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Theorem eulerpartlemr 28510
Description: Lemma for eulerpart 28518 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Distinct variable groups:    f, k, n, z    f, J, n   
f, N    g, n, P
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, o, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    J( x, y, z, g, k, o, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    N( x, y, z, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3683 . . . 4  |-  ( h  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) )
21anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( h  e.  ( T  i^i  R )  /\  h  e.  P )  <->  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R
)  /\  h  e.  P ) )
3 elin 3683 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i 
P )  <->  ( h  e.  ( T  i^i  R
)  /\  h  e.  P ) )
4 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
5 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
6 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
74, 5, 6eulerpartlemo 28501 . . . 4  |-  ( h  e.  O  <->  ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
8 cnveq 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  `' f  =  `' h
)
98imaeq1d 5346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' h " NN ) )
109eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
11 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  k )  =  ( h `  k ) )
1211oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  k
)  x.  k )  =  ( ( h `
 k )  x.  k ) )
1312sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k ) )
1413eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( h `
 k )  x.  k )  =  N ) )
1510, 14anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( `' f
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1615, 4elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  P  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1716simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  P  ->  h  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
18 cnvimass 5367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' h " NN ) 
C_  dom  h
19 nn0ex 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
20 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
2119, 20elmap 7466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  h : NN --> NN0 )
22 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : NN --> NN0  ->  dom  h  =  NN )
2321, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  dom  h  =  NN )
2418, 23syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2625sselda 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  P  /\  n  e.  ( `' h " NN ) )  ->  n  e.  NN )
2726ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN )
2827biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
2917biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) ) )
3016simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  P  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( h `  k )  x.  k
)  =  N ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN )  e.  Fin )
3231biantrud 507 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
3328, 29, 323bitrd 279 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
34 dfss3 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J
)
35 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3836, 37elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
3938ralbii 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
40 r19.26 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )
4134, 39, 403bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
4241anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' h " NN ) 
C_  J )  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
4342anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4433, 43syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) ) )
459sseq1d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' h " NN )  C_  J ) )
46 eulerpart.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4745, 46elrab2 3259 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
) )
48 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
5048, 10, 49elab2 3249 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  R  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin )
5147, 50anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R )  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
5244, 51syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R )
) )
5352pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) ) )
54 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R
) )  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
557, 53, 543bitri 271 . . 3  |-  ( h  e.  O  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
562, 3, 553bitr4ri 278 . 2  |-  ( h  e.  O  <->  h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i  P ) )
5756eqriv 2453 1  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   {crab 2811    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   sum_csu 13520    || cdvds 13998  bitscbits 14081  𝟭cind 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-sum 13521
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