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Theorem eulerpartlemr 29280
Description: Lemma for eulerpart 29288. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Distinct variable groups:    f, k, n, z    f, J, n   
f, N    g, n, P
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, o, r)    R( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    J( x, y, z, g, k, o, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    N( x, y, z, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3608 . . . 4  |-  ( h  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) )
21anbi1i 709 . . 3  |-  ( ( h  e.  ( T  i^i  R )  /\  h  e.  P )  <->  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R
)  /\  h  e.  P ) )
3 elin 3608 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i 
P )  <->  ( h  e.  ( T  i^i  R
)  /\  h  e.  P ) )
4 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
5 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
6 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
74, 5, 6eulerpartlemo 29271 . . . 4  |-  ( h  e.  O  <->  ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
8 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  `' f  =  `' h
)
98imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' h " NN ) )
109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
11 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  k )  =  ( h `  k ) )
1211oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  k
)  x.  k )  =  ( ( h `
 k )  x.  k ) )
1312sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k ) )
1413eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( h `
 k )  x.  k )  =  N ) )
1510, 14anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( `' f
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1615, 4elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  P  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( h `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
1716simplbi 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  P  ->  h  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
18 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' h " NN ) 
C_  dom  h
19 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
20 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
2119, 20elmap 7518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  h : NN --> NN0 )
22 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : NN --> NN0  ->  dom  h  =  NN )
2321, 22sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  dom  h  =  NN )
2418, 23syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN ) 
C_  NN )
2625sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  P  /\  n  e.  ( `' h " NN ) )  ->  n  e.  NN )
2726ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN )
2827biantrurd 516 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
2917biantrurd 516 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) ) )
3016simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  P  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( h `  k )  x.  k
)  =  N ) )
3130simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  P  ->  ( `' h " NN )  e.  Fin )
3231biantrud 515 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  P  ->  (
( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
3328, 29, 323bitrd 287 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) ) )
34 dfss3 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J
)
35 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
3635notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3836, 37elrab2 3186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
3938ralbii 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
40 r19.26 2904 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )
4134, 39, 403bitri 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' h " NN ) 
C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n ) )
4241anbi2i 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' h " NN ) 
C_  J )  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
4342anbi1i 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin )  <->  ( (
h  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( A. n  e.  ( `' h " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
) )  /\  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4433, 43syl6bbr 271 . . . . . 6  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) ) )
459sseq1d 3445 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' h " NN )  C_  J ) )
46 eulerpart.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4745, 46elrab2 3186 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  <->  ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
) )
48 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
5048, 10, 49elab2 3176 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  R  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin )
5147, 50anbi12i 711 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  T  /\  h  e.  R )  <->  ( ( h  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' h " NN )  C_  J
)  /\  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
5244, 51syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( h  e.  P  ->  ( A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( h  e.  T  /\  h  e.  R )
) )
5352pm5.32i 649 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' h " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R ) ) )
54 ancom 457 . . . 4  |-  ( ( h  e.  P  /\  ( h  e.  T  /\  h  e.  R
) )  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
557, 53, 543bitri 279 . . 3  |-  ( h  e.  O  <->  ( (
h  e.  T  /\  h  e.  R )  /\  h  e.  P
) )
562, 3, 553bitr4ri 286 . 2  |-  ( h  e.  O  <->  h  e.  ( ( T  i^i  R )  i^i  P ) )
5756eqriv 2468 1  |-  O  =  ( ( T  i^i  R )  i^i  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   supp csupp 6933    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   sum_csu 13829    || cdvds 14382  bitscbits 14471  𝟭cind 28906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252  df-sum 13830
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