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Theorem eulerpartlemn 28517
Description: Lemma for eulerpart 28518. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemn  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, r, x, y, z    k, F, n, o, x, y   
f, G, k, o   
o, H, r    f, J, k, n, o, r, x, y    k, M, n, o, r, x, y    f, N, g, k, n, o, x   
n, O, r, x, y    P, g, k, n    R, f, k, n, o, r, x, y    T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, o, r)    R( z, g)    S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( z, g)    F( z, f, g, r)    G( x, y, z, g, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z, g)    M( z, f, g)    N( y, z, r)    O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn
Dummy variables  d 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  o  =  q )
21fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( o `  k
)  =  ( q `
 k ) )
32oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  ( ( q `  k )  x.  k ) )
43sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  q  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k ) )
54eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  q  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
65cbvrabv 3108 . . . . . . . 8  |-  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( o  =  q  ->  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
87reseq2d 5283 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) )
9 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  |  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N }  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
108, 7, 9f1oeq123d 5819 . . . . 5  |-  ( o  =  q  ->  (
( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( o  =  q  ->  (
( T.  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)  <->  ( T.  ->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) ) )
12 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
13 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
14 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
15 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
16 eulerpart.j . . . . . . 7  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
17 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
18 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
19 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
20 eulerpart.r . . . . . . 7  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
21 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartgbij 28508 . . . . . 6  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
24 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  ( G `  q )  =  ( G `  o ) )
25 reseq1 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  o  ->  (
q  |`  J )  =  ( o  |`  J ) )
2625coeq2d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  o  ->  (bits  o.  ( q  |`  J ) )  =  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )
2726fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  =  o  ->  ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) )  =  ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )
2827imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  o  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) )  =  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  (
(𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
3024, 29eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  o  ->  (
( G `  q
)  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) ) )  <->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) )
3113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartlemgv 28509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  q )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) ) )
3230, 31vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
33323ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
34 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
3533, 34eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  d )
3635fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( G `
 o ) `  k )  =  ( d `  k ) )
3736oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  ( ( d `  k
)  x.  k ) )
3837sumeq2sdv 13538 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k ) )
3924fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  ( G `  q ) )  =  ( S `  ( G `  o )
) )
40 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  q )  =  ( S `  o ) )
4139, 40eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  o  ->  (
( S `  ( G `  q )
)  =  ( S `
 q )  <->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) ) )
42 eulerpart.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
4313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42eulerpartlemgs2 28516 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  q
) )  =  ( S `  q ) )
4441, 43vtoclga 3173 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) )
45 nn0ex 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
46 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
47 1nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
48 prssi 4188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
4946, 47, 48mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
50 mapss 7480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN ) )
5145, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  C_  ( NN0  ^m  NN )
52 ssrin 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )
54 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  G : ( T  i^i  R ) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5522, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  G :
( T  i^i  R
) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )
5655ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5753, 56sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5820, 42eulerpartlemsv1 28492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  o )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  ( G `  o ) )  = 
sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( ( G `  o ) `  k
)  x.  k ) )
6013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 28505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( o  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' o
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' o " NN )  C_  J ) )
6160simp1bi 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
62 inss2 3715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  i^i  R )  C_  R
6362sseli 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  R )
6461, 63elind 3684 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
6520, 42eulerpartlemsv1 28492 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
6744, 59, 663eqtr3d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
68673ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
6938, 68eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
7069eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N ) )
7112, 23, 70f1oresrab 6064 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
7211, 71chvarv 2015 . . 3  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
73 cnveq 5186 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  q  ->  `' g  =  `' q
)
7473imaeq1d 5346 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  q  ->  ( `' g " NN )  =  ( `' q " NN ) )
7574raleqdv 3060 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  q  ->  ( A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
7675cbvrabv 3108 . . . . . . 7  |-  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
77 nfrab1 3038 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
78 nfrab1 3038 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
79 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
8079anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
8113eulerpartleme 28499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  P  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N ) )
8281anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
83 an32 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
8480, 82, 833bitr4i 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 28505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
86 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
8745, 86elmap 7466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  q : NN --> NN0 )
88873anbi1i 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
8985, 88bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
90 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
91 cnvimass 5367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' q " NN ) 
C_  dom  q
92 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q : NN --> NN0  ->  dom  q  =  NN )
9391, 92syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( `' q " NN )  C_  NN )
94 dfss3 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' q " NN )  C_  NN  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9593, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q : NN --> NN0  ->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9695biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
97 dfss3 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J
)
98 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
9998notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
10099, 16elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
101100ralbii 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
102 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10397, 101, 1023bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
10496, 103syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  ->  ( ( `' q
" NN )  C_  J 
<-> 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
106105pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10789, 90, 1063bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
108107anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( T  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
10984, 108bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
110 rabid 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
111 rabid 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
112109, 110, 1113bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
11377, 78, 112eqri 27539 . . . . . . 7  |-  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
11414, 76, 1133eqtri 2490 . . . . . 6  |-  O  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
115114reseq2i 5280 . . . . 5  |-  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
116115a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
117114a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  O  =  {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
118 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ d D
119 nfrab1 3038 . . . . . 6  |-  F/_ d { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
120 fnima 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
d " NN )  =  ran  d )
121120sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( d " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
122121anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ran  d  C_  NN0 
/\  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) ) )
123 sstr 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ran  d  C_  NN0 )
12449, 123mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  ->  ran  d  C_  NN0 )
125124pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  <->  ( ran  d  C_  NN0  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
126122, 125syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
127126pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )  <-> 
( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
128 anass 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) ) )
129 df-f 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
130127, 128, 1293bitr4ri 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
131 prex 4698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
132131, 86elmap 7466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  d : NN --> { 0 ,  1 } )
133 df-f 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> NN0  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
NN0 ) )
134133anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
135130, 132, 1343bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  ( d : NN --> NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
136 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
137 cnveq 5186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  d  ->  `' f  =  `' d
)
138137imaeq1d 5346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' d " NN ) )
139138eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
140136, 139, 20elab2 3249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  R  <->  ( `' d " NN )  e. 
Fin )
141135, 140anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R )  <->  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin ) )
142 elin 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R
) )
143 an32 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
144141, 142, 1433bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
145144anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
14613eulerpartleme 28499 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  P  <->  ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
147146anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
148 df-3an 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N ) )
149148anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  ( d
" NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
150 an32 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
151147, 149, 1503bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
152145, 151bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
153 rabid 3034 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15413, 14, 15eulerpartlemd 28502 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  D  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
155152, 153, 1543bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( d  e.  D  <->  d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
156118, 119, 155eqri 27539 . . . . 5  |-  D  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
157156a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  D  =  {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
158116, 117, 157f1oeq123d 5819 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
15972, 158mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D )
160159trud 1404 1  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   sum_csu 13520    || cdvds 13998  bitscbits 14081  𝟭cind 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-bits 14084  df-ind 28186
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