Theorem eulerpartlemn 29214

Description: Lemma for eulerpart 29215. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemn	|- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, r, x, y, z   k, F, n, o, x, y   f, G, k, o   o, H, r   f, J, k, n, o, r, x, y   k, M, n, o, r, x, y   f, N, g, k, n, o, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, r)   G( x, y, z, g, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g)   M( z, f, g)   N( y, z, r)   O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn

Dummy variables d q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> o = q )
2	1	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( o ` k ) = ( q ` k ) )
3	2	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( ( o ` k ) x. k ) = ( ( q ` k ) x. k ) )
4	3	sumeq2dv 13769	. . . . . . . . . 10 |- ( o = q -> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) )
5	4	eqeq1d 2453	. . . . . . . . 9 |- ( o = q -> ( sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
6	5	cbvrabv 3044	. . . . . . . 8 |- { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( o = q -> { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
8	7	reseq2d 5105	. . . . . 6 |- ( o = q -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
9		eqidd 2452	. . . . . 6 |- ( o = q -> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
10	8, 7, 9	f1oeq123d 5811	. . . . 5 |- ( o = q -> ( ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
11	10	imbi2d 318	. . . 4 |- ( o = q -> ( ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) <-> ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) ) )
12		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
13		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
15		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
16		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
17		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
18		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
19		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
20		eulerpart.r	. . . . . . 7 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
21		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartgbij 29205	. . . . . 6 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
24		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( G ` q ) = ( G ` o ) )
25		reseq1 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = o -> ( q |` J ) = ( o |` J ) )
26	25	coeq2d 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = o -> (bits o. ( q |` J ) ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
27	26	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = o -> ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
28	27	imaeq2d 5168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = o -> ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
29	28	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
30	24, 29	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = o -> ( ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) <-> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
31	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartlemgv 29206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) )
32	30, 31	vtoclga 3113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
33	32	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
34		simp3 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = d )
36	35	fveq1d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( G ` o ) ` k ) = ( d ` k ) )
37	36	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = ( ( d ` k ) x. k ) )
38	37	sumeq2sdv 13770	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) )
39	24	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` ( G ` o ) ) )
40		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` q ) = ( S ` o ) )
41	39, 40	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( q = o -> ( ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) <-> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) ) )
42		eulerpart.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
43	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42	eulerpartlemgs2 29213	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) )
44	41, 43	vtoclga 3113	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) )
45		nn0ex 10875	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
46		0nn0 10884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
47		1nn0 10885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
48		prssi 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
49	46, 47, 48	mp2an 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ NN0
50		mapss 7514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) )
51	45, 49, 50	mp2an 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN )
52		ssrin 3657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) -> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R )
54		f1of 5814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
55	22, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
56	55	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
57	53, 56	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
58	20, 42	eulerpartlemsv1 29189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
60	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 29202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) <-> ( o e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' o " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( NN0 ^m NN ) )
62		inss2 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ R
63	62	sseli 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. R )
64	61, 63	elind 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
65	20, 42	eulerpartlemsv1 29189	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
67	44, 59, 66	3eqtr3d 2493	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
68	67	3ad2ant2 1030	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
69	38, 68	eqtr3d 2487	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
70	69	eqeq1d 2453	. . . . 5 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N ) )
71	12, 23, 70	f1oresrab 6055	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
72	11, 71	chvarv 2107	. . 3 |- ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
73		cnveq 5008	. . . . . . . . . 10 |- ( g = q -> `' g = `' q )
74	73	imaeq1d 5167	. . . . . . . . 9 |- ( g = q -> ( `' g " NN ) = ( `' q " NN ) )
75	74	raleqdv 2993	. . . . . . . 8 |- ( g = q -> ( A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
76	75	cbvrabv 3044	. . . . . . 7 |- { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n } = { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
77		nfrab1 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
78		nfrab1 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
79		df-3an 987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
80	79	anbi1i 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
81	13	eulerpartleme 29196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. P <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
82	81	anbi1i 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
83		an32 807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
