Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgc Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemgc 28476
Description: Lemma for eulerpart 28496. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S, k
Allowed substitution hints:    A( n)    R( n)    S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10626 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
3 bitsss 14087 . . . . 5  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
4 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )
53, 4sseldi 3497 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
62, 5reexpcld 12329 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  RR )
7 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  NN )
87nnred 10571 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR )
96, 8remulcld 9641 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 28471 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1514adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
1615nn0red 10874 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
1716, 8remulcld 9641 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
1810, 11eulerpartlemsf 28473 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
1918ffvelrni 6031 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2120nn0red 10874 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2214nn0red 10874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  RR )
2322adantrr 716 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
247nnrpd 11280 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2524rprege0d 11288 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)
26 bitsfi 14098 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
2715, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  e. 
Fin )
281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  2  e.  RR )
293a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0 )
3029sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  i  e.  NN0 )
3128, 30reexpcld 12329 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
2 ^ i )  e.  RR )
32 0le2 10647 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  2 )
3428, 30, 33expge0d 12330 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  ( 2 ^ i
) )
354snssd 4177 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  { n }  C_  (bits `  ( A `  t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 13621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  <_  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  CC )
38 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 13574 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  ( 2 ^ n )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  { n }  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 14103 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4215, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4485 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  <_  ( A `  t ) )
44 lemul1a 10417 . . 3  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  ( A `  t
)  e.  RR  /\  ( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)  /\  ( 2 ^ n )  <_ 
( A `  t
) )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  <_  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( ( A `  t )  x.  t ) )
46 fzfid 12085 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( S `  A
) )  e.  Fin )
47 elfznn 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( S `  A
) )  ->  k  e.  NN )
48 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  NN0 )
4913, 47, 48syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  NN0 )
5049nn0red 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
5147adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  NN )
5251nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  RR )
5350, 52remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  RR )
5453adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  k )  e.  RR )
5549nn0ge0d 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  ( A `  k )
)
56 0red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  e.  RR )
5751nngt0d 10600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <  k
)
5856, 52, 57ltled 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  k
)
5950, 52, 55, 58mulge0d 10150 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( A `  k
)  x.  k ) )
6059adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( ( A `  k
)  x.  k ) )
61 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
6361, 62oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
64 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 13622 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
6665adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
67 eldif 3481 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
68 nndiffz1 27748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
6968eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7019, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7170pm5.32i 637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 28474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7371, 72sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7473oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
7675eldifad 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
7776nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  CC )
7877mul02d 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
7974, 78eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
80 fzfid 12085 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
1 ... ( S `  A ) )  e. 
Fin )
8180, 53, 59fsumge0 13620 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8379, 82eqbrtrd 4476 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8467, 83sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8584anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8666, 85pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 28475 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8887adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( S `  A
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8986, 88breqtrrd 4482 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
9089adantrr 716 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 9756 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12168   sum_csu 13519  bitscbits 14080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-bits 14083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator