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Theorem eulerpartlemr 26755
Description: Lemma for eulerpart 26763 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Distinct variable groups:    f, k, n, z    f, J, n   
f, N    g, n, P
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, o, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    J( x, y, z, g, k, o, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    N( x, y, z, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3537 . . . 4  |-  ( h  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) )
21anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( h  e.  ( T  i^i  R )  /\  h  e.  P )  <->  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R
)  /\  h  e.  P ) )
3 elin 3537 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i 
P )  <->  ( h  e.  ( T  i^i  R
)  /\  h  e.  P ) )
4 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
5 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
6 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
74, 5, 6eulerpartlemo 26746 . . . 4  |-  ( h  e.  O  <->  ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
8 cnveq 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  `' f  =  `' h
)
98imaeq1d 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' h " NN ) )
109eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
11 fveq1 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  k )  =  ( h `  k ) )
1211oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  k
)  x.  k )  =  ( ( h `
 k )  x.  k ) )
1312sumeq2sdv 13179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k ) )
1413eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( h `
 k )  x.  k )  =  N ) )
1510, 14anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( `' f
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1615, 4elrab2 3117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  P  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1716simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  P  ->  h  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
18 cnvimass 5187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' h " NN ) 
C_  dom  h
19 nn0ex 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
20 nnex 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
2119, 20elmap 7239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  h : NN --> NN0 )
22 fdm 5561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : NN --> NN0  ->  dom  h  =  NN )
2321, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  dom  h  =  NN )
2418, 23syl5sseq 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2625sselda 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  P  /\  n  e.  ( `' h " NN ) )  ->  n  e.  NN )
2726ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN )
2827biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
2917biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) ) )
3016simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  P  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( h `  k )  x.  k
)  =  N ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN )  e.  Fin )
3231biantrud 507 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
3328, 29, 323bitrd 279 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
34 dfss3 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J
)
35 breq2 4294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3836, 37elrab2 3117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
3938ralbii 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
40 r19.26 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )
4134, 39, 403bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
4241anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' h " NN ) 
C_  J )  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
4342anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4433, 43syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) ) )
459sseq1d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' h " NN )  C_  J ) )
46 eulerpart.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4745, 46elrab2 3117 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
) )
48 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
5048, 10, 49elab2 3107 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  R  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin )
5147, 50anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R )  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
5244, 51syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R )
) )
5352pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) ) )
54 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R
) )  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
557, 53, 543bitri 271 . . 3  |-  ( h  e.  O  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
562, 3, 553bitr4ri 278 . 2  |-  ( h  e.  O  <->  h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i  P ) )
5756eqriv 2438 1  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   {crab 2717    i^i cin 3325    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   class class class wbr 4290   {copab 4347    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   dom cdm 4838    |` cres 4840   "cima 4841    o. ccom 4842   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   supp csupp 6688    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   1c1 9281    x. cmul 9285    <_ cle 9417   NNcn 10320   2c2 10369   NN0cn0 10577   ^cexp 11863   sum_csu 13161    || cdivides 13533  bitscbits 13613  𝟭cind 26465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-seq 11805  df-sum 13162
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