <->  -.  t  <_  ( S `  A ) ) )
3127, 30bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A )  e.  NN0 )  -> 
( -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
)  <->  ( S `  A )  <  t
) )
3231biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  NN  /\  ( S `  A
)  e.  NN0 )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( S `  A )  <  t
)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( S `  A
)  <  t )
341, 2eulerpartlemsv1 28682 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
) )
35 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
3735, 36oveq12d 6250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
3837cbvsumv 13572 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )
3934, 38syl6req 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  =  ( S `  A ) )
40 breq2 4396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
( S `  A
)  <  t  <->  ( S `  A )  <  l
) )
41 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  l  ->  ( A `  t )  =  ( A `  l ) )
4241breq2d 4404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  l  ->  (
0  <  ( A `  t )  <->  0  <  ( A `  l ) ) )
4340, 42anbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  l  ->  (
( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <-> 
( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) ) )
4443cbvrexv 3032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) )  <->  E. l  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )
454adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4645nn0red 10812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
474ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
4847nn0red 10812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN )
5150nnred 10509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  RR )
52 1zzd 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
54 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
55 eqidd 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) )
56 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  m  =  t )
5756fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
5857, 56oveq12d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  /\  m  =  t )  ->  ( ( A `  m )  x.  m )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN )
60 ffvelrn 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
6159nnnn0d 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6260, 61nn0mulcld 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  NN0 )
6355, 58, 59, 62fvmptd 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) `  t )  =  ( ( A `  t
)  x.  t ) )
6453, 54, 63syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) `
 t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
6514adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  A : NN --> NN0 )
6665ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
6754nnnn0d 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  t  e.  NN0 )
6866, 67nn0mulcld 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  NN0 )
6968nn0red 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
70 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  ( A `  m )  =  ( A `  t ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
7270, 71oveq12d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  t  ->  (
( A `  m
)  x.  m )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7372cbvmptv 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
7468, 73fmptd 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0 )
75 nn0sscn 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  CC
76 fss 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) : NN --> CC )
7774, 75, 76sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) : NN --> CC )
78 nnex 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  e.  _V
79 0nn0 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
80 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( CC 
\  { 0 } )
8180ffs2 27879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  0  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) "
( CC  \  {
0 } ) ) )
8278, 79, 81mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) : NN --> CC  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m
)  x.  m ) ) " ( CC 
\  { 0 } ) ) )
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  =  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) " ( CC  \  { 0 } ) ) )
84 frnnn0supp 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A : NN --> NN0 )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8578, 65, 84sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  =  ( `' A " NN ) )
8613simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' A " NN )  e.  Fin )
8885, 87eqeltrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A supp  0 )  e.  Fin )
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  NN  e.  _V )
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  0  e.  NN0 )
91 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
92 simp3 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
9392oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
94 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  NN )
9594nncnd 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
t  e.  CC )
9695mul02d 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
9793, 96eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  t  e.  NN  /\  ( A `  t )  =  0 )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 27878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN --> NN0  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  C_  ( A supp  0 ) )
100 ssfi 7693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A supp  0 )  e.  Fin  /\  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 ) 
C_  ( A supp  0
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m
) ) supp  0 )  e.  Fin )
10188, 99, 100syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) supp  0
)  e.  Fin )
10283, 101eqeltrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( `' ( m  e.  NN  |->  ( ( A `  m )  x.  m ) )
" ( CC  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 28266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( A `
 m )  x.  m ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 13636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
105104adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t )  e.  RR )
106 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  l
)
10714ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  NN0 )
108107adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  NN0 )
109108nn0red 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( A `  l )  e.  RR )
110109, 51remulcld 9572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  e.  RR )
11150nnnn0d 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
112111nn0ge0d 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <_  l )
113 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  0  <  ( A `  l ) )
114 elnnnn0b 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  <->  ( ( A `  l )  e.  NN0  /\  0  < 
( A `  l
) ) )
115 nnge1 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  l )  e.  NN  ->  1  <_  ( A `  l
) )
116114, 115sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  l
)  e.  NN0  /\  0  <  ( A `  l ) )  -> 
1  <_  ( A `  l ) )
117108, 113, 116syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  1  <_  ( A `  l ) )
11851, 109, 112, 117lemulge12d 10442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  ( ( A `  l
)  x.  l ) )
119107nn0cnd 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A `  l
)  e.  CC )
12049nncnd 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  CC )
121119, 120mulcld 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  l  ->  t  =  l )
12341, 122oveq12d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  l  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( ( A `
 l )  x.  l ) )
124123sumsn 13617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( l  e.  NN  /\  ( ( A `  l )  x.  l
)  e.  CC )  ->  sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
12549, 121, 124syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  =  ( ( A `  l )  x.  l
) )
126 snfi 7552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { l }  e.  Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  e.  Fin )
12849snssd 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  { l }  C_  NN )
12968nn0ge0d 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  t  e.  NN )  ->  0  <_  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 13713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  -> 
sum_ t  e.  {
l }  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
131125, 130eqbrtrrd 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  ->  ( ( A `  l )  x.  l
)  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
132131adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( ( A `  l )  x.  l )  <_  sum_ t  e.  NN  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
13351, 110, 105, 118, 132letrd 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  l  <_  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 9694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  l  e.  NN )  /\  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
135134r19.29an 2945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  ( S `  A )  <  sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t ) )
13646, 135gtned 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  E. l  e.  NN  (
( S `  A
)  <  l  /\  0  <  ( A `  l ) ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) )
137136ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. l  e.  NN  ( ( S `  A )  <  l  /\  0  <  ( A `
 l ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
13844, 137syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  ->  sum_ t  e.  NN  ( ( A `  t )  x.  t
)  =/=  ( S `
 A ) ) )
139138necon2bd 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( sum_ t  e.  NN  (
( A `  t
)  x.  t )  =  ( S `  A )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) ) )
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  -.  E. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  /\  0  <  ( A `  t ) ) )
141 ralnex 2847 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  E. t  e.  NN  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
142140, 141sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `  t
) ) )
143 imnan 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
144143ralbii 2832 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  NN  (
( S `  A
)  <  t  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )  <->  A. t  e.  NN  -.  ( ( S `  A )  <  t  /\  0  <  ( A `
 t ) ) )
145142, 144sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A. t  e.  NN  ( ( S `
 A )  < 
t  ->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
146145r19.21bi 2770 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( S `  A )  <  t  ->  -.  0  <  ( A `  t )
) )
147146imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  ( S `  A
)  <  t )  ->  -.  0  <  ( A `  t )
)
14817, 12, 33, 147syl21anc 1227 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  ->  -.  0  <  ( A `
 t ) )
149 nn0re 10763 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( A `
 t )  e.  RR )
150 0red 9545 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
151149, 150lenltd 9681 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A `  t
) ) )
152 nn0le0eq0 10783 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( ( A `  t )  <_  0  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
153151, 152bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( -.  0  <  ( A `
 t )  <->  ( A `  t )  =  0 ) )
154153biimpa 482 . . 3  |-  ( ( ( A `  t
)  e.  NN0  /\  -.  0  <  ( A `
 t ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
15516, 148, 154syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
1568, 155sylbir 213 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3408    i^i cin 3410    C_ wss 3411   {csn 3969   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   "cima 4943   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   supp csupp 6854    ^m cmap 7375   Fincfn 7472   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445    < clt 9576    <_ cle 9577   NNcn 10494   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043   ...cfz 11641   sum_csu 13562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  28687  eulerpartlemgc  28688
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