Theorem eulerpartlemn 26786

Description: Lemma for eulerpart 26787. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemn	|- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, r, x, y, z   k, F, n, o, x, y   f, G, k, o   o, H, r   f, J, k, n, o, r, x, y   k, M, n, o, r, x, y   f, N, g, k, n, o, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, r)   G( x, y, z, g, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g)   M( z, f, g)   N( y, z, r)   O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn

Dummy variables d q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> o = q )
2	1	fveq1d 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( o ` k ) = ( q ` k ) )
3	2	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( ( o ` k ) x. k ) = ( ( q ` k ) x. k ) )
4	3	sumeq2dv 13201	. . . . . . . . . 10 |- ( o = q -> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) )
5	4	eqeq1d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( o = q -> ( sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
6	5	cbvrabv 2992	. . . . . . . 8 |- { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( o = q -> { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
8	7	reseq2d 5131	. . . . . 6 |- ( o = q -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
9		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( o = q -> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
10	8, 7, 9	f1oeq123d 5659	. . . . 5 |- ( o = q -> ( ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( o = q -> ( ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) <-> ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) ) )
12		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
13		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
15		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
16		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
17		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
18		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
19		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
20		eulerpart.r	. . . . . . 7 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
21		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartgbij 26777	. . . . . 6 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
24		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( G ` q ) = ( G ` o ) )
25		reseq1 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = o -> ( q |` J ) = ( o |` J ) )
26	25	coeq2d 5023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = o -> (bits o. ( q |` J ) ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
27	26	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = o -> ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
28	27	imaeq2d 5190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = o -> ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
29	28	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
30	24, 29	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = o -> ( ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) <-> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
31	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartlemgv 26778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) )
32	30, 31	vtoclga 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
33	32	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
34		simp3 990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = d )
36	35	fveq1d 5714	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( G ` o ) ` k ) = ( d ` k ) )
37	36	oveq1d 6127	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = ( ( d ` k ) x. k ) )
38	37	sumeq2sdv 13202	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) )
39	24	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` ( G ` o ) ) )
40		fveq2 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` q ) = ( S ` o ) )
41	39, 40	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( q = o -> ( ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) <-> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) ) )
42		eulerpart.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
43	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42	eulerpartlemgs2 26785	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) )
44	41, 43	vtoclga 3057	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) )
45		nn0ex 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
46		0nn0 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
47		1nn0 10616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
48		prssi 4050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
49	46, 47, 48	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ NN0
50		mapss 7276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) )
51	45, 49, 50	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN )
52		ssrin 3596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) -> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R )
54		f1of 5662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
55	22, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
56	55	ffvelrni 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
57	53, 56	sseldi 3375	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
58	20, 42	eulerpartlemsv1 26761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
60	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 26774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) <-> ( o e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' o " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( NN0 ^m NN ) )
62		inss2 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ R
63	62	sseli 3373	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. R )
64	61, 63	elind 3561	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
65	20, 42	eulerpartlemsv1 26761	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
67	44, 59, 66	3eqtr3d 2483	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
68	67	3ad2ant2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
69	38, 68	eqtr3d 2477	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
70	69	eqeq1d 2451	. . . . 5 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N ) )
71	12, 23, 70	f1oresrab 5896	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
72	11, 71	chvarv 1958	. . 3 |- ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
73		cnveq 5034	. . . . . . . . . 10 |- ( g = q -> `' g = `' q )
74	73	imaeq1d 5189	. . . . . . . . 9 |- ( g = q -> ( `' g " NN ) = ( `' q " NN ) )
75	74	raleqdv 2944	. . . . . . . 8 |- ( g = q -> ( A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
76	75	cbvrabv 2992	. . . . . . 7 |- { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n } = { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
77		nfrab1 2922	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
78		nfrab1 2922	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
79		df-3an 967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
80	79	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
81	13	eulerpartleme 26768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. P <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
82	81	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
83		an32 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
