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Theorem eulerpartlemn 29216
Description: Lemma for eulerpart 29217. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemn  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, r, x, y, z    k, F, n, o, x, y   
f, G, k, o   
o, H, r    f, J, k, n, o, r, x, y    k, M, n, o, r, x, y    f, N, g, k, n, o, x   
n, O, r, x, y    P, g, k, n    R, f, k, n, o, r, x, y    T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, o, r)    R( z, g)    S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( z, g)    F( z, f, g, r)    G( x, y, z, g, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z, g)    M( z, f, g)    N( y, z, r)    O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn
Dummy variables  d 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  o  =  q )
21fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( o `  k
)  =  ( q `
 k ) )
32oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  ( ( q `  k )  x.  k ) )
43sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  q  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k ) )
54eqeq1d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  q  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
65cbvrabv 3081 . . . . . . . 8  |-  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( o  =  q  ->  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
87reseq2d 5122 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) )
9 eqidd 2424 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  |  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N }  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
108, 7, 9f1oeq123d 5826 . . . . 5  |-  ( o  =  q  ->  (
( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
1110imbi2d 318 . . . 4  |-  ( o  =  q  ->  (
( T.  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)  <->  ( T.  ->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) ) )
12 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
13 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
14 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
15 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
16 eulerpart.j . . . . . . 7  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
17 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
18 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
19 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
20 eulerpart.r . . . . . . 7  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
21 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartgbij 29207 . . . . . 6  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  ( G `  q )  =  ( G `  o ) )
25 reseq1 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  o  ->  (
q  |`  J )  =  ( o  |`  J ) )
2625coeq2d 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  o  ->  (bits  o.  ( q  |`  J ) )  =  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )
2726fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  =  o  ->  ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) )  =  ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )
2827imaeq2d 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  o  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) )  =  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
2928fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  (
(𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
3024, 29eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  o  ->  (
( G `  q
)  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) ) )  <->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) )
3113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartlemgv 29208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  q )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) ) )
3230, 31vtoclga 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
33323ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
34 simp3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
3533, 34eqtr4d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  d )
3635fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( G `
 o ) `  k )  =  ( d `  k ) )
3736oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  ( ( d `  k
)  x.  k ) )
3837sumeq2sdv 13763 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k ) )
3924fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  ( G `  q ) )  =  ( S `  ( G `  o )
) )
40 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  q )  =  ( S `  o ) )
4139, 40eqeq12d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  o  ->  (
( S `  ( G `  q )
)  =  ( S `
 q )  <->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) ) )
42 eulerpart.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
4313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42eulerpartlemgs2 29215 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  q
) )  =  ( S `  q ) )
4441, 43vtoclga 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) )
45 nn0ex 10877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
46 0nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
47 1nn0 10887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
48 prssi 4154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
4946, 47, 48mp2an 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
50 mapss 7520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN ) )
5145, 49, 50mp2an 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  C_  ( NN0  ^m  NN )
52 ssrin 3688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )
54 f1of 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  G : ( T  i^i  R ) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5522, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  G :
( T  i^i  R
) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )
5655ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5753, 56sseldi 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5820, 42eulerpartlemsv1 29191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  o )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  ( G `  o ) )  = 
sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
) )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( ( G `  o ) `  k
)  x.  k ) )
6013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 29204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( o  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' o
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' o " NN )  C_  J ) )
6160simp1bi 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
62 inss2 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  i^i  R )  C_  R
6362sseli 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  R )
6461, 63elind 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
6520, 42eulerpartlemsv1 29191 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
6744, 59, 663eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
68673ad2ant2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
6938, 68eqtr3d 2466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
7069eqeq1d 2425 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N ) )
7112, 23, 70f1oresrab 6068 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
7211, 71chvarv 2069 . . 3  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
73 cnveq 5025 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  q  ->  `' g  =  `' q
)
7473imaeq1d 5184 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  q  ->  ( `' g " NN )  =  ( `' q " NN ) )
7574raleqdv 3032 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  q  ->  ( A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
7675cbvrabv 3081 . . . . . . 7  |-  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
77 nfrab1 3010 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
