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Theorem eulerpartlemn 28839
Description: Lemma for eulerpart 28840. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemn  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, r, x, y, z    k, F, n, o, x, y   
f, G, k, o   
o, H, r    f, J, k, n, o, r, x, y    k, M, n, o, r, x, y    f, N, g, k, n, o, x   
n, O, r, x, y    P, g, k, n    R, f, k, n, o, r, x, y    T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, o, r)    R( z, g)    S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( z, g)    F( z, f, g, r)    G( x, y, z, g, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z, g)    M( z, f, g)    N( y, z, r)    O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn
Dummy variables  d 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  o  =  q )
21fveq1d 5853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( o `  k
)  =  ( q `
 k ) )
32oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( o  =  q  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  ( ( q `  k )  x.  k ) )
43sumeq2dv 13676 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  q  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k ) )
54eqeq1d 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  q  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
65cbvrabv 3060 . . . . . . . 8  |-  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( o  =  q  ->  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
87reseq2d 5096 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) )
9 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  |  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N }  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
108, 7, 9f1oeq123d 5798 . . . . 5  |-  ( o  =  q  ->  (
( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( o  =  q  ->  (
( T.  ->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)  <->  ( T.  ->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) ) )
12 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
13 eulerpart.p . . . . . . 7  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
14 eulerpart.o . . . . . . 7  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
15 eulerpart.d . . . . . . 7  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
16 eulerpart.j . . . . . . 7  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
17 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
18 eulerpart.h . . . . . . 7  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
19 eulerpart.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
20 eulerpart.r . . . . . . 7  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
21 eulerpart.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartgbij 28830 . . . . . 6  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
24 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  ( G `  q )  =  ( G `  o ) )
25 reseq1 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  o  ->  (
q  |`  J )  =  ( o  |`  J ) )
2625coeq2d 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  o  ->  (bits  o.  ( q  |`  J ) )  =  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )
2726fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  =  o  ->  ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) )  =  ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )
2827imaeq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  o  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) )  =  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
2928fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  o  ->  (
(𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
3024, 29eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  o  ->  (
( G `  q
)  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( q  |`  J ) ) ) ) )  <->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) )
3113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartlemgv 28831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  q )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
q  |`  J ) ) ) ) ) )
3230, 31vtoclga 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
33323ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
34 simp3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
3533, 34eqtr4d 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G `  o )  =  d )
3635fveq1d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( G `
 o ) `  k )  =  ( d `  k ) )
3736oveq1d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  ( ( d `  k
)  x.  k ) )
3837sumeq2sdv 13677 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k ) )
3924fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  ( G `  q ) )  =  ( S `  ( G `  o )
) )
40 fveq2 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  o  ->  ( S `  q )  =  ( S `  o ) )
4139, 40eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  o  ->  (
( S `  ( G `  q )
)  =  ( S `
 q )  <->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) ) )
42 eulerpart.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
4313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42eulerpartlemgs2 28838 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  q
) )  =  ( S `  q ) )
4441, 43vtoclga 3125 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  ( S `  o ) )
45 nn0ex 10844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
46 0nn0 10853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
47 1nn0 10854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
48 prssi 4130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
4946, 47, 48mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
50 mapss 7501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN ) )
5145, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  C_  ( NN0  ^m  NN )
52 ssrin 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) 
C_  ( NN0  ^m  NN )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  C_  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )
54 f1of 5801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  G : ( T  i^i  R ) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5522, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  G :
( T  i^i  R
) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )
5655ffvelrni 6010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
5753, 56sseldi 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  o )  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
5820, 42eulerpartlemsv1 28814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  o )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  ( G `  o ) )  = 
sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
) )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  o
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( ( G `  o ) `  k
)  x.  k ) )
6013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 28827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( o  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' o
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' o " NN )  C_  J ) )
6160simp1bi 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
62 inss2 3662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  i^i  R )  C_  R
6362sseli 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  R )
6461, 63elind 3629 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  o  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
6520, 42eulerpartlemsv1 28814 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  o )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
6744, 59, 663eqtr3d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `  o ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k ) )
68673ad2ant2 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( ( G `
 o ) `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
6938, 68eqtr3d 2447 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k ) )
7069eqeq1d 2406 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
)  /\  d  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  (
( o `  k
)  x.  k )  =  N ) )
7112, 23, 70f1oresrab 6044 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { o  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( o `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
o  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( o `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
7211, 71chvarv 2043 . . 3  |-  ( T. 
