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Theorem eulerpartlemgh 27954
Description: Lemma for eulerpart 27958: The  F function is a bijection on the  U subsets. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
eulerpartlemgh.1  |-  U  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgh  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
Distinct variable groups:    z, t    f, g, k, n, t, A    f, J, n, t    f, N, k, n, t    n, O, t    P, g, k    R, f, k, n, t    T, n, t    x, t, y, z    f, m, x, g, k, n, t, A    n, F, t, x    y, f, n   
x, J, y    t, P
Allowed substitution hints:    A( y, z, o, r)    D( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    P( x, y, z, f, m, n, o, r)    R( x, y, z, g, m, o, r)    T( x, y, z, f, g, k, m, o, r)    U( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    F( y, z, f, g, k, m, o, r)    G( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    H( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    J( z, g, k, m, o, r)    M( x, y, z, t, f, g, k, m, n, o, r)    N( x, y, z, g, m, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, m, o, r)

Proof of Theorem eulerpartlemgh
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 eulerpart.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
31, 2oddpwdc 27930 . . . 4  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
4 f1of1 5813 . . . 4  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F :
( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  F :
( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN
6 eulerpartlemgh.1 . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )
7 iunss 4366 . . . . 5  |-  ( U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 )  <->  A. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
8 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  J
98sseli 3500 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
t  e.  J )
109snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  ->  { t }  C_  J )
11 bitsss 13928 . . . . . 6  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
12 xpss12 5106 . . . . . 6  |-  ( ( { t }  C_  J  /\  (bits `  ( A `  t )
)  C_  NN0 )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) )  C_  ( J  X.  NN0 ) )
147, 13mprgbir 2828 . . . 4  |-  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) )  C_  ( J  X.  NN0 )
156, 14eqsstri 3534 . . 3  |-  U  C_  ( J  X.  NN0 )
16 f1ores 5828 . . 3  |-  ( ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-> NN  /\  U  C_  ( J  X.  NN0 ) )  -> 
( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
) )
175, 15, 16mp2an 672 . 2  |-  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p )
19 2nn 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
2  e.  NN )
2111sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  (bits `  ( A `  t )
)  ->  n  e.  NN0 )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2320, 22nnexpcld 12293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
24 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
t  e.  NN )
2523, 24nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  NN )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  e.  NN )
2718, 26eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R
)  /\  t  e.  NN )  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) )  /\  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  p  e.  NN )
2827exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A `  t
) )  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p  ->  p  e.  NN )
) )
2928rexlimdv 2953 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  p  e.  NN ) )
3029rexlimdva 2955 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  p  e.  NN ) )
3130pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
32 rex0 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p
33 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  t  e.  NN )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )
35 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
36 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
37 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
38 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
39 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
40 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
41 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
4235, 36, 37, 1, 2, 38, 39, 40, 41eulerpartlemt0 27945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  ( `' A " NN )  C_  J ) )
4342simp1bi 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A  e.  ( NN0  ^m  NN ) )
44 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  A : NN
--> NN0 )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  A : NN
--> NN0 )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  A : NN --> NN0 )
47 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A : NN --> NN0  ->  A  Fn  NN )
48 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  Fn  NN  ->  (
t  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) ) )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
t  e.  ( `' A " NN )  <-> 
( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) ) )
5034, 49mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  ( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) )
51 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  NN  ->  -.  ( A `  t
)  e.  NN )  <->  -.  ( t  e.  NN  /\  ( A `  t
)  e.  NN ) )
5250, 51sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
t  e.  NN  ->  -.  ( A `  t
)  e.  NN ) )
5333, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  ( A `  t )  e.  NN )
5446, 33ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( A `  t )  e.  NN0 )
55 elnn0 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  <->  ( ( A `
 t )  e.  NN  \/  ( A `
 t )  =  0 ) )
5654, 55sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (
( A `  t
)  e.  NN  \/  ( A `  t )  =  0 ) )
57 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A `  t
)  e.  NN  ->  ( ( ( A `  t )  e.  NN  \/  ( A `  t
)  =  0 )  ->  ( A `  t )  =  0 ) )
5853, 56, 57sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
5958fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (bits `  0 ) )
60 0bits 13941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
6159, 60syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (/) )
6261rexeqdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  <->  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
6332, 62mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( `' A " NN ) )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
6463ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( -.  t  e.  ( `' A " NN )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
6564con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  t  e.  ( `' A " NN ) ) )
6665impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  ( `' A " NN ) )
67 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  ( NN  \  J )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  J ) )
6835, 36, 37, 1, 2, 38, 39, 40, 41eulerpartlemf 27946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  J ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
6967, 68sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  J
) )  ->  ( A `  t )  =  0 )
7069anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  ( A `  t )  =  0 )
7170fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (bits `  0 ) )
7271, 60syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  (bits `  ( A `  t
) )  =  (/) )
7372rexeqdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  <->  E. n  e.  (/)  ( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
7432, 73mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  J )  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( -.  t  e.  J  ->  -.  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
7675con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  t  e.  J ) )
7776impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  J )
