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Theorem eulerpartlemgs2 27945
Description: Lemma for eulerpart 27947: The  G function also preserves partition sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgs2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, x, y, z    f, r, A, g, k, n, o, x, y    f, G, k    n, F, o, x, y    o, H, r    f, J, n, o, r, x, y   
n, M, o, r, x, y    f, N, g, k, n, x   
n, O, r, x, y    P, g, k, n    R, f, k, n, o, r, x, y    T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:    A( z)    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, o, r)    R( z, g)    S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    T( z, g)    F( z, f, g, k, r)    G( x, y, z, g, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z,
g, k)    M( z,
f, g, k)    N( y, z, o, r)    O( z, f, g, k, o)

Proof of Theorem eulerpartlemgs2
Dummy variables  t  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5348 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( G `  A
) " NN ) 
C_  dom  ( G `  A )
2 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
3 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
4 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
5 eulerpart.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
6 eulerpart.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
7 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
8 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
9 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
10 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
11 eulerpart.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartgbij 27937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
13 f1of 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  G : ( T  i^i  R ) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  G :
( T  i^i  R
) --> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )
1514ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
16 elin 3680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
1817simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
19 elmapi 7430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( G `
 A ) : NN --> { 0 ,  1 } )
20 fdm 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  dom  ( G `  A
)  =  NN )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  dom  ( G `
 A )  =  NN )
221, 21syl5sseq 3545 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' ( G `  A )
" NN )  C_  NN )
2322sselda 3497 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  k  e.  NN )
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgvv 27941 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) `  k
)  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 ) )
2524oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `
 A ) `  k )  x.  k
)  =  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
2623, 25syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
2726sumeq2dv 13474 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
28 eqeq2 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  m  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
29282rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
3029elrab 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
3130simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )
32 iftrue 3938 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  1 )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  1 )
3433oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  ( 1  x.  k ) )
35 elrabi 3251 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  NN )
3635nncnd 10541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  CC )
3736mulid2d 9603 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( 1  x.  k )  =  k )
3834, 37eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  k )
3938sumeq2i 13470 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ k  e.  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } k
40 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) )  ->  k  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
412, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgf 27944 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' ( G `  A )
" NN )  e. 
Fin )
4235adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  NN )
4342, 24syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  =  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 ) )
4431adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )
4544, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  1 )
4643, 45eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  =  1 )
47 1nn 10536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
4846, 47syl6eqel 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( ( G `
 A ) `  k )  e.  NN )
4918, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 } )
50 ffn 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ( G `  A )  Fn  NN )
51 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  A )  Fn  NN  ->  (
k  e.  ( `' ( G `  A
) " NN )  <-> 
( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `  k
)  e.  NN ) ) )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN )  <->  ( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `
 k )  e.  NN ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN )  <->  ( k  e.  NN  /\  ( ( G `  A ) `
 k )  e.  NN ) ) )
5442, 48, 53mpbir2and 915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ->  k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ) )
5655ssrdv 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  C_  ( `' ( G `  A ) " NN ) )
57 ssfi 7730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( G `
 A ) " NN )  e.  Fin  /\ 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  C_  ( `' ( G `  A )
" NN ) )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  e.  Fin )
5841, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  e.  Fin )
59 cnvexg 6720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  `' A  e.  _V )
60 imaexg 6711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' A  e.  _V  ->  ( `' A " NN )  e.  _V )
61 inex1g 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' A " NN )  e.  _V  ->  (
( `' A " NN )  i^i  J )  e.  _V )
6259, 60, 613syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
_V )
63 snex 4681 . . . . . . . . . . . 12  |-  { t }  e.  _V
64 fvex 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  (bits `  ( A `  t ) )  e.  _V
6563, 64xpex 6704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) )  e. 
