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Theorem eulerpartlemgvv 26781
Description: Lemma for eulerpart 26787: value of the function  G evaluated (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, t, x, y, z   
f, o, r, A   
o, F    H, r    f, J    n, o, r, J, x, y    o, M    f, N    g, n, P    R, o    T, o   
t, A, n, x, y    B, n, t, x, y    n, F, t, x, y    t, J   
n, M, t, x, y    R, n    t, r, R, x, y    T, n, r, t, x, y
Allowed substitution hints:    A( z, g, k)    B( z, f, g, k, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, t, f, k, o, r)    R( z, f, g, k)    T( z, f, g, k)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)    J( z, g, k)    M( z, f, g, k, r)    N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
6 eulerpart.h . . . . 5  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
7 eulerpart.m . . . . 5  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
8 eulerpart.r . . . . 5  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
9 eulerpart.t . . . . 5  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
10 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 26778 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) )
1211fveq1d 5714 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A ) `  B )  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B ) )
1312adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B ) )
14 nnex 10349 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
16 imassrn 5201 . . . . 5  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  ran  F
174, 5oddpwdc 26759 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
18 f1of 5662 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 )
--> NN )
19 frn 5586 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  ran  F 
C_  NN )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  ran  F  C_  NN
2116, 20sstri 3386 . . . 4  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN )
23 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
24 indfval 26495 . . 3  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B
)  =  if ( B  e.  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
2515, 22, 23, 24syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B )  =  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
26 ffn 5580 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 ) )
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
28 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  C_  ~P ( J  X.  NN0 )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 26780 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  e.  H )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 26772 . . . . . . . . . . 11  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
31 f1of 5662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M : H --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  M : H
--> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )
3332ffvelrni 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) )  e.  H  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3528, 34sseldi 3375 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 )
)
3736elpwid 3891 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
38 fvelimab 5768 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
3927, 37, 38sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
40 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ w
( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )
41 nfre1 2793 . . . . . . 7  |-  F/ w E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B
4240, 41nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ w
( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
43 ssrab2 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
444, 43eqsstri 3407 . . . . . . . . . 10  |-  J  C_  NN
457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } ) )
46 fveq1 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( r `  x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) )
4746eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( y  e.  ( r `  x
)  <->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
4948opabbidv 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
5114, 44ssexi 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e. 
_V
52 abid2 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )
53 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  e.  _V
5452, 53eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  J  ->  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V )
5651, 55opabex3 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V )
5845, 50, 29, 57fvmptd 5800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
59 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  x  =  t )
6059eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( x  e.  J  <->  t  e.  J ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  y  =  n )
6259fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) )
6361, 62eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  <->  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) )
6460, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )  <-> 
( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) ) )
6564cbvopabv 4382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }
6658, 65syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } )
6766eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  w  e.  {
<. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } ) )
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 26774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
6968simp1bi 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
70 nn0ex 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN0  e.  _V
7170, 14elmap 7262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
7269, 71sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
73 ffun 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
74 funres 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7572, 73, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
77 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( A  |`  J ) : J --> NN0 )
7872, 44, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  |`  J ) : J --> NN0 )
79 fdm 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  dom  ( A  |`  J )  =  J )
8079eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
8178, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
8281biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )
83 fvco 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
8476, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
85 fvres 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 t )  =  ( A `  t
) )
8685fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t
) )  =  (bits `  ( A `  t
) ) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8884, 87eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8988eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t )  <->  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9089pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) )  <->  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) )
9190opabbidv 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) } )
9291eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) } ) )
93 elopab 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) }  <->  E. t E. n ( w  = 
<. t ,  n >.  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t E. n
( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) ) )
95 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
96 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
9795, 96bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
98972exbii 1635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
99 df-rex 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. n
( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
10099anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
101100exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  E. t ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
102 df-rex 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
103 exdistr 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
104101, 102, 1033bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10598, 104bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
10694, 105syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
10767, 106bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. ) )
108107biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. )
110 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. t ,  n >. ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 <. t ,  n >. ) )
112 bitsss 13643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
113112sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
114113anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
115114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
116 opelxp 4890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
1174, 5oddpwdcv 26760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
118 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  t  e. 
_V
119 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  n  e. 
