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Theorem eulerpartlemgvv 27983
Description: Lemma for eulerpart 27989: value of the function  G evaluated (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, t, x, y, z   
f, o, r, A   
o, F    H, r    f, J    n, o, r, J, x, y    o, M    f, N    g, n, P    R, o    T, o   
t, A, n, x, y    B, n, t, x, y    n, F, t, x, y    t, J   
n, M, t, x, y    R, n    t, r, R, x, y    T, n, r, t, x, y
Allowed substitution hints:    A( z, g, k)    B( z, f, g, k, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, t, f, k, o, r)    R( z, f, g, k)    T( z, f, g, k)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)    J( z, g, k)    M( z, f, g, k, r)    N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
6 eulerpart.h . . . . 5  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
7 eulerpart.m . . . . 5  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
8 eulerpart.r . . . . 5  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
9 eulerpart.t . . . . 5  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
10 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 27980 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) )
1211fveq1d 5868 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A ) `  B )  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B ) )
1312adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B ) )
14 nnex 10542 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
16 imassrn 5348 . . . . 5  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  ran  F
174, 5oddpwdc 27961 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
18 f1of 5816 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 )
--> NN )
19 frn 5737 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  ran  F 
C_  NN )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  ran  F  C_  NN
2116, 20sstri 3513 . . . 4  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN )
23 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
24 indfval 27698 . . 3  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B
)  =  if ( B  e.  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
2515, 22, 23, 24syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B )  =  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
26 ffn 5731 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 ) )
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
28 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  C_  ~P ( J  X.  NN0 )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 27982 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  e.  H )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 27974 . . . . . . . . . . 11  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
31 f1of 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M : H --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  M : H
--> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )
3332ffvelrni 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) )  e.  H  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3528, 34sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 )
)
3736elpwid 4020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
38 fvelimab 5923 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
3927, 37, 38sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
40 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ w
( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )
41 nfre1 2925 . . . . . . 7  |-  F/ w E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B
4240, 41nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ w
( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
43 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
444, 43eqsstri 3534 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  NN
457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } ) )
46 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( r `  x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) )
4746eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( y  e.  ( r `  x
)  <->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
4948opabbidv 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
5114, 44ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e. 
_V
52 abid2 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )
53 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  e.  _V
5452, 53eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  J  ->  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V )
5651, 55opabex3 6763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V )
5845, 50, 29, 57fvmptd 5955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
59 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  x  =  t )
6059eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( x  e.  J  <->  t  e.  J ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  y  =  n )
6259fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) )
6361, 62eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  <->  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) )
6460, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )  <-> 
( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) ) )
6564cbvopabv 4516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }
6658, 65syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } )
6766eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  w  e.  {
<. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 27976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
6968simp1bi 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
70 nn0ex 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN0  e.  _V
7170, 14elmap 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
7269, 71sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
73 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
74 funres 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7572, 73, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
77 fssres 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( A  |`  J ) : J --> NN0 )
7872, 44, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  |`  J ) : J --> NN0 )
79 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  dom  ( A  |`  J )  =  J )
8079eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
8178, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
8281biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )
83 fvco 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
8476, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
85 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 t )  =  ( A `  t
) )
8685fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t
) )  =  (bits `  ( A `  t
) ) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8884, 87eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8988eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t )  <->  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9089pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) )  <->  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) )
9190opabbidv 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) } )
9291eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) } ) )
93 elopab 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) }  <->  E. t E. n ( w  = 
<. t ,  n >.  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t E. n
( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) ) )
95 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
96 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
9795, 96bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
98972exbii 1645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
99 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. n
( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
10099anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
101100exbii 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  E. t ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
102 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
103 exdistr 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
104101, 102, 1033bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10598, 104bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
10694, 105syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
10767, 106bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. ) )
108107biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. )
110 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. t ,  n >. ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 <. t ,  n >. ) )
112 bitsss 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
113112sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
114113anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
115114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
116 opelxp 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
1174, 5oddpwdcv 27962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
118 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  t  e. 
_V
119 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  n  e. 