_V
6665rgenw 2818 . . . . . . . . . 10  |-  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V
67 iunexg 6750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  e.  _V  /\  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V )  ->  U_ t  e.  (
( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  _V )
6862, 66, 67sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  _V )
69 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  =  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )
702, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 69eulerpartlemgh 27943 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |` 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ) :
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) -1-1-onto-> { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
71 f1oeng 7524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  _V  /\  ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) :
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) -1-1-onto-> { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ~~  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ~~  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
73 enfii 7727 . . . . . . . 8  |-  ( ( { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  e.  Fin  /\  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
~~  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  e.  Fin )
7458, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  e.  Fin )
75 fvres 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ->  (
( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( F `  w ) )
7675adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( F `  w ) )
77 inss2 3712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  J
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )
7977, 78sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  J
)
8079snssd 4165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  { t } 
C_  J )
81 bitsss 13924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
82 xpss12 5099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { t }  C_  J  /\  (bits `  ( A `  t )
)  C_  NN0 )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8380, 81, 82sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8483ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
85 iunss 4359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 )  <->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8684, 85sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8786sselda 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  w  e.  ( J  X.  NN0 ) )
885, 6oddpwdcv 27920 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `
 w )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( F `  w
)  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
9076, 89eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  w  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( F  |`  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ) `  w )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
9142nncnd 10541 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  CC )
9240, 74, 70, 90, 91fsumf1o 13494 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } k  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
9339, 92syl5eq 2513 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) ) )
94 ax-1cn 9539 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
95 0cn 9577 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9694, 95keepel 4000 . . . . . . . 8  |-  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  e.  CC
9796a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  e.  CC )
98 ssrab2 3578 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  C_  NN
99 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
10098, 99sseldi 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  NN )
101100nncnd 10541 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  k  e.  CC )
10297, 101mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  e.  CC )
103 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  ( ( `' ( G `  A )
" NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
104103eldifbd 3482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
10522ssdifssd 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) 
C_  NN )
106105sselda 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  NN )
10730notbii 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  -.  (
k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
108 imnan 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  ->  -. 
E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k )  <->  -.  ( k  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
109107, 108bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( k  e.  NN  ->  -.  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ) )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( k  e.  NN  ->  -. 
E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ) )
111104, 106, 110sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  -.  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k )
112 iffalse 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  0 )
113111, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  =  0 )
114113oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  ( 0  x.  k ) )
115 nnsscn 10530 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  CC
116105, 115syl6ss 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) 
C_  CC )
117116sselda 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  k  e.  CC )
118117mul02d 9766 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( 0  x.  k )  =  0 )
119114, 118eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  k  e.  ( ( `' ( G `  A ) " NN )  \  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )  ->  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  0 )
12056, 102, 119, 41fsumss 13496 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e. 
{ m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
12193, 120eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ w  e. 
U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( if ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  k ,  1 ,  0 )  x.  k ) )
1222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemt0 27934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
123122simp1bi 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
124 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  A : NN
--> NN0 )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
126125adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  A : NN --> NN0 )
127 cnvimass 5348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' A " NN ) 
C_  dom  A
128 fdm 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN --> NN0  ->  dom 
A  =  NN )
129125, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  dom  A  =  NN )
130127, 129syl5sseq 3545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  NN )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( `' A " NN )  C_  NN )
132 inss1 3711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  ( `' A " NN )
133132, 78sseldi 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  ( `' A " NN ) )
134131, 133sseldd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  NN )
135126, 134ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
136 bitsfi 13935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
137135, 136syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  (bits `  ( A `  t )
)  e.  Fin )
138134nncnd 10541 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  t  e.  CC )
139 2cnd 10597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  2  e.  CC )
140 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )
14181, 140sseldi 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
142139, 141expcld 12265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
143142anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
144137, 138, 143fsummulc1 13549 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
145144sumeq2dv 13474 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )
sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
146 bitsinv1 13940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  =  ( A `  t ) )
147146oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  ( ( A `  t )  x.  t ) )
148135, 147syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )  ->  ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  =  ( ( A `  t )  x.  t
) )
149148sumeq2dv 13474 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( ( A `  t )  x.  t
) )
150 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
151 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
152150, 151op2ndd 6785 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  n )
153152oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  =  ( 2 ^ n ) )
154150, 151op1std 6784 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( 1st `  w
)  =  t )
155153, 154oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. t ,  n >.  ->  ( ( 2 ^ ( 2nd `  w
) )  x.  ( 1st `  w ) )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
156 inss2 3712 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  R )  C_  R
157156sseli 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  R )
158 cnveq 5167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  A  ->  `' f  =  `' A
)
159158imaeq1d 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  A  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' A " NN ) )
160159eleq1d 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  A  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
161160, 9elab2g 3245 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( A  e.  R  <->  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
162157, 161mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  e. 
