Theorem eulerpartlemn 28839

Description: Lemma for eulerpart 28840. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemn	|- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, r, x, y, z   k, F, n, o, x, y   f, G, k, o   o, H, r   f, J, k, n, o, r, x, y   k, M, n, o, r, x, y   f, N, g, k, n, o, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, r)   G( x, y, z, g, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g)   M( z, f, g)   N( y, z, r)   O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn

Dummy variables d q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> o = q )
2	1	fveq1d 5853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( o ` k ) = ( q ` k ) )
3	2	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( ( o ` k ) x. k ) = ( ( q ` k ) x. k ) )
4	3	sumeq2dv 13676	. . . . . . . . . 10 |- ( o = q -> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) )
5	4	eqeq1d 2406	. . . . . . . . 9 |- ( o = q -> ( sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
6	5	cbvrabv 3060	. . . . . . . 8 |- { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( o = q -> { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
8	7	reseq2d 5096	. . . . . 6 |- ( o = q -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
9		eqidd 2405	. . . . . 6 |- ( o = q -> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
10	8, 7, 9	f1oeq123d 5798	. . . . 5 |- ( o = q -> ( ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( o = q -> ( ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) <-> ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) ) )
12		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
13		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
15		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
16		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
17		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
18		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
19		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
20		eulerpart.r	. . . . . . 7 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
21		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartgbij 28830	. . . . . 6 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
24		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( G ` q ) = ( G ` o ) )
25		reseq1 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = o -> ( q |` J ) = ( o |` J ) )
26	25	coeq2d 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = o -> (bits o. ( q |` J ) ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
27	26	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = o -> ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
28	27	imaeq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = o -> ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
29	28	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
30	24, 29	eqeq12d 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = o -> ( ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) <-> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
31	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartlemgv 28831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) )
32	30, 31	vtoclga 3125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
33	32	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
34		simp3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = d )
36	35	fveq1d 5853	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( G ` o ) ` k ) = ( d ` k ) )
37	36	oveq1d 6295	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = ( ( d ` k ) x. k ) )
38	37	sumeq2sdv 13677	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) )
39	24	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` ( G ` o ) ) )
40		fveq2 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` q ) = ( S ` o ) )
41	39, 40	eqeq12d 2426	. . . . . . . . . 10 |- ( q = o -> ( ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) <-> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) ) )
42		eulerpart.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
43	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42	eulerpartlemgs2 28838	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) )
44	41, 43	vtoclga 3125	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) )
45		nn0ex 10844	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
46		0nn0 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
47		1nn0 10854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
48		prssi 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
49	46, 47, 48	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ NN0
50		mapss 7501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) )
51	45, 49, 50	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN )
52		ssrin 3666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) -> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R )
54		f1of 5801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
55	22, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
56	55	ffvelrni 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
57	53, 56	sseldi 3442	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
58	20, 42	eulerpartlemsv1 28814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
60	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 28827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) <-> ( o e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' o " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( NN0 ^m NN ) )
62		inss2 3662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ R
63	62	sseli 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. R )
64	61, 63	elind 3629	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
65	20, 42	eulerpartlemsv1 28814	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
67	44, 59, 66	3eqtr3d 2453	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
68	67	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
69	38, 68	eqtr3d 2447	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
70	69	eqeq1d 2406	. . . . 5 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N ) )
71	12, 23, 70	f1oresrab 6044	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
72	11, 71	chvarv 2043	. . 3 |- ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
73		cnveq 4999	. . . . . . . . . 10 |- ( g = q -> `' g = `' q )
74	73	imaeq1d 5158	. . . . . . . . 9 |- ( g = q -> ( `' g " NN ) = ( `' q " NN ) )
75	74	raleqdv 3012	. . . . . . . 8 |- ( g = q -> ( A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
76	75	cbvrabv 3060	. . . . . . 7 |- { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n } = { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
77		nfrab1 2990	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
78		nfrab1 2990	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
79		df-3an 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
80	79	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
81	13	eulerpartleme 28821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. P <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
82	81	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
83		an32 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
84	80, 82, 83	3bitr4i 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
