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Theorem eulerpartlemgvv 28834
Description: Lemma for eulerpart 28840: value of the function  G evaluated (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, t, x, y, z   
f, o, r, A   
o, F    H, r    f, J    n, o, r, J, x, y    o, M    f, N    g, n, P    R, o    T, o   
t, A, n, x, y    B, n, t, x, y    n, F, t, x, y    t, J   
n, M, t, x, y    R, n    t, r, R, x, y    T, n, r, t, x, y
Allowed substitution hints:    A( z, g, k)    B( z, f, g, k, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, t, f, k, o, r)    R( z, f, g, k)    T( z, f, g, k)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)    J( z, g, k)    M( z, f, g, k, r)    N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
6 eulerpart.h . . . . 5  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
7 eulerpart.m . . . . 5  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
8 eulerpart.r . . . . 5  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
9 eulerpart.t . . . . 5  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
10 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 28831 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) )
1211fveq1d 5853 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A ) `  B )  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B ) )
1312adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B ) )
14 nnex 10584 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
16 imassrn 5170 . . . . 5  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  ran  F
174, 5oddpwdc 28812 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
18 f1of 5801 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 )
--> NN )
19 frn 5722 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  ran  F 
C_  NN )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  ran  F  C_  NN
2116, 20sstri 3453 . . . 4  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN )
23 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
24 indfval 28477 . . 3  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B
)  =  if ( B  e.  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
2515, 22, 23, 24syl3anc 1232 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B )  =  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
26 ffn 5716 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 ) )
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
28 inss1 3661 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  C_  ~P ( J  X.  NN0 )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 28833 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  e.  H )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 28825 . . . . . . . . . . 11  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
31 f1of 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M : H --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  M : H
--> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )
3332ffvelrni 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) )  e.  H  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3528, 34sseldi 3442 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 )
)
3736elpwid 3967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
38 fvelimab 5907 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
3927, 37, 38sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
40 ssrab2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
414, 40eqsstri 3474 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  NN
427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } ) )
43 fveq1 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( r `  x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) )
4443eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( y  e.  ( r `  x
)  <->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )
4544anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
4645opabbidv 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4814, 41ssexi 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  e. 
_V
49 abid2 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )
50 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  e.  _V
5149, 50eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  J  ->  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V )
5348, 52opabex3 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V )
5542, 47, 29, 54fvmptd 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
56 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  x  =  t )
5756eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( x  e.  J  <->  t  e.  J ) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  y  =  n )
5956fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) )
6058, 59eleq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  <->  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) )
6157, 60anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )  <-> 
( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) ) )
6261cbvopabv 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }
6355, 62syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } )
6463eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  w  e.  {
<. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } ) )
651, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 28827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
6665simp1bi 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
67 nn0ex 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN0  e.  _V
6867, 14elmap 7487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
6966, 68sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
70 ffun 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
71 funres 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
74 fssres 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( A  |`  J ) : J --> NN0 )
7569, 41, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  |`  J ) : J --> NN0 )
76 fdm 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  dom  ( A  |`  J )  =  J )
7776eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7875, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7978biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )
80 fvco 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
8173, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
82 fvres 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 t )  =  ( A `  t
) )
8382fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t
) )  =  (bits `  ( A `  t
) ) )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8581, 84eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8685eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t )  <->  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
8786pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) )  <->  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) )
8887opabbidv 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) } )
8988eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) } ) )
90 elopab 4700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) }  <->  E. t E. n ( w  = 
<. t ,  n >.  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
9189, 90syl6bb 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t E. n
( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) ) )
92 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
93 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
9492, 93bitri 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
95942exbii 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
96 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. n
( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
9796anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
9897exbii 1690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  E. t ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
99 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
100 exdistr 1802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10198, 99, 1003bitr4i 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10295, 101bitr4i 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
10391, 102syl6bb 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
10464, 103bitrd 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. ) )
105104biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
106105adantlr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. )
107 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. t ,  n >. ) )
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 <. t ,  n >. ) )
109 bitsss 14287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
110109sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
111110anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
112111ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
113 opelxp 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
1144, 5oddpwdcv 28813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
115 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  t  e. 
_V
116 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  n  e. 
