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Theorem eulerpartlemgvv 29209
Description: Lemma for eulerpart 29215: value of the function  G evaluated. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, t, x, y, z   
f, o, r, A   
o, F    H, r    f, J    n, o, r, J, x, y    o, M    f, N    g, n, P    R, o    T, o   
t, A, n, x, y    B, n, t, x, y    n, F, t, x, y    t, J   
n, M, t, x, y    R, n    t, r, R, x, y    T, n, r, t, x, y
Allowed substitution hints:    A( z, g, k)    B( z, f, g, k, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, t, f, k, o, r)    R( z, f, g, k)    T( z, f, g, k)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)    J( z, g, k)    M( z, f, g, k, r)    N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
6 eulerpart.h . . . . 5  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
7 eulerpart.m . . . . 5  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
8 eulerpart.r . . . . 5  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
9 eulerpart.t . . . . 5  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
10 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 29206 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) )
1211fveq1d 5867 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A ) `  B )  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B ) )
1312adantr 467 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B ) )
14 nnex 10615 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
16 imassrn 5179 . . . . 5  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  ran  F
174, 5oddpwdc 29187 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
18 f1of 5814 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 )
--> NN )
19 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  ran  F 
C_  NN )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  ran  F  C_  NN
2116, 20sstri 3441 . . . 4  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN )
23 simpr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
24 indfval 28838 . . 3  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B
)  =  if ( B  e.  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
2515, 22, 23, 24syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B )  =  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
26 ffn 5728 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 ) )
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
28 inss1 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  C_  ~P ( J  X.  NN0 )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 29208 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  e.  H )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 29200 . . . . . . . . . . 11  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
31 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M : H --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  M : H
--> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )
3332ffvelrni 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) )  e.  H  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3528, 34sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 ) )
3635adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 )
)
3736elpwid 3961 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
38 fvelimab 5921 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
3927, 37, 38sylancr 669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
40 ssrab2 3514 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
414, 40eqsstri 3462 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  NN
427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } ) )
43 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( r `  x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) )
4443eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( y  e.  ( r `  x
)  <->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )
4544anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
4645opabbidv 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4814, 41ssexi 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  e. 
_V
49 abid2 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )
50 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  e.  _V
5149, 50eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  J  ->  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V )
5348, 52opabex3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V )
5542, 47, 29, 54fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
56 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  x  =  t )
5756eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( x  e.  J  <->  t  e.  J ) )
58 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  y  =  n )
5956fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) )
6058, 59eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  <->  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) )
6157, 60anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )  <-> 
( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) ) )
6261cbvopabv 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }
6355, 62syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } )
6463eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  w  e.  {
<. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } ) )
651, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 29202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
6665simp1bi 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
67 nn0ex 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN0  e.  _V
6867, 14elmap 7500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
6966, 68sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
70 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
71 funres 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
74 fssres 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( A  |`  J ) : J --> NN0 )
7569, 41, 74sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  |`  J ) : J --> NN0 )
76 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  dom  ( A  |`  J )  =  J )
7776eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7875, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7978biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )
80 fvco 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
8173, 79, 80syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
82 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 t )  =  ( A `  t
) )
8382fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t
) )  =  (bits `  ( A `  t
) ) )
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8581, 84eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8685eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t )  <->  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
8786pm5.32da 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) )  <->  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) )
8887opabbidv 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) } )
8988eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) } ) )
90 elopab 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) }  <->  E. t E. n ( w  = 
<. t ,  n >.  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
9189, 90syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t E. n
( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) ) )
92 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
93 anass 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
9492, 93bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
95942exbii 1719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
96 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. n
( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
9796anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
9897exbii 1718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  E. t ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
99 df-rex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
100 exdistr 1835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10198, 99, 1003bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10295, 101bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
10391, 102syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
10464, 103bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. ) )
105104biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
106105adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. )
107 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. t ,  n >. ) )
108107adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 <. t ,  n >. ) )
109 bitsss 14399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
110109sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
111110anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
112111ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
113 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
1144, 5oddpwdcv 29188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
115 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  t  e. 
_V
116 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  n  e. 
