Theorem eulerpartlemn 29287

Description: Lemma for eulerpart 29288. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemn	|- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, r, x, y, z   k, F, n, o, x, y   f, G, k, o   o, H, r   f, J, k, n, o, r, x, y   k, M, n, o, r, x, y   f, N, g, k, n, o, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, r)   G( x, y, z, g, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g)   M( z, f, g)   N( y, z, r)   O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn

Dummy variables d q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> o = q )
2	1	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( o ` k ) = ( q ` k ) )
3	2	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( ( o ` k ) x. k ) = ( ( q ` k ) x. k ) )
4	3	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . 10 |- ( o = q -> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) )
5	4	eqeq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( o = q -> ( sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
6	5	cbvrabv 3030	. . . . . . . 8 |- { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( o = q -> { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
8	7	reseq2d 5111	. . . . . 6 |- ( o = q -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
9		eqidd 2472	. . . . . 6 |- ( o = q -> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
10	8, 7, 9	f1oeq123d 5824	. . . . 5 |- ( o = q -> ( ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
11	10	imbi2d 323	. . . 4 |- ( o = q -> ( ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) <-> ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) ) )
12		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
13		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
15		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
16		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
17		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
18		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
19		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
20		eulerpart.r	. . . . . . 7 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
21		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartgbij 29278	. . . . . 6 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
24		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( G ` q ) = ( G ` o ) )
25		reseq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = o -> ( q |` J ) = ( o |` J ) )
26	25	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = o -> (bits o. ( q |` J ) ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
27	26	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = o -> ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
28	27	imaeq2d 5174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = o -> ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
29	28	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
30	24, 29	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = o -> ( ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) <-> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
31	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartlemgv 29279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) )
32	30, 31	vtoclga 3099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
33	32	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
34		simp3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = d )
36	35	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( G ` o ) ` k ) = ( d ` k ) )
37	36	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = ( ( d ` k ) x. k ) )
38	37	sumeq2sdv 13847	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) )
39	24	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` ( G ` o ) ) )
40		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` q ) = ( S ` o ) )
41	39, 40	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( q = o -> ( ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) <-> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) ) )
42		eulerpart.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
43	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42	eulerpartlemgs2 29286	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) )
44	41, 43	vtoclga 3099	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) )
45		nn0ex 10899	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
46		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
47		1nn0 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
48		prssi 4119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
49	46, 47, 48	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ NN0
50		mapss 7532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) )
51	45, 49, 50	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN )
52		ssrin 3648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) -> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R )
54		f1of 5828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
55	22, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
56	55	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
57	53, 56	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
58	20, 42	eulerpartlemsv1 29262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
60	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 29275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) <-> ( o e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' o " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( NN0 ^m NN ) )
62		inss2 3644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ R
63	62	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. R )
64	61, 63	elind 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
65	20, 42	eulerpartlemsv1 29262	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
67	44, 59, 66	3eqtr3d 2513	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
68	67	3ad2ant2 1052	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
69	38, 68	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
70	69	eqeq1d 2473	. . . . 5 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N ) )
71	12, 23, 70	f1oresrab 6071	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
72	11, 71	chvarv 2120	. . 3 |- ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
73		cnveq 5013	. . . . . . . . . 10 |- ( g = q -> `' g = `' q )
74	73	imaeq1d 5173	. . . . . . . . 9 |- ( g = q -> ( `' g " NN ) = ( `' q " NN ) )
75	74	raleqdv 2979	. . . . . . . 8 |- ( g = q -> ( A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
76	75	cbvrabv 3030	. . . . . . 7 |- { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n } = { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
77		nfrab1 2957	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
78		nfrab1 2957	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
79		df-3an 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
80	79	anbi1i 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
81	13	eulerpartleme 29269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. P <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
82	81	anbi1i 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
83		an32 815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
84	80, 82, 83	3bitr4i 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
85	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 29275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
86		nnex 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
87	45, 86	elmap 7518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( NN0 ^m NN ) <-> q : NN --> NN0 )
88	87	3anbi1i 1221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
89	85, 88	bitri 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
90		df-3an 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
91		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' q " NN ) C_ dom q
92		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q : NN --> NN0 -> dom q = NN )
93	91, 92	syl5sseq 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q : NN --> NN0 -> ( `' q " NN ) C_ NN )
94		dfss3 3408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' q " NN ) C_ NN <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
95	93, 94	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q : NN --> NN0 -> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
96	95	biantrurd 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q : NN --> NN0 -> ( A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) ) )
97		dfss3 3408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. J )
98		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
99	98	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
100	99, 16	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
101	100	ralbii 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
102		r19.26 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
103	97, 101, 102	3bitri 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
104	96, 103	syl6rbbr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q : NN --> NN0 -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
105	104	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
106	105	pm5.32i 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
107	89, 90, 106	3bitri 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
108	107	anbi1i 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
109	84, 108	bitr4i 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
110		rabid 2953	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
111		rabid 2953	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
112	109, 110, 111	3bitr4i 285	. . . . . . . 8 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
113	77, 78, 112	eqri 28226	. . . . . . 7 |- { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
114	14, 76, 113	3eqtri 2497	. . . . . 6 |- O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
115	114	reseq2i 5108	. . . . 5 |- ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
116	115	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
117	114	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
118		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ d D
119		nfrab1 2957	. . . . . 6 |- F/_ d { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
120		fnima 5704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d Fn NN -> ( d " NN ) = ran d )
121	120	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d Fn NN -> ( ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
122	121	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) ) )
123		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran d C_ { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ran d C_ NN0 )
124	49, 123	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } -> ran d C_ NN0 )
125	124	pm4.71ri 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
126	122, 125	syl6bbr 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
127	126	pm5.32i 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
128		anass 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) )
129		df-f 5593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
130	127, 128, 129	3bitr4ri 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
131		prex 4642	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } e. _V
132	131, 86	elmap 7518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> d : NN --> { 0 , 1 } )
133		df-f 5593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> NN0 <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) )
134	133	anbi1i 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
135	130, 132, 134	3bitr4i 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
136		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
137		cnveq 5013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = d -> `' f = `' d )
138	137	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = d -> ( `' f " NN ) = ( `' d " NN ) )
139	138	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = d -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' d " NN ) e. Fin ) )
140	136, 139, 20	elab2 3176	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. R <-> ( `' d " NN ) e. Fin )
141	135, 140	anbi12i 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
142		elin 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) )
143		an32 815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
144	141, 142, 143	3bitr4i 285	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
145	144	anbi1i 709	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
146	13	eulerpartleme 29269	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. P <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
147	146	anbi1i 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
148		df-3an 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
149	148	anbi1i 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
150		an32 815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
151	147, 149, 150	3bitri 279	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
152	145, 151	bitr4i 260	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
153		rabid 2953	. . . . . . 7 |- ( d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
154	13, 14, 15	eulerpartlemd 29272	. . . . . . 7 |- ( d e. D <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
155	152, 153, 154	3bitr4ri 286	. . . . . 6 |- ( d e. D <-> d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
156	118, 119, 155	eqri 28226	. . . . 5 |- D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
157	156	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
158	116, 117, 157	f1oeq123d 5824	. . 3 |- ( T. -> ( ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
159	72, 158	mpbird 240	. 2 |- ( T. -> ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D )
160	159	trud 1461	1 |- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   class class class wbr 4395   {copab 4453   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   supp csupp 6933   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   sum_csu 13829   || cdvds 14382  bitscbits 14471  𝟭cind 28906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-bits 14474  df-ind 28907

This theorem is referenced by:  eulerpart  29288