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Theorem eulerpartlemgvv 29211
Description: Lemma for eulerpart 29217: value of the function  G evaluated (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, t, x, y, z   
f, o, r, A   
o, F    H, r    f, J    n, o, r, J, x, y    o, M    f, N    g, n, P    R, o    T, o   
t, A, n, x, y    B, n, t, x, y    n, F, t, x, y    t, J   
n, M, t, x, y    R, n    t, r, R, x, y    T, n, r, t, x, y
Allowed substitution hints:    A( z, g, k)    B( z, f, g, k, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, t, f, k, o, r)    R( z, f, g, k)    T( z, f, g, k)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, n, o)    J( z, g, k)    M( z, f, g, k, r)    N( x, y, z, t, g, k, n, o, r)    O( x, y, z, t, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . . . 5  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . . . 5  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
6 eulerpart.h . . . . 5  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
7 eulerpart.m . . . . 5  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
8 eulerpart.r . . . . 5  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
9 eulerpart.t . . . . 5  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
10 eulerpart.g . . . . 5  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 29208 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) )
1211fveq1d 5881 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A ) `  B )  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B ) )
1312adantr 467 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B ) )
14 nnex 10617 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
16 imassrn 5196 . . . . 5  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  ran  F
174, 5oddpwdc 29189 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
18 f1of 5829 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 )
--> NN )
19 frn 5750 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  ran  F 
C_  NN )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . 5  |-  ran  F  C_  NN
2116, 20sstri 3474 . . . 4  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN )
23 simpr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
24 indfval 28840 . . 3  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `  B
)  =  if ( B  e.  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
2515, 22, 23, 24syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ) `
 B )  =  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
26 ffn 5744 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) --> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 ) )
2717, 18, 26mp2b 10 . . . . 5  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
28 inss1 3683 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  C_  ~P ( J  X.  NN0 )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 29210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  e.  H )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 29202 . . . . . . . . . . 11  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
31 f1of 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M : H --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  M : H
--> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )
3332ffvelrni 6034 . . . . . . . . 9  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) )  e.  H  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
3528, 34sseldi 3463 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 ) )
3635adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  e.  ~P ( J  X.  NN0 )
)
3736elpwid 3990 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
38 fvelimab 5935 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
3927, 37, 38sylancr 668 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B ) )
40 ssrab2 3547 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
414, 40eqsstri 3495 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  NN
427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } ) )
43 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( r `  x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) )
4443eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( y  e.  ( r `  x
)  <->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )
4544anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
4645opabbidv 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  r  =  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
4814, 41ssexi 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  e. 
_V
49 abid2 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )
50 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (bits 
o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  e.  _V
5149, 50eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  J  ->  { y  |  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) }  e.  _V )
5348, 52opabex3 6784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  e.  _V )
5542, 47, 29, 54fvmptd 5968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } )
56 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  x  =  t )
5756eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( x  e.  J  <->  t  e.  J ) )
58 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  y  =  n )
5956fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) )
6058, 59eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  <->  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) )
6157, 60anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  t  /\  y  =  n )  ->  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )  <-> 
( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) ) )
6261cbvopabv 4491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }
6355, 62syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  =  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } )
6463eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  w  e.  {
<. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) } ) )
651, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 29204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
6665simp1bi 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
67 nn0ex 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN0  e.  _V
6867, 14elmap 7506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
6966, 68sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
70 ffun 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
71 funres 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
74 fssres 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  J  C_  NN )  -> 
( A  |`  J ) : J --> NN0 )
7569, 41, 74sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  |`  J ) : J --> NN0 )
76 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  dom  ( A  |`  J )  =  J )
7776eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7875, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( t  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  t  e.  J ) )
7978biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )
80 fvco 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  t  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
8173, 79, 80syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) ) )
82 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 t )  =  ( A `  t
) )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t
) )  =  (bits `  ( A `  t
) ) )
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  t ) )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8581, 84eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t )  =  (bits `  ( A `  t ) ) )
8685eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  J )  ->  ( n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t )  <->  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
8786pm5.32da 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) )  <->  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) )
8887opabbidv 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  t ) ) }  =  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) } )
8988eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) } ) )
90 elopab 4726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) }  <->  E. t E. n ( w  = 
<. t ,  n >.  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
9189, 90syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t E. n
( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) ) )
92 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
93 anass 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
9492, 93bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  ( t  e.  J  /\  (
n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  = 
<. t ,  n >. ) ) )
95942exbii 1714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
96 df-rex 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. n
( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )
9796anbi2i 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
9897exbii 1713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t ( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )  <->  E. t ( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
99 df-rex 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
100 exdistr 1825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  /\  w  =  <. t ,  n >. ) )  <->  E. t
( t  e.  J  /\  E. n ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10198, 99, 1003bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) w  =  <. t ,  n >.  <->  E. t E. n ( t  e.  J  /\  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  /\  w  =  <. t ,  n >. ) ) )
10295, 101bitr4i 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. t E. n ( w  =  <. t ,  n >.  /\  (
t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
10391, 102syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  { <. t ,  n >.  |  ( t  e.  J  /\  n  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 t ) ) }  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. ) )
10464, 103bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. ) )
105104biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >. )
106105adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) w  = 
<. t ,  n >. )
107 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. t ,  n >. ) )
108107adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 <. t ,  n >. ) )
109 bitsss 14392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
110109sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
111110anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
112111ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
113 opelxp 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<->  ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 ) )
1144, 5oddpwdcv 29190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
115 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  t  e. 