84	80, 82, 83	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
85	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 26774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
86		nnex 10349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
87	45, 86	elmap 7262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( NN0 ^m NN ) <-> q : NN --> NN0 )
88	87	3anbi1i 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
89	85, 88	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
90		df-3an 967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
91		cnvimass 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' q " NN ) C_ dom q
92		fdm 5584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q : NN --> NN0 -> dom q = NN )
93	91, 92	syl5sseq 3425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q : NN --> NN0 -> ( `' q " NN ) C_ NN )
94		dfss3 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' q " NN ) C_ NN <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
95	93, 94	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q : NN --> NN0 -> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
96	95	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q : NN --> NN0 -> ( A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) ) )
97		dfss3 3367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. J )
98		breq2 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
99	98	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
100	99, 16	elrab2 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
101	100	ralbii 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
102		r19.26 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
103	97, 101, 102	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
104	96, 103	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q : NN --> NN0 -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
105	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
106	105	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
107	89, 90, 106	3bitri 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
108	107	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
109	84, 108	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
110		rabid 2918	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
111		rabid 2918	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
112	109, 110, 111	3bitr4i 277	. . . . . . . 8 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
113	77, 78, 112	eqri 25916	. . . . . . 7 |- { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
114	14, 76, 113	3eqtri 2467	. . . . . 6 |- O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
115	114	reseq2i 5128	. . . . 5 |- ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
116	115	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
117	114	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
118		nfcv 2589	. . . . . 6 |- F/_ d D
119		nfrab1 2922	. . . . . 6 |- F/_ d { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
120		fnima 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d Fn NN -> ( d " NN ) = ran d )
121	120	sseq1d 3404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d Fn NN -> ( ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
122	121	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) ) )
123		sstr 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran d C_ { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ran d C_ NN0 )
124	49, 123	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } -> ran d C_ NN0 )
125	124	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
126	122, 125	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
127	126	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
128		anass 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) )
129		df-f 5443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
130	127, 128, 129	3bitr4ri 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
131		prex 4555	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } e. _V
132	131, 86	elmap 7262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> d : NN --> { 0 , 1 } )
133		df-f 5443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> NN0 <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) )
134	133	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
135	130, 132, 134	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
136		vex 2996	. . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
137		cnveq 5034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = d -> `' f = `' d )
138	137	imaeq1d 5189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = d -> ( `' f " NN ) = ( `' d " NN ) )
139	138	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = d -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' d " NN ) e. Fin ) )
140	136, 139, 20	elab2 3130	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. R <-> ( `' d " NN ) e. Fin )
141	135, 140	anbi12i 697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
142		elin 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) )
143		an32 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
144	141, 142, 143	3bitr4i 277	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
145	144	anbi1i 695	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
146	13	eulerpartleme 26768	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. P <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
147	146	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
148		df-3an 967	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
149	148	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
150		an32 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
151	147, 149, 150	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
152	145, 151	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
153		rabid 2918	. . . . . . 7 |- ( d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
154	13, 14, 15	eulerpartlemd 26771	. . . . . . 7 |- ( d e. D <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
155	152, 153, 154	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( d e. D <-> d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
156	118, 119, 155	eqri 25916	. . . . 5 |- D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
157	156	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
158	116, 117, 157	f1oeq123d 5659	. . 3 |- ( T. -> ( ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
159	72, 158	mpbird 232	. 2 |- ( T. -> ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D )
160	159	trud 1378	1 |- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 2993   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {cpr 3900   class class class wbr 4313   {copab 4370   e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   |` cres 4863   "cima 4864   o. ccom 4865   Fn wfn 5434   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   e. cmpt2 6114   supp csupp 6711   ^m cmap 7235   Fincfn 7331   0cc0 9303   1c1 9304   x. cmul 9308   <_ cle 9440   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ^cexp 11886   sum_csu 13184   || cdivides 13556  bitscbits 13636  𝟭cind 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-dvds 13557  df-bits 13639  df-ind 26490

This theorem is referenced by:  eulerpart  26787