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Theorem eulerpartlemgs2 29215
Description: Lemma for eulerpart 29217: The  G function also preserves partition sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgs2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, x, y, z    f, r, A, g, k, n, o, x, y    f, G, k    n, F, o, x, y    o, H, r    f, J, n, o, r, x, y   
n, M, o, r, x, y    f, N, g, k, n, x   
n, O, r, x, y    P, g, k, n    R, f, k, n, o, r, x, y    T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:    A( z)    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, o, r)    R( z, g)    S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( z, g)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, g, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z,
g, k)    M( z,
f, g, k)    N( y, z, o, r)    O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemgs2
Dummy variables  t  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5205 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( G `  A
) " NN ) 
C_  dom  ( G `  A )
2 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
3 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
4 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
5 eulerpart.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
6 eulerpart.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
7 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
8 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
9 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
10 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
11 eulerpart.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartgbij 29207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
13 f1of 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  G : ( T  i^i  R ) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  G :
( T  i^i  R
) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )
1514ffvelrni 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
16 elin 3650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
1715, 16sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
1817simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
19 elmapi 7499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( G `
 A ) : NN --> { 0 ,  1 } )
20 fdm 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  dom  ( G `  A
)  =  NN )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  dom  ( G `
 A )  =  NN )
221, 21syl5sseq 3513 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' ( G `  A )
" NN )  C_  NN )
2322sselda 3465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  k  e.  NN )
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgvv 29211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  k
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 ) )
2524oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `
 A ) `  k )  x.  k
)  =  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
2623, 25syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
2726sumeq2dv 13762 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
28 eqeq2 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  m  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
29282rexbidv 2947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
3029elrab 3230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
3130simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )
3231iftrued 3918 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  1 )
3332oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  ( 1  x.  k ) )
34 elrabi 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  NN )
3534nncnd 10627 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  CC )
3635mulid2d 9663 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( 1  x.  k )  =  k )
3733, 36eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  k )
3837sumeq2i 13758 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ k  e.  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } k
39 id 23 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) )  ->  k  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgf 29214 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' ( G `  A )
" NN )  e. 
Fin )
4134adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  NN )
4241, 24syldan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 ) )
4331adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )
4443iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  1 )
4542, 44eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  =  1 )
46 1nn 10622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
4745, 46syl6eqel 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  e.  NN )
4818, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 } )
49 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ( G `  A )  Fn  NN )
50 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  A )  Fn  NN  ->  (
k  e.  ( `' ( G `  A
) " NN )  <-> 
( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `  k
)  e.  NN ) ) )
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN )  <->  ( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `
 k )  e.  NN ) ) )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN )  <->  ( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `
 k )  e.  NN ) ) )
5341, 47, 52mpbir2and 931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) )
5453ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ) )
5554ssrdv 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  C_  ( `' ( G `  A ) " NN ) )
56 ssfi 7796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( G `
 A ) " NN )  e.  Fin  /\ 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  C_  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  e.  Fin )
5740, 55, 56syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  e.  Fin )
58 cnvexg 6751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  `' A  e.  _V )
59 imaexg 6742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' A  e.  _V  ->  ( `' A " NN )  e.  _V )
60 inex1g 4565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' A " NN )  e.  _V  ->  (
( `' A " NN )  i^i  J )  e.  _V )
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
_V )
62 snex 4660 . . . . . . . . . . . 12  |-  { t }  e.  _V
63 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (bits `  ( A `  t ) )  e.  _V
6462, 63xpex 6607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) )  e. 
_V
6564rgenw 2787 . . . . . . . . . 10  |-  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V
66 iunexg 6781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  e.  _V  /\  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V )  ->  U_ t  e.  (
( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  _V )
6761, 65, 66sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V )
68 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  =  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )
692, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 68eulerpartlemgh 29213 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |` 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) :
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) -1-1-onto-> { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
70 f1oeng 7593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  _V  /\  ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) :
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) -1-1-onto-> { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ~~  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
7167, 69, 70syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ~~  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
72 enfii 7793 . . . . . . . 8  |-  ( ( { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  e.  Fin  /\  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
~~  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  Fin )
7357, 71, 72syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  Fin )
74 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ->  (
( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( F `  w ) )
7574adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( F `  w ) )
76 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  J
77 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )
7876, 77sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  J
)
7978snssd 4143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  { t } 
C_  J )
80 bitsss 14392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
81 xpss12 4957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { t }  C_  J  /\  (bits `  ( A `  t )
)  C_  NN0 )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8279, 80, 81sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8382ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
84 iunss 4338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 )  <->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8583, 84sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8685sselda 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  w  e.  ( J  X.  NN0 ) )
875, 6oddpwdcv 29190 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 w )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( F `  w
)  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
8975, 88eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
9041nncnd 10627 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  CC )
9139, 73, 69, 89, 90fsumf1o 13782 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } k  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
9238, 91syl5eq 2476 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
93 ax-1cn 9599 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
94 0cn 9637 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9593, 94keepel 3977 . . . . . . . 8  |-  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  e.  CC )
97 ssrab2 3547 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  C_  NN
98 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
9997, 98sseldi 3463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  NN )
10099nncnd 10627 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  CC )
10196, 100mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  e.  CC )
102 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  ( ( `' ( G `  A )
" NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
103102eldifbd 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
10422ssdifssd 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) 
C_  NN )
105104sselda 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  NN )
10630notbii 298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  -.  (
k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
107 imnan 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  ->  -. 