_V
116 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  n  e. 
_V
117115, 116op2nd 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
118117oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
119115, 116op1st 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
120118, 119oveq12i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
121114, 120syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
122113, 121sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
123112, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
124108, 123eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  /\  w  =  <. t ,  n >. )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) )
125124ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( w  = 
<. t ,  n >.  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w ) ) )
126125anassrs 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( w  =  <. t ,  n >.  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
127126reximdva 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
128127reximdva 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) w  =  <. t ,  n >.  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) ) )
129106, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
) )
130 ssrexv 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( J 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  J  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) ) )
13141, 129, 130mpsyl 66 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
132131adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w ) )
133 eqeq2 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( F `
 w )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
134133rexbidv 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  B  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( F `  w
)  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
135134adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
136135rexbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  -> 
( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( F `  w )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
137132, 136mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  B  e.  NN )  /\  w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  /\  ( F `  w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )
138137r19.29an 2970 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )
139 simp-5l 777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  A  e.  ( T  i^i  R ) )
140 simpllr 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  x  e.  J )
141 simplr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )
14272adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  Fun  ( A  |`  J ) )
14376eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  |`  J ) : J --> NN0  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
14475, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( x  e.  dom  ( A  |`  J )  <->  x  e.  J ) )
145144biimpar 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )
146 fvco 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( A  |`  J )  /\  x  e.  dom  ( A  |`  J ) )  -> 
( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
147142, 145, 146syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) ) )
148 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  J  ->  (
( A  |`  J ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
149148fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x
) )  =  (bits `  ( A `  x
) ) )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  (bits `  ( ( A  |`  J ) `  x ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
151147, 150eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  J )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
152139, 140, 151syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x )  =  (bits `  ( A `  x )
) )
153141, 152eleqtrrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) )
15455eleq2d 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) } ) )
155 opabid 4725 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) }  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) )
156154, 155syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  <->  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( (bits  o.  ( A  |`  J ) ) `
 x ) ) ) )
157156biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  (
(bits  o.  ( A  |`  J ) ) `  x ) ) )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
158139, 140, 153, 157syl12anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )
159 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B )
16037ad4antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
161160, 158sseldd 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
162 opeq1 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  <. t ,  y >.  =  <. x ,  y >. )
163162eleq1d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  ( <. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
164162fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  ( F `  <. t ,  y >. )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
165 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ y
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
166164, 165eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  <. t ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  x ) ) )
167163, 166imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) ) )
168 opeq2 4186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  <. t ,  n >.  =  <. t ,  y >. )
169168eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  ( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) 
<-> 
<. t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) ) )
170168fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( F `  <. t ,  y >. )
)
171 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ y ) )
172171oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
173170, 172eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  <->  ( F `  <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) )
174169, 173imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )  <-> 
( <. t ,  y
>.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 <. t ,  y
>. )  =  (
( 2 ^ y
)  x.  t ) ) ) )
175174, 121chvarv 2069 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
t ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  t ) )
176167, 175chvarv 2069 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
177 eqeq2 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
) )
178177biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  -> 
( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
179176, 178sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B  /\  <.
