Theorem eulerpartlemgc 26750

Description: Lemma for eulerpart 26770. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgc	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S, k

Allowed substitution hints:   A( n)   R( n)   S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10396	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. RR )
3		bitsss 13627	. . . . 5 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
4		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
5	3, 4	sseldi 3359	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6	2, 5	reexpcld 12030	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
7		simprl 755	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. NN )
8	7	nnred 10342	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR )
9	6, 8	remulcld 9419	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. RR )
10		eulerpartlems.r	. . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
11		eulerpartlems.s	. . . . . . . 8 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
12	10, 11	eulerpartlemelr 26745	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
13	12	simpld 459	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
14	13	ffvelrnda 5848	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
15	14	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	15	nn0red 10642	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
17	16, 8	remulcld 9419	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
18	10, 11	eulerpartlemsf 26747	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
19	18	ffvelrni 5847	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
20	19	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
21	20	nn0red 10642	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
22	14	nn0red 10642	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. RR )
23	22	adantrr 716	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
24	7	nnrpd 11031	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR+ )
25	24	rprege0d 11039	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t ) )
26		bitsfi 13638	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
27	15, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
28	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 2 e. RR )
29	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 )
30	29	sselda 3361	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> i e. NN0 )
31	28, 30	reexpcld 12030	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR )
32		0le2 10417	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ 2 )
34	28, 30, 33	expge0d 12031	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ i ) )
35	4	snssd 4023	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> { n } C_ (bits ` ( A ` t ) ) )
36	27, 31, 34, 35	fsumless 13264	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) <_ sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) )
37	6	recnd 9417	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
38		oveq2 6104	. . . . . 6 |- ( i = n -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
39	38	sumsn 13222	. . . . 5 |- ( ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ ( 2 ^ n ) e. CC ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
40	4, 37, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
41		bitsinv1 13643	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
42	15, 41	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
43	36, 40, 42	3brtr3d 4326	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) )
44		lemul1a 10188	. . 3 |- ( ( ( ( 2 ^ n ) e. RR /\ ( A ` t ) e. RR /\ ( t e. RR /\ 0 <_ t ) ) /\ ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
45	6, 23, 25, 43, 44	syl31anc 1221	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
46		fzfid 11800	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
47		elfznn 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) -> k e. NN )
48		ffvelrn 5846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
49	13, 47, 48	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
50	49	nn0red 10642	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
51	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. NN )
52	51	nnred 10342	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. RR )
53	50, 52	remulcld 9419	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
54	53	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
55	49	nn0ge0d 10644	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( A ` k ) )
56		0red 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 e. RR )
57	51	nngt0d 10370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 < k )
58	56, 52, 57	ltled 9527	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ k )
59	50, 52, 55, 58	mulge0d 9921	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
60	59	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
61		fveq2 5696	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
62		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> k = t )
63	61, 62	oveq12d 6114	. . . . . . 7 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
65	46, 54, 60, 63, 64	fsumge1 13265	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
66	65	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
67		eldif 3343	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
68		nndiffz1 26080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
69	68	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
70	19, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
71	70	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
72	10, 11	eulerpartlems 26748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
73	71, 72	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
74	73	oveq1d 6111	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
75		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
76	75	eldifad 3345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
77	76	nncnd 10343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. CC )
78	77	mul02d 9572	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
79	74, 78	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
80		fzfid 11800	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
81	80, 53, 59	fsumge0 13263	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
83	79, 82	eqbrtrd 4317	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
84	67, 83	sylan2br 476	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
85	84	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
86	66, 85	pm2.61dan 789	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
87	10, 11	eulerpartlemsv3 26749	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
88	87	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
89	86, 88	breqtrrd 4323	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
90	89	adantrr 716	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
91	9, 17, 21, 45, 90	letrd 9533	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   \ cdif 3330   i^i cin 3332   C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ^m cmap 7219   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   <_ cle 9424   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   ^cexp 11870   sum_csu 13168  bitscbits 13620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-bits 13623

This theorem is referenced by: (None)