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Theorem eulerpartlemgvv 27983
 Description: Lemma for eulerpart 27989: value of the function evaluated (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p
eulerpart.o
eulerpart.d
eulerpart.j
eulerpart.f
eulerpart.h supp
eulerpart.m
eulerpart.r
eulerpart.t
eulerpart.g 𝟭bits
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv bits
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,   ,   ,   ,   ,,,,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,,)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5
2 eulerpart.o . . . . 5
3 eulerpart.d . . . . 5
4 eulerpart.j . . . . 5
5 eulerpart.f . . . . 5
6 eulerpart.h . . . . 5 supp
7 eulerpart.m . . . . 5
8 eulerpart.r . . . . 5
9 eulerpart.t . . . . 5
10 eulerpart.g . . . . 5 𝟭bits
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 27980 . . . 4 𝟭bits
1211fveq1d 5868 . . 3 𝟭bits
14 nnex 10542 . . . 4
1514a1i 11 . . 3
16 imassrn 5348 . . . . 5 bits
174, 5oddpwdc 27961 . . . . . 6
18 f1of 5816 . . . . . 6
19 frn 5737 . . . . . 6
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5
2116, 20sstri 3513 . . . 4 bits
2221a1i 11 . . 3 bits
23 simpr 461 . . 3
24 indfval 27698 . . 3 bits 𝟭bits bits
2515, 22, 23, 24syl3anc 1228 . 2 𝟭bits bits
26 ffn 5731 . . . . . 6
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5
28 inss1 3718 . . . . . . . 8
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 27982 . . . . . . . . 9 bits
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 27974 . . . . . . . . . . 11
31 f1of 5816 . . . . . . . . . . 11
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3332ffvelrni 6020 . . . . . . . . 9 bits bits
3429, 33syl 16 . . . . . . . 8 bits
3528, 34sseldi 3502 . . . . . . 7 bits
3635adantr 465 . . . . . 6 bits
3736elpwid 4020 . . . . 5 bits
38 fvelimab 5923 . . . . 5 bits bits bits
3927, 37, 38sylancr 663 . . . 4 bits bits
40 nfv 1683 . . . . . . 7
41 nfre1 2925 . . . . . . 7 bits
4240, 41nfan 1875 . . . . . 6 bits
43 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . 11
444, 43eqsstri 3534 . . . . . . . . . 10
457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits bits
4746eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits bits
4847anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits bits
4948opabbidv 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
5114, 44ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 abid2 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits bits
53 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits
5452, 53eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits
5651, 55opabex3 6763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits
5845, 50, 29, 57fvmptd 5955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
59 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6259fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits bits
6361, 62eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
6460, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
6564cbvopabv 4516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
6658, 65syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits
6766eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 27976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968simp1bi 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 nn0ex 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7170, 14elmap 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7269, 71sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
73 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74 funres 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7572, 73, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 fssres 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7872, 44, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8079eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8178, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8281biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83 fvco 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 bits bits
8476, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits bits
85 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8685fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 bits bits
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits bits
8884, 87eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits bits
8988eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits bits
9089pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
9190opabbidv 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
9291eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
93 elopab 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits
95 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
96 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
9795, 96bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
98972exbii 1645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
99 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits bits
10099anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits bits
101100exbii 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
102 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
103 exdistr 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
104101, 102, 1033bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
10598, 104bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits
10694, 105syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits
10767, 106bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits
108107biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12 bits bits
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 bits bits
110 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
112 bitsss 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits
113112sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits
114113anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits
115114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits bits
116 opelxp 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1174, 5oddpwdcv 27962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
119 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120118, 119op2nd 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122118, 119op1st 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123121, 122oveq12i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124117, 123syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125116, 124sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126115, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
127111, 126eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits
128127ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits
129128anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits
130129reximdva 2938 . . . . . . . . . . . 12 bits bits bits
131130reximdva 2938 . . . . . . . . . . 11 bits bits bits
132109, 131mpd 15 . . . . . . . . . 10 bits bits
133 ssrexv 3565 . . . . . . . . . 10 bits bits
13444, 132, 133mpsyl 63 . . . . . . . . 9 bits bits
135134adantr 465 . . . . . . . 8 bits bits
136 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . 11
137136rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10 bits bits
138137adantl 466 . . . . . . . . 9 bits bits bits
139138rexbidv 2973 . . . . . . . 8 bits bits bits
140135, 139mpbid 210 . . . . . . 7 bits bits
141140adantllr 718 . . . . . 6 bits bits bits
142 simpr 461 . . . . . 6 bits bits
14342, 141, 142r19.29af 3001 . . . . 5 bits bits
144 simp-5l 767 . . . . . . . 8 bits bits
145 simpllr 758 . . . . . . . 8 bits bits
146 simplr 754 . . . . . . . . 9 bits bits bits
14775adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
14879eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
14978, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
150149biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12
151 fvco 5943 . . . . . . . . . . . 12 bits bits
152147, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 bits bits
153 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . 13
154153fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12 bits bits
155154adantl 466 . . . . . . . . . . 11 bits bits
156152, 155eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 bits bits
157144, 145, 156syl2anc 661 . . . . . . . . 9 bits bits bits bits
158146, 157eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8 bits bits bits
15958eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10 bits bits
160 opabid 4754 . . . . . . . . . 10 bits bits
161159, 160syl6bb 261 . . . . . . . . 9 bits bits
162161biimpar 485 . . . . . . . 8 bits bits
163144, 145, 158, 162syl12anc 1226 . . . . . . 7 bits bits bits
164 simpr 461 . . . . . . . 8 bits bits
16537ad4antr 731 . . . . . . . . 9 bits bits bits
166165, 163sseldd 3505 . . . . . . . 8 bits bits
167 opeq1 4213 . . . . . . . . . . . 12
168167eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11
169167fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12
170 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12
171169, 170eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11
172168, 171imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
173 opeq2 4214 . . . . . . . . . . . . 13
174173eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12
175173fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13
176 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . 14
177176oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13
178175, 177eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12
179174, 178imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
180179, 124chvarv 1983 . . . . . . . . . 10
181172, 180chvarv 1983 . . . . . . . . 9
182 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10
183182biimpa 484 . . . . . . . . 9
184181, 183sylan2 474 . . . . . . . 8
185164, 166, 184syl2anc 661 . . . . . . 7 bits bits
186 fveq2 5866 . . . . . . . . 9
187186eqeq1d 2469 . . . . . . . 8
188187rspcev 3214 . . . . . . 7 bits bits
189163, 185, 188syl2anc 661 . . . . . 6 bits bits bits
190 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11
191190eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10
192176oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11
193192eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10
194191, 193sylan9bb 699 . . . . . . . . 9
195 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
196195fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10
197196fveq2d 5870 . . . . . . . . 9 bits bits
198194, 197cbvrexdva2 3093 . . . . . . . 8 bits bits
199198cbvrexv 3089 . . . . . . 7 bits bits
200 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14
201 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . 15
202 nfre1 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits
203201, 202nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14 bits
204200, 203nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13 bits
205 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits
206 n0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits bits
207206adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits bits
208 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits bits
209 0bits 13948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits
210208, 209syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits
211207, 210nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits
21272ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
213212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 bits
214 elnn0 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
215213, 214sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 bits
216215orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 bits
217216orcanai 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bits
218211, 217mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits
21968simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
220219sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
221 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
222221notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
223222, 4elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
224223simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
225220, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
226225ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
227 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
228 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
22972, 227, 2283syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
230229imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
231 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
232230, 231syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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