Theorem eulerpartlemn 28517

Description: Lemma for eulerpart 28518. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemn	|- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, r, x, y, z   k, F, n, o, x, y   f, G, k, o   o, H, r   f, J, k, n, o, r, x, y   k, M, n, o, r, x, y   f, N, g, k, n, o, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, r)   G( x, y, z, g, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g)   M( z, f, g)   N( y, z, r)   O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemn

Dummy variables d q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> o = q )
2	1	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( o ` k ) = ( q ` k ) )
3	2	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o = q /\ k e. NN ) -> ( ( o ` k ) x. k ) = ( ( q ` k ) x. k ) )
4	3	sumeq2dv 13537	. . . . . . . . . 10 |- ( o = q -> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) )
5	4	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( o = q -> ( sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
6	5	cbvrabv 3108	. . . . . . . 8 |- { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( o = q -> { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
8	7	reseq2d 5283	. . . . . 6 |- ( o = q -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
9		eqidd 2458	. . . . . 6 |- ( o = q -> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
10	8, 7, 9	f1oeq123d 5819	. . . . 5 |- ( o = q -> ( ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( o = q -> ( ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) <-> ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) ) )
12		eulerpart.g	. . . . 5 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
13		eulerpart.p	. . . . . . 7 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14		eulerpart.o	. . . . . . 7 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
15		eulerpart.d	. . . . . . 7 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
16		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
17		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
18		eulerpart.h	. . . . . . 7 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
19		eulerpart.m	. . . . . . 7 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
20		eulerpart.r	. . . . . . 7 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
21		eulerpart.t	. . . . . . 7 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartgbij 28508	. . . . . 6 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
24		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( G ` q ) = ( G ` o ) )
25		reseq1 5277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = o -> ( q |` J ) = ( o |` J ) )
26	25	coeq2d 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = o -> (bits o. ( q |` J ) ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
27	26	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = o -> ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
28	27	imaeq2d 5347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = o -> ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
29	28	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = o -> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
30	24, 29	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = o -> ( ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) <-> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
31	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12	eulerpartlemgv 28509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( G ` q ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( q |` J ) ) ) ) ) )
32	30, 31	vtoclga 3173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
33	32	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
34		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G ` o ) = d )
36	35	fveq1d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( G ` o ) ` k ) = ( d ` k ) )
37	36	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = ( ( d ` k ) x. k ) )
38	37	sumeq2sdv 13538	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) )
39	24	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` ( G ` o ) ) )
40		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = o -> ( S ` q ) = ( S ` o ) )
41	39, 40	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( q = o -> ( ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) <-> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) ) )
42		eulerpart.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
43	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42	eulerpartlemgs2 28516	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` q ) ) = ( S ` q ) )
44	41, 43	vtoclga 3173	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = ( S ` o ) )
45		nn0ex 10822	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
46		0nn0 10831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
47		1nn0 10832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
48		prssi 4188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
49	46, 47, 48	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ NN0
50		mapss 7480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) )
51	45, 49, 50	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN )
52		ssrin 3719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) C_ ( NN0 ^m NN ) -> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) C_ ( ( NN0 ^m NN ) i^i R )
54		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
55	22, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
56	55	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
57	53, 56	sseldi 3497	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
58	20, 42	eulerpartlemsv1 28492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` o ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` o ) ) = sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) )
60	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 28505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. ( T i^i R ) <-> ( o e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' o " NN ) e. Fin /\ ( `' o " NN ) C_ J ) )
61	60	simp1bi 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( NN0 ^m NN ) )
62		inss2 3715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ R
63	62	sseli 3495	. . . . . . . . . . 11 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. R )
64	61, 63	elind 3684	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) -> o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
65	20, 42	eulerpartlemsv1 28492	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) -> ( S ` o ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
67	44, 59, 66	3eqtr3d 2506	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
68	67	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( ( G ` o ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
69	38, 68	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) )
70	69	eqeq1d 2459	. . . . 5 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) /\ d = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N <-> sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N ) )
71	12, 23, 70	f1oresrab 6064	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } ) : { o e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( o ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
72	11, 71	chvarv 2015	. . 3 |- ( T. -> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
73		cnveq 5186	. . . . . . . . . 10 |- ( g = q -> `' g = `' q )
74	73	imaeq1d 5346	. . . . . . . . 9 |- ( g = q -> ( `' g " NN ) = ( `' q " NN ) )
75	74	raleqdv 3060	. . . . . . . 8 |- ( g = q -> ( A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
76	75	cbvrabv 3108	. . . . . . 7 |- { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n } = { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
77		nfrab1 3038	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n }
78		nfrab1 3038	. . . . . . . 8 |- F/_ q { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
79		df-3an 975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
80	79	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
81	13	eulerpartleme 28499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. P <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
82	81	anbi1i 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
83		an32 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
84	80, 82, 83	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
85	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	eulerpartlemt0 28505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
86		nnex 10562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
87	45, 86	elmap 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. ( NN0 ^m NN ) <-> q : NN --> NN0 )
