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Theorem eulerpartlemr 27981
Description: Lemma for eulerpart 27989 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Distinct variable groups:    f, k, n, z    f, J, n   
f, N    g, n, P
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, o, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    J( x, y, z, g, k, o, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    N( x, y, z, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3687 . . . 4  |-  ( h  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) )
21anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( h  e.  ( T  i^i  R )  /\  h  e.  P )  <->  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R
)  /\  h  e.  P ) )
3 elin 3687 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i 
P )  <->  ( h  e.  ( T  i^i  R
)  /\  h  e.  P ) )
4 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
5 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
6 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
74, 5, 6eulerpartlemo 27972 . . . 4  |-  ( h  e.  O  <->  ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
8 cnveq 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  `' f  =  `' h
)
98imaeq1d 5336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' h " NN ) )
109eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
11 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  k )  =  ( h `  k ) )
1211oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  k
)  x.  k )  =  ( ( h `
 k )  x.  k ) )
1312sumeq2sdv 13489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( h `
 k )  x.  k )  =  N ) )
1510, 14anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( `' f
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1615, 4elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  P  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1716simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  P  ->  h  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
18 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' h " NN ) 
C_  dom  h
19 nn0ex 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
20 nnex 10542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
2119, 20elmap 7447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  h : NN --> NN0 )
22 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : NN --> NN0  ->  dom  h  =  NN )
2321, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  dom  h  =  NN )
2418, 23syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2625sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  P  /\  n  e.  ( `' h " NN ) )  ->  n  e.  NN )
2726ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN )
2827biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
2917biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) ) )
3016simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  P  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( h `  k )  x.  k
)  =  N ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN )  e.  Fin )
3231biantrud 507 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
3328, 29, 323bitrd 279 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
34 dfss3 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J
)
35 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3836, 37elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
3938ralbii 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
40 r19.26 2989 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )
4134, 39, 403bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
4241anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' h " NN ) 
C_  J )  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
4342anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4433, 43syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) ) )
459sseq1d 3531 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' h " NN )  C_  J ) )
46 eulerpart.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4745, 46elrab2 3263 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
) )
48 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
5048, 10, 49elab2 3253 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  R  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin )
5147, 50anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R )  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
5244, 51syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R )
) )
5352pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) ) )
54 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R
) )  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
557, 53, 543bitri 271 . . 3  |-  ( h  e.  O  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
562, 3, 553bitr4ri 278 . 2  |-  ( h  e.  O  <->  h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i  P ) )
5756eqriv 2463 1  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   1c1 9493    x. cmul 9497    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ^cexp 12134   sum_csu 13471    || cdivides 13847  bitscbits 13928  𝟭cind 27692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-sum 13472
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