84	80, 82, 83	3bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
85	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 29202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
86		nnex 10615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
87	45, 86	elmap 7500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( NN0 ^m NN ) <-> q : NN --> NN0 )
88	87	3anbi1i 1199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
89	85, 88	bitri 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
90		df-3an 987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
91		cnvimass 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' q " NN ) C_ dom q
92		fdm 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q : NN --> NN0 -> dom q = NN )
93	91, 92	syl5sseq 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q : NN --> NN0 -> ( `' q " NN ) C_ NN )
94		dfss3 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' q " NN ) C_ NN <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
95	93, 94	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q : NN --> NN0 -> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
96	95	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q : NN --> NN0 -> ( A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) ) )
97		dfss3 3422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. J )
98		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
99	98	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
100	99, 16	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
101	100	ralbii 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
102		r19.26 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
103	97, 101, 102	3bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
104	96, 103	syl6rbbr 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q : NN --> NN0 -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
105	104	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
106	105	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
107	89, 90, 106	3bitri 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
108	107	anbi1i 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
109	84, 108	bitr4i 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
110		rabid 2967	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
111		rabid 2967	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
112	109, 110, 111	3bitr4i 281	. . . . . . . 8 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
113	77, 78, 112	eqri 28147	. . . . . . 7 |- { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
114	14, 76, 113	3eqtri 2477	. . . . . 6 |- O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
115	114	reseq2i 5102	. . . . 5 |- ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
116	115	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
117	114	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
118		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ d D
119		nfrab1 2971	. . . . . 6 |- F/_ d { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
120		fnima 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d Fn NN -> ( d " NN ) = ran d )
121	120	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d Fn NN -> ( ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
122	121	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) ) )
123		sstr 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran d C_ { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ran d C_ NN0 )
124	49, 123	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } -> ran d C_ NN0 )
125	124	pm4.71ri 639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
126	122, 125	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
127	126	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
128		anass 655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) )
129		df-f 5586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
130	127, 128, 129	3bitr4ri 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
131		prex 4642	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } e. _V
132	131, 86	elmap 7500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> d : NN --> { 0 , 1 } )
133		df-f 5586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> NN0 <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) )
134	133	anbi1i 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
135	130, 132, 134	3bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
136		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
137		cnveq 5008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = d -> `' f = `' d )
138	137	imaeq1d 5167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = d -> ( `' f " NN ) = ( `' d " NN ) )
139	138	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = d -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' d " NN ) e. Fin ) )
140	136, 139, 20	elab2 3188	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. R <-> ( `' d " NN ) e. Fin )
141	135, 140	anbi12i 703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
142		elin 3617	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) )
143		an32 807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
144	141, 142, 143	3bitr4i 281	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
145	144	anbi1i 701	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
146	13	eulerpartleme 29196	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. P <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
147	146	anbi1i 701	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
148		df-3an 987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
149	148	anbi1i 701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
150		an32 807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
151	147, 149, 150	3bitri 275	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
152	145, 151	bitr4i 256	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
153		rabid 2967	. . . . . . 7 |- ( d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
154	13, 14, 15	eulerpartlemd 29199	. . . . . . 7 |- ( d e. D <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
155	152, 153, 154	3bitr4ri 282	. . . . . 6 |- ( d e. D <-> d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
156	118, 119, 155	eqri 28147	. . . . 5 |- D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
157	156	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
158	116, 117, 157	f1oeq123d 5811	. . 3 |- ( T. -> ( ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
159	72, 158	mpbird 236	. 2 |- ( T. -> ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D )
160	159	trud 1453	1 |- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   T. wtru 1445   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   class class class wbr 4402   {copab 4460   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   supp csupp 6914   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   <_ cle 9676   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ^cexp 12272   sum_csu 13752   || cdvds 14305  bitscbits 14392  𝟭cind 28832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-bits 14395  df-ind 28833

This theorem is referenced by:  eulerpart  29215