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Theorem eulerpartlemgh 29219
Description: Lemma for eulerpart 29223: The  F function is a bijection on the  U subsets. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpartlemgh.1  |-  U  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgh  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
Distinct variable groups:    z, t    f, g, k, n, t, A    f, J, n, t    f, N, k, n, t    n, O, t    P, g, k    R, f, k, n, t    T, n, t    x, t, y, z    f, m, x, g, k, n, t, A    n, F, t, x    y, f, n   
x, J, y    t, P
Allowed substitution hints:    A( y, z, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    P( x, y, z, f, m, n, o, r)    R( x, y, z, g, m, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, m, o, r)    U( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    F( y, z, f, g, k, m, o, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    J( z, g, k, m, o, r)    M( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    N( x, y, z, g, m, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, m, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgh
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
31, 2oddpwdc 29195 . . . 4  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
4 f1of1 5830 . . . 4  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  F :
( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN
6 eulerpartlemgh.1 . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )
7 iunss 4340 . . . . 5  |-  ( U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 )  <->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8 inss2 3683 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  J
98sseli 3460 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
t  e.  J )
109snssd 4145 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  ->  { t }  C_  J )
11 bitsss 14398 . . . . . 6  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
12 xpss12 4959 . . . . . 6  |-  ( ( { t }  C_  J  /\  (bits `  ( A `  t )
)  C_  NN0 )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
1310, 11, 12sylancl 666 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
147, 13mprgbir 2786 . . . 4  |-  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 )
156, 14eqsstri 3494 . . 3  |-  U  C_  ( J  X.  NN0 )
16 f1ores 5845 . . 3  |-  ( ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN  /\  U  C_  ( J  X.  NN0 ) )  -> 
( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
) )
175, 15, 16mp2an 676 . 2  |-  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U )
18 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p )
19 2nn 10774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
2  e.  NN )
2111sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2320, 22nnexpcld 12443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
24 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
t  e.  NN )
2523, 24nnmulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  NN )
2625adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  e.  NN )
2718, 26eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  p  e.  NN )
2827exp31 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p  ->  p  e.  NN )
) )
2928rexlimdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  p  e.  NN ) )
3029rexlimdva 2914 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  p  e.  NN ) )
3130pm4.71rd 639 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
32 rex0 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p
33 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  t  e.  NN )
34 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )
35 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
36 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
37 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
38 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
39 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
40 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
41 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4235, 36, 37, 1, 2, 38, 39, 40, 41eulerpartlemt0 29210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
4342simp1bi 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
44 elmapi 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  A : NN
--> NN0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
4645ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  A : NN --> NN0 )
47 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
48 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
t  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) ) )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
t  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) ) )
5034, 49mtbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  ( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) )
51 imnan 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  NN  ->  -.  ( A `  t
)  e.  NN )  <->  -.  ( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) )
5250, 51sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
t  e.  NN  ->  -.  ( A `  t
)  e.  NN ) )
5333, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  ( A `  t )  e.  NN )
5446, 33ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
55 elnn0 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 t )  e.  NN  \/  ( A `
 t )  =  0 ) )
5654, 55sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
( A `  t
)  e.  NN  \/  ( A `  t )  =  0 ) )
57 orel1 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A `  t
)  e.  NN  ->  ( ( ( A `  t )  e.  NN  \/  ( A `  t
)  =  0 )  ->  ( A `  t )  =  0 ) )
5853, 56, 57sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
5958fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (bits `  0 ) )
60 0bits 14412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
6159, 60syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (/) )
6261rexeqdv 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  <->  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
6332, 62mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
6463ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( -.  t  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
6564con4d 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  t  e.  ( `' A " NN ) ) )
6665impr 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  ( `' A " NN ) )
67 eldif 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  ( NN  \  J )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  J ) )
6835, 36, 37, 1, 2, 38, 39, 40, 41eulerpartlemf 29211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  J ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
6967, 68sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  J
) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
7069anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  ( A `  t )  =  0 )
7170fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (bits `  0 ) )
7271, 60syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (/) )
7372rexeqdv 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  <->  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
7432, 73mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
7574ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( -.  t  e.  J  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
7675con4d 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  t  e.  J ) )
7776impr 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  J )
7866, 77elind 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )
79 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
8078, 79jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
8180ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  NN  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
8281reximdv2 2893 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
83 ssrab2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
841, 83eqsstri 3494 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  NN
858, 84sstri 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  NN
86 ssrexv 3526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' A " NN )  i^i  J ) 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
8785, 86mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
8882, 87impbid 193 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
8931, 88bitr3d 258 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
90 eqeq2 2437 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  p  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  m  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
91902rexbidv 2943 . . . . . . 7  |-  ( m  =  p  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
9291elrab 3228 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
946imaeq2i 5185 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" U )  =  ( F " U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
95 imaiun 6165 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9694, 95eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( F
" U )  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9796eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( F " U )  <->  p  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
98 eliun 4304 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( F "
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) p  e.  ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
99 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
)
1003, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
101 snssi 4144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  J  ->  { t }  C_  J )
102101, 11, 12sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  J  ->  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
103 ovelimab 6461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) p  =  ( x F n ) ) )
104100, 102, 103sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) p  =  ( x F n ) ) )
105 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
106 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
x F n )  =  ( t F n ) )
107106eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
p  =  ( x F n )  <->  p  =  ( t F n ) ) )
108107rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( x F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( t F n ) ) )
109105, 108rexsn 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( x F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( t F n ) )
110104, 109syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( t F n ) ) )
111 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t F n )  =  ( F `  <. t ,  n >. )
112111eqeq1i 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t F n )  =  p  <->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  p )
113 eqcom 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t F n )  =  p  <->  p  =  ( t F n ) )
114112, 113bitr3i 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  <. t ,  n >. )  =  p  <-> 
p  =  ( t F n ) )
115 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  ->  <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
1161, 2oddpwdcv 29196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
117 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
118105, 117op2nd 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
119118oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
120105, 117op1st 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
121119, 120oveq12i 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
122116, 121syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
123115, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
124123eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  <. t ,  n >. )  =  p  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
125114, 124syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( p  =  ( t F n )  <-> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
12621, 125sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
p  =  ( t F n )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
127126rexbidva 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  J  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( t F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
128110, 127bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
1299, 128syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
( p  e.  ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
130129rexbiia 2923 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) p  e.  ( F "
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p )
13197, 98, 1303bitri 274 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( F " U )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p )
132131a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  ( F " U
)  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
13389, 93, 1323bitr4rd 289 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  ( F " U
)  <->  p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )
134133eqrdv 2419 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F " U )  =  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
135 f1oeq3 5824 . . 3  |-  ( ( F " U )  =  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
)  <->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
136134, 135syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
)  <->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
13717, 136mpbii 214 1  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   <.cop 4004   U_ciun 4299   class class class wbr 4423   {copab 4481    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   `'ccnv 4852    |` cres 4855   "cima 4856    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   supp csupp 6925    ^m cmap 7483   Fincfn 7580   0cc0 9546   1c1 9547    x. cmul 9551    <_ cle 9683   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ^cexp 12278   sum_csu 13751    || cdvds 14304  bitscbits 14391  𝟭cind 28840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-dvds 14305  df-bits 14394
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  29221
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