_V
120118, 119op2nd 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
121120oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
122118, 119op1st 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
123121, 122oveq12i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
124117, 123syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
125116, 124sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
126115, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
127111, 126eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) )
128127ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( w  = 
<. t ,  n >.  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) ) )
129128anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( w  =  <. t ,  n >.  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
130129reximdva 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
131130reximdva 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
132109, 131mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) )
133 ssrexv 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( J 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
13444, 132, 133mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
135134adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
136 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
137136rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
)  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
138137adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
139138rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
140135, 139mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
141140adantllr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w
)  =  B )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
142 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
14342, 141, 142r19.29af 3001 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )
144 simp-5l 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  A  e.  ( T  i^i  R ) )
145 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  x  e.  J )
146 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )
14775adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
14879eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
14978, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
150149biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )
151 fvco 5943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
152147, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
153 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
154153fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x
) )  =  (bits `  ( A `  x
) ) )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
156152, 155eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
157144, 145, 156syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  =  (bits `  ( A `  x )
) )
158146, 157eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )
15958eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } ) )
160 opabid 4754 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) }  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) )
161159, 160syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
162161biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
163144, 145, 158, 162syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
164 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B )
16537ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
166165, 163sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
167 opeq1 4213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  <. t ,  y >.  =  <. x ,  y >. )
168167eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  ( <. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
169167fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  ( F `  <. t ,  y >. )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
170 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ y
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
171169, 170eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  <. t ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  x ) ) )
172168, 171imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) ) )
173 opeq2 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  <. t ,  n >.  =  <. t ,  y >. )
174173eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  ( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
175173fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( F `  <. t ,  y >. )
)
176 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ y ) )
177176oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
178175, 177eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  <->  ( F `  <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) )
179174, 178imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )  <-> 
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) ) )
180179, 124chvarv 1983 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
181172, 180chvarv 1983 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
182 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
) )
183182biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
184181, 183sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
185164, 166, 184syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
)
186 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
187186eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  =  B  <->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  B ) )
188187rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
189163, 185, 188syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
190 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  x ) )
191190eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  B  <->  ( (
2 ^ n )  x.  x )  =  B ) )
192176oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
193192eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  x
)  =  B  <->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
194191, 193sylan9bb 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <-> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B ) )
195 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  t  =  x )
196195fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( A `  t
)  =  ( A `
 x ) )
197196fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  (bits `  ( A `  t ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
198194, 197cbvrexdva2 3093 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
199198cbvrexv 3089 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
200 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  A  e.  ( T  i^i  R )
201 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  NN
202 nfre1 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B
203201, 202nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
204200, 203nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
205 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  NN )
206 n0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  (bits `  ( A `  x )
)  ->  -.  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
207206adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  (bits `  ( A `  x ) )  =  (/) )
208 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (bits `  0 ) )
209 0bits 13948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
210208, 209syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
211207, 210nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  ( A `  x
)  =  0 )
21272ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( A `  x
)  e.  NN0 )
213212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN0 )
214 elnn0 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  x )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 x )  e.  NN  \/  ( A `
 x )  =  0 ) )
215213, 214sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  e.  NN  \/  ( A `  x
)  =  0 ) )
216215orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  =  0  \/  ( A `  x )  e.  NN ) )
217216orcanai 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  -.  ( A `
 x )  =  0 )  ->  ( A `  x )  e.  NN )
218211, 217mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN )
21968simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
220219sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  n  e.  J
)
221 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
222221notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
223222, 4elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
224223simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  J  ->  -.  2  ||  n )
225220, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  2  ||  n )
226225ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n )
227 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
228 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
n  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN ) ) )
22972, 227, 2283syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( n  e.  ( `' A " NN )  <->  ( n  e.  NN  /\  ( A `
 n )  e.  NN ) ) )
230229imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( (
n  e.  NN  /\  ( A `  n )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n ) ) )
231 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
232230, 231syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) ) )
233232ralbidv2 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
234226, 233mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) )
235 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  ( A `  x )  =  ( A `  n ) )
236235eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  (
( A `  x
)  e.  NN  <->  ( A `  n )  e.  NN ) )
237 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  n ) )
238237notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  n ) )
239236, 238imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
)  <->  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
240239cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  NN  (
( A `  x
)  e.  NN  ->  -.  2  ||  x )  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n
) )
241234, 240sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. x  e.  NN  ( ( A `
 x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x ) )
242241r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
) )
243242imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  ( A `  x )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  x )
244218, 243syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  2  ||  x )
245 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
246245notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
247246, 4elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
248205, 244, 247sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
249248adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
250249adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B )  ->  x  e.  J
)
251 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
252204, 250, 251r19.29af 3001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  x  e.  J )
253252, 251jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  -> 
( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
254253ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) ) )
255254reximdv2 2934 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
256255imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x )
) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )
257256adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
258199, 257sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
259189, 258r19.29_2a 3005 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B )
260143, 259impbida 830 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
26139, 260bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
262261ifbid 3961 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
26313, 25, 2623eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ^cexp 12134   sum_csu 13471    || cdivides 13847  bitscbits 13928  𝟭cind 27692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-bits 13931  df-ind 27693
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