85	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 28827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
86		nnex 10584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
87	45, 86	elmap 7487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( NN0 ^m NN ) <-> q : NN --> NN0 )
88	87	3anbi1i 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
89	85, 88	bitri 251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
90		df-3an 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
91		cnvimass 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' q " NN ) C_ dom q
92		fdm 5720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q : NN --> NN0 -> dom q = NN )
93	91, 92	syl5sseq 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q : NN --> NN0 -> ( `' q " NN ) C_ NN )
94		dfss3 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' q " NN ) C_ NN <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
95	93, 94	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q : NN --> NN0 -> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
96	95	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q : NN --> NN0 -> ( A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) ) )
97		dfss3 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. J )
98		breq2 4401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
99	98	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
100	99, 16	elrab2 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
101	100	ralbii 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
102		r19.26 2936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
103	97, 101, 102	3bitri 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
104	96, 103	syl6rbbr 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q : NN --> NN0 -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
105	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
106	105	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
107	89, 90, 106	3bitri 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
108	107	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
109	84, 108	bitr4i 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
110		rabid 2986	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
111		rabid 2986	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
112	109, 110, 111	3bitr4i 279	. . . . . . . 8 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
113	77, 78, 112	eqri 27839	. . . . . . 7 |- { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
114	14, 76, 113	3eqtri 2437	. . . . . 6 |- O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
115	114	reseq2i 5093	. . . . 5 |- ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
116	115	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
117	114	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
118		nfcv 2566	. . . . . 6 |- F/_ d D
119		nfrab1 2990	. . . . . 6 |- F/_ d { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
120		fnima 5682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d Fn NN -> ( d " NN ) = ran d )
121	120	sseq1d 3471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d Fn NN -> ( ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
122	121	anbi2d 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) ) )
123		sstr 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran d C_ { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ran d C_ NN0 )
124	49, 123	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } -> ran d C_ NN0 )
125	124	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
126	122, 125	syl6bbr 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
127	126	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
128		anass 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) )
129		df-f 5575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
130	127, 128, 129	3bitr4ri 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
131		prex 4635	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } e. _V
132	131, 86	elmap 7487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> d : NN --> { 0 , 1 } )
133		df-f 5575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> NN0 <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) )
134	133	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
135	130, 132, 134	3bitr4i 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
136		vex 3064	. . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
137		cnveq 4999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = d -> `' f = `' d )
138	137	imaeq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = d -> ( `' f " NN ) = ( `' d " NN ) )
139	138	eleq1d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = d -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' d " NN ) e. Fin ) )
140	136, 139, 20	elab2 3201	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. R <-> ( `' d " NN ) e. Fin )
141	135, 140	anbi12i 697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
142		elin 3628	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) )
143		an32 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
144	141, 142, 143	3bitr4i 279	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
145	144	anbi1i 695	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
146	13	eulerpartleme 28821	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. P <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
147	146	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
148		df-3an 978	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
149	148	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
150		an32 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
151	147, 149, 150	3bitri 273	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
152	145, 151	bitr4i 254	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
153		rabid 2986	. . . . . . 7 |- ( d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
154	13, 14, 15	eulerpartlemd 28824	. . . . . . 7 |- ( d e. D <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
155	152, 153, 154	3bitr4ri 280	. . . . . 6 |- ( d e. D <-> d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
156	118, 119, 155	eqri 27839	. . . . 5 |- D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
157	156	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
158	116, 117, 157	f1oeq123d 5798	. . 3 |- ( T. -> ( ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
159	72, 158	mpbird 234	. 2 |- ( T. -> ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D )
160	159	trud 1416	1 |- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   T. wtru 1408   e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {cpr 3976   class class class wbr 4397   {copab 4454   |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826   |` cres 4827   "cima 4828   o. ccom 4829   Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   |-> cmpt2 6282   supp csupp 6904   ^m cmap 7459   Fincfn 7556   0cc0 9524   1c1 9525   x. cmul 9529   <_ cle 9661   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   sum_csu 13659   || cdvds 14197  bitscbits 14280  𝟭cind 28471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-dvds 14198  df-bits 14283  df-ind 28472

This theorem is referenced by:  eulerpart  28840