_V
120118, 119op2nd 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
121120oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
122118, 119op1st 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
123121, 122oveq12i 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
124117, 123syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
125116, 124sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
126115, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
127111, 126eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) )
128127ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( w  = 
<. t ,  n >.  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) ) )
129128anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( w  =  <. t ,  n >.  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
130129reximdva 2849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
131130reximdva 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
132109, 131mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) )
133 ssrexv 3438 . . . . . . . . . 10  |-  ( J 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
13444, 132, 133mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
135134adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
136 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
137136rexbidv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
)  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
138137adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
139138rexbidv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
140135, 139mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
141140adantllr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w
)  =  B )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
142 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
14342, 141, 142r19.29af 2882 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )
144 simp-5l 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  A  e.  ( T  i^i  R ) )
145 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  x  e.  J )
146 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )
14775adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
14879eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
14978, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
150149biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )
151 fvco 5788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
152147, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
153 fvres 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
154153fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x
) )  =  (bits `  ( A `  x
) ) )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
156152, 155eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
157144, 145, 156syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  =  (bits `  ( A `  x )
) )
158146, 157eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )
15958eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } ) )
160 opabid 4617 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) }  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) )
161159, 160syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
162161biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
163144, 145, 158, 162syl12anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
164 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B )
16537ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
166165, 163sseldd 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
167 opeq1 4080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  <. t ,  y >.  =  <. x ,  y >. )
168167eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  ( <. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
169167fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  ( F `  <. t ,  y >. )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
170 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ y
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
171169, 170eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  <. t ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  x ) ) )
172168, 171imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) ) )
173 opeq2 4081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  <. t ,  n >.  =  <. t ,  y >. )
174173eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  ( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
175173fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( F `  <. t ,  y >. )
)
176 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ y ) )
177176oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
178175, 177eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  <->  ( F `  <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) )
179174, 178imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )  <-> 
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) ) )
180179, 124chvarv 1958 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
181172, 180chvarv 1958 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
182 eqeq2 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
) )
183182biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
184181, 183sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
185164, 166, 184syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
)
186 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
187186eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  =  B  <->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  B ) )
188187rspcev 3094 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
189163, 185, 188syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
190 oveq2 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  x ) )
191190eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  B  <->  ( (
2 ^ n )  x.  x )  =  B ) )
192176oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
193192eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  x
)  =  B  <->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
194191, 193sylan9bb 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <-> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B ) )
195 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  t  =  x )
196195fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( A `  t
)  =  ( A `
 x ) )
197196fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  (bits `  ( A `  t ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
198194, 197cbvrexdva2 2973 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
199198cbvrexv 2969 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
200 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  A  e.  ( T  i^i  R )
201 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  NN
202 nfre1 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B
203201, 202nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
204200, 203nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
205 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  NN )
206 n0i 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  (bits `  ( A `  x )
)  ->  -.  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
207206adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  (bits `  ( A `  x ) )  =  (/) )
208 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (bits `  0 ) )
209 0bits 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
210208, 209syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
211207, 210nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  ( A `  x
)  =  0 )
21272ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( A `  x
)  e.  NN0 )
213212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN0 )
214 elnn0 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  x )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 x )  e.  NN  \/  ( A `
 x )  =  0 ) )
215213, 214sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  e.  NN  \/  ( A `  x
)  =  0 ) )
216215orcomd 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  =  0  \/  ( A `  x )  e.  NN ) )
217216orcanai 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  -.  ( A `
 x )  =  0 )  ->  ( A `  x )  e.  NN )
218211, 217mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN )
21968simp3bi 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
220219sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  n  e.  J
)
221 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
222221notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
223222, 4elrab2 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
224223simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  J  ->  -.  2  ||  n )
225220, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  2  ||  n )
226225ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n )
227 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
228 elpreima 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
n  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN ) ) )
22972, 227, 2283syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( n  e.  ( `' A " NN )  <->  ( n  e.  NN  /\  ( A `
 n )  e.  NN ) ) )
230229imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( (
n  e.  NN  /\  ( A `  n )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n ) ) )
231 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
232230, 231syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) ) )
233232ralbidv2 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
234226, 233mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) )
235 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  ( A `  x )  =  ( A `  n ) )
236235eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  (
( A `  x
)  e.  NN  <->  ( A `  n )  e.  NN ) )
237 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  n ) )
238237notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  n ) )
239236, 238imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
)  <->  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
240239cbvralv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  NN  (
( A `  x
)  e.  NN  ->  -.  2  ||  x )  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n
) )
241234, 240sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. x  e.  NN  ( ( A `
 x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x ) )
242241r19.21bi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
) )
243242imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  ( A `  x )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  x )
244218, 243syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  2  ||  x )
245 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
246245notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
247246, 4elrab2 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
248205, 244, 247sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
249248adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
250249adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B )  ->  x  e.  J
)
251 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
252204, 250, 251r19.29af 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  x  e.  J )
253252, 251jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  -> 
( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
254253ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) ) )
255254reximdv2 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
256255imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x )
) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )
257256adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
258199, 257sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
259189, 258r19.29_2a 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B )
260143, 259impbida 828 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
26139, 260bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
262261ifbid 3832 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
26313, 25, 2623eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ifcif 3812   ~Pcpw 3881   <.cop 3904   class class class wbr 4313   {copab 4370    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   "cima 4864    o. ccom 4865   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   1stc1st 6596   2ndc2nd 6597   supp csupp 6711    ^m cmap 7235   Fincfn 7331   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    <_ cle 9440   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ^cexp 11886   sum_csu 13184    || cdivides 13556  bitscbits 13636  𝟭cind 26489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-dvds 13557  df-bits 13639  df-ind 26490
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  26785
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