x ,  y >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )
180159, 161, 179syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  B
)
181 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
182181eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  =  B  <->  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  B ) )
183182rspcev 3183 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
184158, 180, 183syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B )  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B )
185 oveq2 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  x ) )
186185eqeq1d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  B  <->  ( (
2 ^ n )  x.  x )  =  B ) )
187171oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
188187eqeq1d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  x
)  =  B  <->  ( (
2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
189186, 188sylan9bb 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <-> 
( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B ) )
190 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  t  =  x )
191190fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  ( A `  t
)  =  ( A `
 x ) )
192191fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  x  /\  n  =  y )  ->  (bits `  ( A `  t ) )  =  (bits `  ( A `  x ) ) )
193189, 192cbvrexdva2 3061 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
194193cbvrexv 3057 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
195 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  A  e.  ( T  i^i  R )
196 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  NN
197 nfre1 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B
198196, 197nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
199195, 198nfan 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
200 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  NN )
201 n0i 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  (bits `  ( A `  x )
)  ->  -.  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
202201adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  (bits `  ( A `  x ) )  =  (/) )
203 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (bits `  0 ) )
204 0bits 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
205203, 204syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  x )  =  0  ->  (bits `  ( A `  x
) )  =  (/) )
206202, 205nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  ( A `  x
)  =  0 )
20769ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( A `  x
)  e.  NN0 )
208207adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN0 )
209 elnn0 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  x )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 x )  e.  NN  \/  ( A `
 x )  =  0 ) )
210208, 209sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  e.  NN  \/  ( A `  x
)  =  0 ) )
211210orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( ( A `  x )  =  0  \/  ( A `  x )  e.  NN ) )
212211orcanai 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) )  /\  -.  ( A `
 x )  =  0 )  ->  ( A `  x )  e.  NN )
213206, 212mpdan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  -> 
( A `  x
)  e.  NN )
21465simp3bi 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
215214sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  n  e.  J
)
216 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  n  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  n ) )
217216notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  n  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  n ) )
218217, 4elrab2 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  J  <->  ( n  e.  NN  /\  -.  2  ||  n ) )
219218simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  J  ->  -.  2  ||  n )
220215, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  n  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  2  ||  n )
221220ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n )
222 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
223 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
n  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN ) ) )
22469, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( n  e.  ( `' A " NN )  <->  ( n  e.  NN  /\  ( A `
 n )  e.  NN ) ) )
225224imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( (
n  e.  NN  /\  ( A `  n )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n ) ) )
226 impexp 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  n
)  e.  NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
227225, 226syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
n  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  2  ||  n )  <->  ( n  e.  NN  ->  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) ) )
228227ralbidv2 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A. n  e.  ( `' A " NN )  -.  2  ||  n  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
229221, 228mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) )
230 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  ( A `  x )  =  ( A `  n ) )
231230eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  (
( A `  x
)  e.  NN  <->  ( A `  n )  e.  NN ) )
232 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  n  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  n ) )
233232notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  n ) )
234231, 233imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
)  <->  ( ( A `
 n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n ) ) )
235234cbvralv 3056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  NN  (
( A `  x
)  e.  NN  ->  -.  2  ||  x )  <->  A. n  e.  NN  ( ( A `  n )  e.  NN  ->  -.  2  ||  n
) )
236229, 235sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. x  e.  NN  ( ( A `
 x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x ) )
237236r19.21bi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( A `  x )  e.  NN  ->  -.  2  ||  x
) )
238237imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  ( A `  x )  e.  NN )  ->  -.  2  ||  x )
239213, 238syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  -.  2  ||  x )
240 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
2  ||  z  <->  2  ||  x ) )
241240notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  2  ||  z  <->  -.  2  ||  x ) )
242241, 4elrab2 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  2  ||  x ) )
243200, 239, 242sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
244243adantlrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  ->  x  e.  J )
245244adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  ( x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )  /\  y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) )  /\  ( ( 2 ^ y )  x.  x
)  =  B )  ->  x  e.  J
)
246 simprr 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
247199, 245, 246r19.29af 2969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  ->  x  e.  J )
248247, 246jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( x  e.  NN  /\ 
E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )  -> 
( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B ) )
249248ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  ( x  e.  J  /\  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) ) )
250249reximdv2 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B ) )
251250imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x )
) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )
252251adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. x  e.  NN  E. y  e.  (bits `  ( A `  x ) ) ( ( 2 ^ y
)  x.  x )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
253194, 252sylan2b 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  (bits `  ( A `  x
) ) ( ( 2 ^ y )  x.  x )  =  B )
254184, 253r19.29vva 2973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B )  ->  E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `  w )  =  B )
255138, 254impbida 841 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ( F `
 w )  =  B  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ) )
25639, 255bitrd 257 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( F " ( M `
 (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) )  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ) )
257256ifbid 3932 . 2  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  e.  ( F " ( M `  (bits  o.  ( A  |`  J ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
25813, 25, 2573eqtrd 2468 1  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  B
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  B ,  1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   <.cop 4003   class class class wbr 4421   {copab 4479    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   1stc1st 6803   2ndc2nd 6804   supp csupp 6923    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    <_ cle 9678   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ^cexp 12273   sum_csu 13745    || cdvds 14298  bitscbits 14385  𝟭cind 28834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-bits 14388  df-ind 28835
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  29215
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