E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )  <->  -.  ( k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
108106, 107bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( k  e.  NN  ->  -.  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
109108biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( k  e.  NN  ->  -. 
E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
110103, 105, 109sylc 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  -.  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k )
111110iffalsed 3921 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  0 )
112111oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  ( 0  x.  k ) )
113 nnsscn 10616 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  CC
114104, 113syl6ss 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) 
C_  CC )
115114sselda 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  CC )
116115mul02d 9833 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( 0  x.  k )  =  0 )
117112, 116eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  0 )
11855, 101, 117, 40fsumss 13784 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
11992, 118eqtr3d 2466 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ w  e. 
U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
1202, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemt0 29204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
121120simp1bi 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
122 elmapi 7499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  A : NN
--> NN0 )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
124123adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  A : NN --> NN0 )
125 cnvimass 5205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' A " NN ) 
C_  dom  A
126 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN --> NN0  ->  dom 
A  =  NN )
127123, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  dom  A  =  NN )
128125, 127syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  NN )
129128adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( `' A " NN )  C_  NN )
130 inss1 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  ( `' A " NN )
131130, 77sseldi 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  ( `' A " NN ) )
132129, 131sseldd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  NN )
133124, 132ffvelrnd 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
134 bitsfi 14404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  (bits `  ( A `  t )
)  e.  Fin )
136132nncnd 10627 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  CC )
137 2cnd 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  2  e.  CC )
138 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )
13980, 138sseldi 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
140137, 139expcld 12417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
141140anassrs 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
142135, 136, 141fsummulc1 13839 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
143142sumeq2dv 13762 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )
sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
144 bitsinv1 14409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  =  ( A `  t ) )
145144oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( ( A `  t )  x.  t ) )
146133, 145syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
147146sumeq2dv 13762 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( ( A `  t )  x.  t
) )
148 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
149 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
150148, 149op2ndd 6816 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  n )
151150oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  =  ( 2 ^ n ) )
152148, 149op1std 6815 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 1st `  w
)  =  t )
153151, 152oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
154 inss2 3684 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  R )  C_  R
155154sseli 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  R )
156 cnveq 5025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  A  ->  `' f  =  `' A
)
157156imaeq1d 5184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  A  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' A " NN ) )
158157eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  A  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
159158, 9elab2g 3221 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  e.  R  <->  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
160155, 159mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  e. 
Fin )
161 ssfi 7796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  C_  ( `' A " NN ) )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
Fin )
162160, 130, 161sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
Fin )
163136adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  t  e.  CC )
164140, 163mulcld 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  e.  CC )
165153, 162, 135, 164fsum2d 13825 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
166143, 147, 1653eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( ( A `
 t )  x.  t )  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
167 inss1 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( T  i^i  R )  C_  T
168167sseli 3461 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  T )
169157sseq1d 3492 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  A  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' A " NN )  C_  J ) )
170169, 10elrab2 3232 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  C_  J
) )
171170simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  T  ->  ( `' A " NN ) 
C_  J )
172168, 171syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
173 df-ss 3451 . . . . . . 7  |-  ( ( `' A " NN ) 
C_  J  <->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  =  ( `' A " NN ) )
174172, 173sylib 200 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  =  ( `' A " NN ) )
175174sumeq1d 13760 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( ( A `
 t )  x.  t )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
176166, 175eqtr3d 2466 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ w  e. 
U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
17727, 119, 1763eqtr2d 2470 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
178 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
179 id 23 . . . . 5  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
180178, 179oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
181180cbvsumv 13755 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t )
182177, 181syl6eqr 2482 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k
)  x.  k ) )
183 0nn0 10886 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
184 1nn0 10887 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
185 prssi 4154 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
186183, 184, 185mp2an 677 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
187 fss 5752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  A
) : NN --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
188186, 187mpan2 676 . . . . . 6  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
189 nn0ex 10877 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
190 nnex 10617 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
191189, 190elmap 7506 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
192191biimpri 210 . . . . . 6  |-  ( ( G `  A ) : NN --> NN0  ->  ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
19319, 188, 1923syl 18 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( G `
 A )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
194193anim1i 571 . . . 4  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R )  -> 
( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
195 elin 3650 . . . 4  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
196194, 16, 1953imtr4i 270 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
197 eulerpart.s . . . 4  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
1989, 197eulerpartlemsv2 29193 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  ( G `  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k ) )
19915, 196, 1983syl 18 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( ( ( G `  A ) `  k
)  x.  k ) )
200121, 155elind 3651 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
2019, 197eulerpartlemsv2 29193 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
202200, 201syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k
)  x.  k ) )
203182, 199, 2023eqtr4d 2474 1  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   {csn 3997   {cpr 3999   <.cop 4003   U_ciun 4297   class class class wbr 4421   {copab 4479    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   `'ccnv 4850   dom cdm 4851    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   1stc1st 6803   2ndc2nd 6804   supp csupp 6923    ^m cmap 7478    ~~ cen 7572   Fincfn 7575   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    <_ cle 9678   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ^cexp 12273   sum_csu 13745    || cdvds 14298  bitscbits 14385  𝟭cind 28834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-bits 14388  df-ind 28835
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