7866, 77elind 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) )
79 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  ->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )
8078, 79jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )  -> 
( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
t  e.  NN  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  ->  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
)  /\  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
8281reximdv2 2934 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
83 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
841, 83eqsstri 3534 . . . . . . . . 9  |-  J  C_  NN
858, 84sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  C_  NN
86 ssrexv 3565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' A " NN )  i^i  J ) 
C_  NN  ->  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
8785, 86mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p  ->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
8882, 87impbid 191 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
8931, 88bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
90 eqeq2 2482 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  p  ->  (
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  m  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
91902rexbidv 2980 . . . . . . 7  |-  ( m  =  p  ->  ( E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m  <->  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
9291elrab 3261 . . . . . 6  |-  ( p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m }  <->  ( p  e.  NN  /\  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) ) )
946imaeq2i 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" U )  =  ( F " U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
95 imaiun 6143 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9694, 95eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( F
" U )  = 
U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )
9796eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( F " U )  <->  p  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
98 eliun 4330 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  U_ t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) ( F "
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) p  e.  ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) ) )
99 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
)
1003, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  Fn  ( J  X.  NN0 )
101 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  J  ->  { t }  C_  J )
102101, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  J  ->  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )
103 ovelimab 6435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  ( J  X.  NN0 )  /\  ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) 
C_  ( J  X.  NN0 ) )  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) p  =  ( x F n ) ) )
104100, 102, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t )
) p  =  ( x F n ) ) )
105 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
106 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
x F n )  =  ( t F n ) )
107106eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
p  =  ( x F n )  <->  p  =  ( t F n ) ) )
108107rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( x F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( t F n ) ) )
109105, 108rexsn 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  { t } E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( x F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( t F n ) )
110104, 109syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) p  =  ( t F n ) ) )
111 df-ov 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t F n )  =  ( F `  <. t ,  n >. )
112111eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t F n )  =  p  <->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  p )
113 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t F n )  =  p  <->  p  =  ( t F n ) )
114112, 113bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  <. t ,  n >. )  =  p  <-> 
p  =  ( t F n ) )
115 opelxpi 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  ->  <. t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 ) )
1161, 2oddpwdcv 27931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) ) )
117 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
118105, 117op2nd 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. t ,  n >. )  =  n
119118oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. )
)  =  ( 2 ^ n )
120105, 117op1st 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  <. t ,  n >. )  =  t
121119, 120oveq12i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ ( 2nd `  <. t ,  n >. ) )  x.  ( 1st `  <. t ,  n >. ) )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  t )
122116, 121syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
t ,  n >.  e.  ( J  X.  NN0 )  ->  ( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
123115, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( F `  <. t ,  n >. )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  t ) )
124123eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  <. t ,  n >. )  =  p  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
125114, 124syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( p  =  ( t F n )  <-> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  =  p ) )
12621, 125sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  J  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
p  =  ( t F n )  <->  ( (
2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
127126rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  J  ->  ( E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) p  =  ( t F n )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
128110, 127bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  J  ->  (
p  e.  ( F
" ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p ) )
1299, 128syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J )  -> 
( p  e.  ( F " ( { t }  X.  (bits `  ( A `  t
) ) ) )  <->  E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
130129rexbiia 2964 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) p  e.  ( F "
( { t }  X.  (bits `  ( A `  t )
) ) )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p )
13197, 98, 1303bitri 271 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( F " U )  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J
) E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  p )
132131a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  ( F " U
)  <->  E. t  e.  ( ( `' A " NN )  i^i  J ) E. n  e.  (bits `  ( A `  t
) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  p ) )
13389, 93, 1323bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( p  e.  ( F " U
)  <->  p  e.  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m } ) )
134133eqrdv 2464 . . 3  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F " U )  =  {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
135 f1oeq3 5807 . . 3  |-  ( ( F " U )  =  { m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n
)  x.  t )  =  m }  ->  ( ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
)  <->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
136134, 135syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> ( F " U
)  <->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } ) )
13717, 136mpbii 211 1  |-  ( A  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( F  |`  U ) : U -1-1-onto-> {
m  e.  NN  |  E. t  e.  NN  E. n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( ( 2 ^ n )  x.  t )  =  m } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   supp csupp 6898    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ^cexp 12129   sum_csu 13464    || cdivides 13840  bitscbits 13921  𝟭cind 27661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-dvds 13841  df-bits 13924
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