Fin )
163 ssfi 7730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  C_  ( `' A " NN ) )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
Fin )
164162, 132, 163sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  e. 
Fin )
165138adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  t  e.  CC )
166142, 165mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  ->  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  e.  CC )
167155, 164, 137, 166fsum2d 13535 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) sum_ n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  = 
sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
168145, 149, 1673eqtr3d 2509 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( ( A `
 t )  x.  t )  =  sum_ w  e.  U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) ) )
169 inss1 3711 . . . . . . . . 9  |-  ( T  i^i  R )  C_  T
170169sseli 3493 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  T )
171159sseq1d 3524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  A  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' A " NN )  C_  J ) )
172171, 10elrab2 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  C_  J
) )
173172simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  T  ->  ( `' A " NN ) 
C_  J )
174170, 173syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( `' A " NN )  C_  J )
175 df-ss 3483 . . . . . . 7  |-  ( ( `' A " NN ) 
C_  J  <->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  =  ( `' A " NN ) )
176174, 175sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  =  ( `' A " NN ) )
177176sumeq1d 13472 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( ( A `
 t )  x.  t )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
178168, 177eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ w  e. 
U_  t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) ( ( 2 ^ ( 2nd `  w ) )  x.  ( 1st `  w
) )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
17927, 121, 1783eqtr2d 2507 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t ) )
180 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
181 id 22 . . . . 5  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
182180, 181oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
183182cbvsumv 13467 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `
 k )  x.  k )  =  sum_ t  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  t
)  x.  t )
184179, 183syl6eqr 2519 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  sum_ k  e.  ( `' ( G `
 A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k
)  x.  k ) )
185 0nn0 10799 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
186 1nn0 10800 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
187 prssi 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
188185, 186, 187mp2an 672 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
189 fss 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  A
) : NN --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0 )  ->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
190188, 189mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( G `  A ) : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
191 nn0ex 10790 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
192 nnex 10531 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
193191, 192elmap 7437 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  ( G `  A ) : NN --> NN0 )
194193biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( G `  A ) : NN --> NN0  ->  ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
19519, 190, 1943syl 20 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( G `
 A )  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
196195anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R )  -> 
( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
197 elin 3680 . . . 4  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  <->  ( ( G `  A )  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( G `  A )  e.  R
) )
198196, 16, 1973imtr4i 266 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
199 eulerpart.s . . . 4  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
2009, 199eulerpartlemsv2 27923 . . 3  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  ( G `  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( `' ( G `  A ) " NN ) ( ( ( G `  A ) `
 k )  x.  k ) )
20115, 198, 2003syl 20 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  sum_ k  e.  ( `' ( G `  A )
" NN ) ( ( ( G `  A ) `  k
)  x.  k ) )
202123, 157elind 3681 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) )
2039, 199eulerpartlemsv2 27923 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
204202, 203syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( `' A " NN ) ( ( A `  k
)  x.  k ) )
205184, 201, 2043eqtr4d 2511 1  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( S `  ( G `  A
) )  =  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   ~Pcpw 4003   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   U_ciun 4318   class class class wbr 4440   {copab 4497    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992    |` cres 4994   "cima 4995    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   1stc1st 6772   2ndc2nd 6773   supp csupp 6891    ^m cmap 7410    ~~ cen 7503   Fincfn 7506   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ^cexp 12122   sum_csu 13457    || cdivides 13836  bitscbits 13917  𝟭cind 27650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-dvds 13837  df-bits 13920  df-ind 27651
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