88	87	3anbi1i 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
89	85, 88	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
90		df-3an 975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) )
91		cnvimass 5367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' q " NN ) C_ dom q
92		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q : NN --> NN0 -> dom q = NN )
93	91, 92	syl5sseq 3547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q : NN --> NN0 -> ( `' q " NN ) C_ NN )
94		dfss3 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' q " NN ) C_ NN <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
95	93, 94	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q : NN --> NN0 -> A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN )
96	95	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q : NN --> NN0 -> ( A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) ) )
97		dfss3 3489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) n e. J )
98		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = n -> ( 2 || z <-> 2 || n ) )
99	98	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = n -> ( -. 2 || z <-> -. 2 || n ) )
100	99, 16	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. J <-> ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
101	100	ralbii 2888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. J <-> A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) )
102		r19.26 2984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( `' q " NN ) ( n e. NN /\ -. 2 || n ) <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
103	97, 101, 102	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' q " NN ) C_ J <-> ( A. n e. ( `' q " NN ) n e. NN /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
104	96, 103	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q : NN --> NN0 -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
105	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) -> ( ( `' q " NN ) C_ J <-> A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
106	105	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ ( `' q " NN ) C_ J ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
107	89, 90, 106	3bitri 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( T i^i R ) <-> ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
108	107	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( q : NN --> NN0 /\ ( `' q " NN ) e. Fin ) /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
109	84, 108	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
110		rabid 3034	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> ( q e. P /\ A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n ) )
111		rabid 3034	. . . . . . . . 9 |- ( q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } <-> ( q e. ( T i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N ) )
112	109, 110, 111	3bitr4i 277	. . . . . . . 8 |- ( q e. { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } <-> q e. { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
113	77, 78, 112	eqri 27539	. . . . . . 7 |- { q e. P | A. n e. ( `' q " NN ) -. 2 || n } = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
114	14, 76, 113	3eqtri 2490	. . . . . 6 |- O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N }
115	114	reseq2i 5280	. . . . 5 |- ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
116	115	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( G |` O ) = ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) )
117	114	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> O = { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } )
118		nfcv 2619	. . . . . 6 |- F/_ d D
119		nfrab1 3038	. . . . . 6 |- F/_ d { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
120		fnima 5705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d Fn NN -> ( d " NN ) = ran d )
121	120	sseq1d 3526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d Fn NN -> ( ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
122	121	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) ) )
123		sstr 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran d C_ { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ran d C_ NN0 )
124	49, 123	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } -> ran d C_ NN0 )
125	124	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran d C_ { 0 , 1 } <-> ( ran d C_ NN0 /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
126	122, 125	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d Fn NN -> ( ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ran d C_ { 0 , 1 } ) )
127	126	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
128		anass 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( d Fn NN /\ ( ran d C_ NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) ) )
129		df-f 5598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ { 0 , 1 } ) )
130	127, 128, 129	3bitr4ri 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d : NN --> { 0 , 1 } <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
131		prex 4698	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } e. _V
132	131, 86	elmap 7466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> d : NN --> { 0 , 1 } )
133		df-f 5598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d : NN --> NN0 <-> ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) )
134	133	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d Fn NN /\ ran d C_ NN0 ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
135	130, 132, 134	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
136		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
137		cnveq 5186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = d -> `' f = `' d )
138	137	imaeq1d 5346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = d -> ( `' f " NN ) = ( `' d " NN ) )
139	138	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = d -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' d " NN ) e. Fin ) )
140	136, 139, 20	elab2 3249	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. R <-> ( `' d " NN ) e. Fin )
141	135, 140	anbi12i 697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
142		elin 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( d e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ d e. R ) )
143		an32 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) )
144	141, 142, 143	3bitr4i 277	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
145	144	anbi1i 695	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
146	13	eulerpartleme 28499	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. P <-> ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
147	146	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
148		df-3an 975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
149	148	anbi1i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
150		an32 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
151	147, 149, 150	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) <-> ( ( ( d : NN --> NN0 /\ ( `' d " NN ) e. Fin ) /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
152	145, 151	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
153		rabid 3034	. . . . . . 7 |- ( d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } <-> ( d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N ) )
154	13, 14, 15	eulerpartlemd 28502	. . . . . . 7 |- ( d e. D <-> ( d e. P /\ ( d " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
155	152, 153, 154	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( d e. D <-> d e. { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
156	118, 119, 155	eqri 27539	. . . . 5 |- D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N }
157	156	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> D = { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } )
158	116, 117, 157	f1oeq123d 5819	. . 3 |- ( T. -> ( ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D <-> ( G |` { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } ) : { q e. ( T i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( q ` k ) x. k ) = N } -1-1-onto-> { d e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) | sum_ k e. NN ( ( d ` k ) x. k ) = N } ) )
159	72, 158	mpbird 232	. 2 |- ( T. -> ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D )
160	159	trud 1404	1 |- ( G |` O ) : O -1-1-onto-> D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   {copab 4514   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   "cima 5011   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   sum_csu 13520   || cdvds 13998  bitscbits 14081  𝟭cind 28185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-bits 14084  df-ind 28186

This theorem is referenced by:  eulerpart  28518