_V
117115, 116op2nd 6795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
118117oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
119115, 116op1st 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
120118, 119oveq12i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
121114, 120syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
122113, 121sylbir 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
123112, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
124108, 123eqtr2d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) )
125124ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( w  = 
<. t ,  n >.  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) ) )
126125anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( w  =  <. t ,  n >.  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
127126reximdva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
128127reximdva 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
129106, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) )
130 ssrexv 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( J 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
13141, 129, 130mpsyl 64 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
132131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
133 eqeq2 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
134133rexbidv 2920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
)  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
135134adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
136135rexbidv 2920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
137132, 136mpbid 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
138137r19.29an 2950 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )
139 simp-5l 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  A  e.  ( T  i^i  R ) )
140 simpllr 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  x  e.  J )
141 simplr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )
14272adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
14376eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
14475, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
145144biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )
146 fvco 5927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
147142, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
148 fvres 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
149148fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x
) )  =  (bits `  ( A `  x
) ) )
150149adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
151147, 150eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
152139, 140, 151syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  =  (bits `  ( A `  x )
) )
153141, 152eleqtrrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )
15455eleq2d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } ) )
155 opabid 4699 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) }  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) )
156154, 155syl6bb 263 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
157156biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
158139, 140, 153, 157syl12anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
159 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B )
16037ad4antr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
161160, 158sseldd 3445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
162 opeq1 4161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  <. t ,  y >.  =  <. x ,  y >. )
163162eleq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  ( <. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
164162fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  ( F `  <. t ,  y >. )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
165 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ y
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
166164, 165eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  <. t ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  x ) ) )
167163, 166imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) ) )
168 opeq2 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  <. t ,  n >.  =  <. t ,  y >. )
169168eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  ( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
170168fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( F `  <. t ,  y >. )
)
171 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ y ) )
172171oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
173170, 172eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  <->  ( F `  <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) )
174169, 173imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )  <-> 
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) ) )
175174, 121chvarv 2043 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
176167, 175chvarv 2043 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
177 eqeq2 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
) )
178177biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
179176, 178sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
180159, 161, 179syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
)
181 fveq2 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
182181eqeq1d 2406 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  =  B  <->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  B ) )
183182rspcev 3162 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
184158, 180, 183syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
185 oveq2 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  x ) )
186185eqeq1d 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  B  <->  ( (
2 ^ n )  x.  x )  =  B ) )
187171oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
188187eqeq1d 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  x
)  =  B  <->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
189186, 188sylan9bb 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <-> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B ) )
190 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  t  =  x )
191190fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( A `  t
)  =  ( A `
 x ) )
192191fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  (bits `  ( A `  t ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
193189, 192cbvrexdva2 3041 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
194193cbvrexv 3037 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
195 nfv 1730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  A  e.  ( T  i^i  R )
196 nfv 1730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  NN
197 nfre1 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B
198196, 197nfan 1958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
199195, 198nfan 1958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
200 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  NN )
201 n0i 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  (bits `  ( A `  x )
)  ->  -.  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
202201adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  (bits `  ( A `  x ) )  =  (/) )
203 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (bits `  0 ) )
204 0bits 14300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
205203, 204syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
206202, 205nsyl 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  ( A `  x
)  =  0 )
20769ffvelrnda 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( A `  x
)  e.  NN0 )
208207adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN0 )
209 elnn0 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  x )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 x )  e.  NN  \/  ( A `
 x )  =  0 ) )
210208, 209sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  e.  NN  \/  ( A `  x
)  =  0 ) )
211210orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  =  0  \/  ( A `  x )  e.  NN ) )
212211orcanai 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  -.  ( A `
 x )  =  0 )  ->  ( A `  x )  e.  NN )
213206, 212mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN )
21465simp3bi 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
215214sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  n  e.  J
)
216 breq2 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
217216notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
218217, 4elrab2 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
219218simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  J  ->  -.  2  ||  n )
220215, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  2  ||  n )
221220ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n )
222 ffn 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
223 elpreima 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
n  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN ) ) )
22469, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( n  e.  ( `' A " NN )  <->  ( n  e.  NN  /\  ( A `
 n )  e.  NN ) ) )
225224imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( (
n  e.  NN  /\  ( A `  n )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n ) ) )
226 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
227225, 226syl6bb 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) ) )
228227ralbidv2 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
229221, 228mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) )
230 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  ( A `  x )  =  ( A `  n ) )
231230eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  (
( A `  x
)  e.  NN  <->  ( A `  n )  e.  NN ) )
232 breq2 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  n ) )
233232notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  n ) )
234231, 233imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
)  <->  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
235234cbvralv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  NN  (
( A `  x
)  e.  NN  ->  -.  2  ||  x )  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n
) )
236229, 235sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. x  e.  NN  ( ( A `
 x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x ) )
237236r19.21bi 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
) )
238237imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  ( A `  x )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  x )
239213, 238syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  2  ||  x )
240 breq2 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
241240notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
242241, 4elrab2 3211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
243200, 239, 242sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
244243adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
245244adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B )  ->  x  e.  J
)
246 simprr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
247199, 245, 246r19.29af 2949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  x  e.  J )
248247, 246jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  -> 
( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
249248ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) ) )
250249reximdv2 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
251250imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x )
) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )
252251adantlr 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
253194, 252sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
254184, 253r19.29vva 2953 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B )
255138, 254impbida 835 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
25639, 255bitrd 255 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
257256ifbid 3909 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
25813, 25, 2573eqtrd 2449 1  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   ~Pcpw 3957   <.cop 3980   class class class wbr 4397   {copab 4454    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828    o. ccom 4829   Fun wfun 5565    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   1stc1st 6784   2ndc2nd 6785   supp csupp 6904    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529    <_ cle 9661   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   sum_csu 13659    || cdvds 14197  bitscbits 14280  𝟭cind 28471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-dvds 14198  df-bits 14283  df-ind 28472
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