_V
117115, 116op2nd 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
118117oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
119115, 116op1st 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
120118, 119oveq12i 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
121114, 120syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
122113, 121sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
123112, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
124108, 123eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) )
125124ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( w  = 
<. t ,  n >.  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) ) )
126125anassrs 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( w  =  <. t ,  n >.  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
127126reximdva 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
128127reximdva 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
129106, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) )
130 ssrexv 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( J 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
13141, 129, 130mpsyl 65 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
132131adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
133 eqeq2 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
134133rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
)  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
135134adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
136135rexbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
137132, 136mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
138137r19.29an 2931 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )
139 simp-5l 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  A  e.  ( T  i^i  R ) )
140 simpllr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  x  e.  J )
141 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )
14272adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
14376eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
14475, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
145144biimpar 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )
146 fvco 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
147142, 145, 146syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
148 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
149148fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x
) )  =  (bits `  ( A `  x
) ) )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
151147, 150eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
152139, 140, 151syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  =  (bits `  ( A `  x )
) )
153141, 152eleqtrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )
15455eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } ) )
155 opabid 4708 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) }  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) )
156154, 155syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
157156biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
158139, 140, 153, 157syl12anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
159 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B )
16037ad4antr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
161160, 158sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
162 opeq1 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  <. t ,  y >.  =  <. x ,  y >. )
163162eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  ( <. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
164162fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  ( F `  <. t ,  y >. )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
165 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ y
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
166164, 165eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  <. t ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  x ) ) )
167163, 166imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) ) )
168 opeq2 4167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  <. t ,  n >.  =  <. t ,  y >. )
169168eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  ( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
170168fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( F `  <. t ,  y >. )
)
171 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ y ) )
172171oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
173170, 172eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  <->  ( F `  <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) )
174169, 173imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )  <-> 
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) ) )
175174, 121chvarv 2107 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
176167, 175chvarv 2107 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
177 eqeq2 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
) )
178177biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
179176, 178sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
180159, 161, 179syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
)
181 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
182181eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  =  B  <->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  B ) )
183182rspcev 3150 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
184158, 180, 183syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
185 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  x ) )
186185eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  B  <->  ( (
2 ^ n )  x.  x )  =  B ) )
187171oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
188187eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  x
)  =  B  <->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
189186, 188sylan9bb 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <-> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B ) )
190 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  t  =  x )
191190fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( A `  t
)  =  ( A `
 x ) )
192191fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  (bits `  ( A `  t ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
193189, 192cbvrexdva2 3024 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
194193cbvrexv 3020 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
195 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  A  e.  ( T  i^i  R )
196 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  NN
197 nfre1 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B
198196, 197nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
199195, 198nfan 2011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
200 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  NN )
201 n0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  (bits `  ( A `  x )
)  ->  -.  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
202201adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  (bits `  ( A `  x ) )  =  (/) )
203 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (bits `  0 ) )
204 0bits 14413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
205203, 204syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
206202, 205nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  ( A `  x
)  =  0 )
20769ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( A `  x
)  e.  NN0 )
208207adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN0 )
209 elnn0 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  x )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 x )  e.  NN  \/  ( A `
 x )  =  0 ) )
210208, 209sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  e.  NN  \/  ( A `  x
)  =  0 ) )
211210orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  =  0  \/  ( A `  x )  e.  NN ) )
212211orcanai 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  -.  ( A `
 x )  =  0 )  ->  ( A `  x )  e.  NN )
213206, 212mpdan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN )
21465simp3bi 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
215214sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  n  e.  J
)
216 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
217216notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
218217, 4elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
219218simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  J  ->  -.  2  ||  n )
220215, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  2  ||  n )
221220ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n )
222 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
223 elpreima 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
n  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN ) ) )
22469, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( n  e.  ( `' A " NN )  <->  ( n  e.  NN  /\  ( A `
 n )  e.  NN ) ) )
225224imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( (
n  e.  NN  /\  ( A `  n )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n ) ) )
226 impexp 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
227225, 226syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) ) )
228227ralbidv2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
229221, 228mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) )
230 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  ( A `  x )  =  ( A `  n ) )
231230eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  (
( A `  x
)  e.  NN  <->  ( A `  n )  e.  NN ) )
232 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  n ) )
233232notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  n ) )
234231, 233imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
)  <->  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
235234cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  NN  (
( A `  x
)  e.  NN  ->  -.  2  ||  x )  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n
) )
236229, 235sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. x  e.  NN  ( ( A `
 x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x ) )
237236r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
) )
238237imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  ( A `  x )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  x )
239213, 238syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  2  ||  x )
240 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
241240notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
242241, 4elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
243200, 239, 242sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
244243adantlrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
245244adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B )  ->  x  e.  J
)
246 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
247199, 245, 246r19.29af 2930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  x  e.  J )
248247, 246jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  -> 
( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
249248ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) ) )
250249reximdv2 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
251250imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x )
) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )
252251adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
253194, 252sylan2b 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
254184, 253r19.29vva 2934 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B )
255138, 254impbida 843 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
25639, 255bitrd 257 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
257256ifbid 3903 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
25813, 25, 2573eqtrd 2489 1  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837    o. ccom 4838   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   supp csupp 6914    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    <_ cle 9676   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ^cexp 12272   sum_csu 13752    || cdvds 14305  bitscbits 14392  𝟭cind 28832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-bits 14395  df-ind 28833
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  29213
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