->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
73 cnveq 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  q  ->  `' g  =  `' q
)
7473imaeq1d 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  q  ->  ( `' g " NN )  =  ( `' q " NN ) )
7574raleqdv 3012 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  q  ->  ( A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
7675cbvrabv 3060 . . . . . . 7  |-  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
77 nfrab1 2990 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }
78 nfrab1 2990 . . . . . . . 8  |-  F/_ q { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
79 df-3an 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
8079anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
8113eulerpartleme 28821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  P  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N ) )
8281anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
83 an32 801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
8480, 82, 833bitr4i 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 28827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
86 nnex 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
8745, 86elmap 7487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  q : NN --> NN0 )
88873anbi1i 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
8985, 88bitri 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
90 df-3an 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J ) )
91 cnvimass 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' q " NN ) 
C_  dom  q
92 fdm 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q : NN --> NN0  ->  dom  q  =  NN )
9391, 92syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( `' q " NN )  C_  NN )
94 dfss3 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' q " NN )  C_  NN  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9593, 94sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q : NN --> NN0  ->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN )
9695biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) ) )
97 dfss3 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J
)
98 breq2 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
9998notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
10099, 16elrab2 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
101100ralbii 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
102 r19.26 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n )  <-> 
( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\ 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10397, 101, 1023bitri 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  ( A. n  e.  ( `' q " NN ) n  e.  NN  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
10496, 103syl6rbbr 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q : NN --> NN0  ->  ( ( `' q " NN )  C_  J  <->  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  ->  ( ( `' q
" NN )  C_  J 
<-> 
A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
106105pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  ( `' q " NN )  C_  J )  <->  ( (
q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
10789, 90, 1063bitri 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( ( q : NN --> NN0  /\  ( `' q " NN )  e.  Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
) )
108107anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( T  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( q `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( q : NN --> NN0  /\  ( `' q
" NN )  e. 
Fin )  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N ) )
10984, 108bitr4i 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n
)  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
110 rabid 2986 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  ( q  e.  P  /\  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n ) )
111 rabid 2986 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N }  <->  ( q  e.  ( T  i^i  R
)  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N ) )
112109, 110, 1113bitr4i 279 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  <->  q  e.  { q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
11377, 78, 112eqri 27839 . . . . . . 7  |-  { q  e.  P  |  A. n  e.  ( `' q " NN )  -.  2  ||  n }  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
11414, 76, 1133eqtri 2437 . . . . . 6  |-  O  =  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
115114reseq2i 5093 . . . . 5  |-  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } )
116115a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O )  =  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
117114a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  O  =  {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N }
)
118 nfcv 2566 . . . . . 6  |-  F/_ d D
119 nfrab1 2990 . . . . . 6  |-  F/_ d { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
120 fnima 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
d " NN )  =  ran  d )
121120sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( d " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
122121anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ran  d  C_  NN0 
/\  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) ) )
123 sstr 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ran  d  C_  NN0 )
12449, 123mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  ->  ran  d  C_  NN0 )
125124pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  d  C_  { 0 ,  1 }  <->  ( ran  d  C_  NN0  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
126122, 125syl6bbr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  Fn  NN  ->  (
( ran  d  C_  NN0 
/\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
127126pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )  <-> 
( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  { 0 ,  1 } ) )
128 anass 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  Fn  NN  /\ 
ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( d  Fn  NN  /\  ( ran  d  C_  NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) ) )
129 df-f 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
{ 0 ,  1 } ) )
130127, 128, 1293bitr4ri 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d : NN --> { 0 ,  1 }  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
131 prex 4635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
132131, 86elmap 7487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  d : NN --> { 0 ,  1 } )
133 df-f 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d : NN --> NN0  <->  ( d  Fn  NN  /\  ran  d  C_ 
NN0 ) )
134133anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d  Fn  NN  /\  ran  d  C_  NN0 )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
135130, 132, 1343bitr4i 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  <->  ( d : NN --> NN0  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
136 vex 3064 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
137 cnveq 4999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  d  ->  `' f  =  `' d
)
138137imaeq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  d  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' d " NN ) )
139138eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  d  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
140136, 139, 20elab2 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  R  <->  ( `' d " NN )  e. 
Fin )
141135, 140anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R )  <->  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin ) )
142 elin 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( d  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  d  e.  R
) )
143 an32 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )
)
144141, 142, 1433bitr4i 279 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
145144anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
14613eulerpartleme 28821 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  P  <->  ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
147146anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
148 df-3an 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( (
d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N ) )
149148anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  ( d
" NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
150 an32 801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <-> 
( ( ( d : NN --> NN0  /\  ( `' d " NN )  e.  Fin )  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
151147, 149, 1503bitri 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  P  /\  ( d " NN )  C_  { 0 ,  1 } )  <->  ( (
( d : NN --> NN0  /\  ( `' d
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
152145, 151bitr4i 254 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
153 rabid 2986 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  |  sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }  <->  ( d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( d `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15413, 14, 15eulerpartlemd 28824 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  D  <->  ( d  e.  P  /\  (
d " NN ) 
C_  { 0 ,  1 } ) )
155152, 153, 1543bitr4ri 280 . . . . . 6  |-  ( d  e.  D  <->  d  e.  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
156118, 119, 155eqri 27839 . . . . 5  |-  D  =  { d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
157156a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  D  =  {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
)
158116, 117, 157f1oeq123d 5798 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D  <->  ( G  |`  { q  e.  ( T  i^i  R
)  |  sum_ k  e.  NN  ( ( q `
 k )  x.  k )  =  N } ) : {
q  e.  ( T  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( q `  k )  x.  k
)  =  N } -1-1-onto-> {
d  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  | 
sum_ k  e.  NN  ( ( d `  k )  x.  k
)  =  N }
) )
15972, 158mpbird 234 . 2  |-  ( T. 
->  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D )
160159trud 1416 1  |-  ( G  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   T. wtru 1408    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {cpr 3976   class class class wbr 4397   {copab 4454    |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828    o. ccom 4829    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   supp csupp 6904    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529    <_ cle 9661   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   sum_csu 13659    || cdvds 14197  bitscbits 14280  𝟭cind 28471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-dvds 14198  df-bits 14283  df-ind 28472
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