78 nfrab1 3010 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
79 df-3an 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
8079anbi1i 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
8113eulerpartleme 29198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  P  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N ) )
8281anbi1i 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
83 an32 806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
8480, 82, 833bitr4i 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 29204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
86 nnex 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
8745, 86elmap 7506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  q : NN --> NN0 )
88873anbi1i 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
8985, 88bitri 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
90 df-3an 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
91 cnvimass 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' q " NN ) 
C_  dom  q
92 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q : NN --> NN0  ->  dom  q  =  NN )
9391, 92syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( `' q " NN )  C_  NN )
94 dfss3 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' q " NN )  C_  NN  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9593, 94sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q : NN --> NN0  ->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9695biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
97 dfss3 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J
)
98 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
9998notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
10099, 16elrab2 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
101100ralbii 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
102 r19.26 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10397, 101, 1023bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
10496, 103syl6rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
105104adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  ->  ( ( `' q
" NN )  C_  J 
<-> 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
106105pm5.32i 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10789, 90, 1063bitri 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
108107anbi1i 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( T  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
10984, 108bitr4i 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
110 rabid 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
111 rabid 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
112109, 110, 1113bitr4i 281 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
11377, 78, 112eqri 28140 . . . . . . 7  |-  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
11414, 76, 1133eqtri 2456 . . . . . 6  |-  O  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
115114reseq2i 5119 . . . . 5  |-  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
116115a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
117114a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  O  =  {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
118 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ d D
119 nfrab1 3010 . . . . . 6  |-  F/_ d { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
120 fnima 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
d " NN )  =  ran  d )
121120sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( d " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
122121anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ran  d  C_  NN0 
/\  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) ) )
123 sstr 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ran  d  C_  NN0 )
12449, 123mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  ->  ran  d  C_  NN0 )
125124pm4.71ri 638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  <->  ( ran  d  C_  NN0  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
126122, 125syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
127126pm5.32i 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )  <-> 
( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
128 anass 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) ) )
129 df-f 5603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
130127, 128, 1293bitr4ri 282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
131 prex 4661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
132131, 86elmap 7506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  d : NN --> { 0 ,  1 } )
133 df-f 5603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> NN0  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
NN0 ) )
134133anbi1i 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
135130, 132, 1343bitr4i 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  ( d : NN --> NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
136 vex 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
137 cnveq 5025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  d  ->  `' f  =  `' d
)
138137imaeq1d 5184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' d " NN ) )
139138eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
140136, 139, 20elab2 3222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  R  <->  ( `' d " NN )  e. 
Fin )
141135, 140anbi12i 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R )  <->  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin ) )
142 elin 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R
) )
143 an32 806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
144141, 142, 1433bitr4i 281 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
145144anbi1i 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
14613eulerpartleme 29198 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  P  <->  ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
147146anbi1i 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
148 df-3an 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N ) )
149148anbi1i 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  ( d
" NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
150 an32 806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
151147, 149, 1503bitri 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
152145, 151bitr4i 256 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
153 rabid 3006 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15413, 14, 15eulerpartlemd 29201 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  D  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
155152, 153, 1543bitr4ri 282 . . . . . 6  |-  ( d  e.  D  <->  d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
156118, 119, 155eqri 28140 . . . . 5  |-  D  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
157156a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  D  =  {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
158116, 117, 157f1oeq123d 5826 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
15972, 158mpbird 236 . 2  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D )
160159trud 1447 1  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   T. wtru 1439    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {cpr 3999   class class class wbr 4421   {copab 4479    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   supp csupp 6923    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    <_ cle 9678   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ^cexp 12273   sum_csu 13745    || cdvds 14298  bitscbits 14385  𝟭cind 28834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-bits 14388  df-ind 28835
This theorem is referenced by:  eulerpart  29217
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