Theorem eulerpartlemgc 28476

Description: Lemma for eulerpart 28496. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgc	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S, k

Allowed substitution hints:   A( n)   R( n)   S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10626	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. RR )
3		bitsss 14087	. . . . 5 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
4		simprr 757	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
5	3, 4	sseldi 3497	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6	2, 5	reexpcld 12329	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
7		simprl 756	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. NN )
8	7	nnred 10571	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR )
9	6, 8	remulcld 9641	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. RR )
10		eulerpartlems.r	. . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
11		eulerpartlems.s	. . . . . . . 8 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
12	10, 11	eulerpartlemelr 28471	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
13	12	simpld 459	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
14	13	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
15	14	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	15	nn0red 10874	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
17	16, 8	remulcld 9641	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
18	10, 11	eulerpartlemsf 28473	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
19	18	ffvelrni 6031	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
20	19	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
21	20	nn0red 10874	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
22	14	nn0red 10874	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. RR )
23	22	adantrr 716	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
24	7	nnrpd 11280	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR+ )
25	24	rprege0d 11288	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t ) )
26		bitsfi 14098	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
27	15, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
28	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 2 e. RR )
29	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 )
30	29	sselda 3499	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> i e. NN0 )
31	28, 30	reexpcld 12329	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR )
32		0le2 10647	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ 2 )
34	28, 30, 33	expge0d 12330	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ i ) )
35	4	snssd 4177	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> { n } C_ (bits ` ( A ` t ) ) )
36	27, 31, 34, 35	fsumless 13621	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) <_ sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) )
37	6	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
38		oveq2 6304	. . . . . 6 |- ( i = n -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
39	38	sumsn 13574	. . . . 5 |- ( ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ ( 2 ^ n ) e. CC ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
40	4, 37, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
41		bitsinv1 14103	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
42	15, 41	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
43	36, 40, 42	3brtr3d 4485	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) )
44		lemul1a 10417	. . 3 |- ( ( ( ( 2 ^ n ) e. RR /\ ( A ` t ) e. RR /\ ( t e. RR /\ 0 <_ t ) ) /\ ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
45	6, 23, 25, 43, 44	syl31anc 1231	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
46		fzfid 12085	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
47		elfznn 11739	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) -> k e. NN )
48		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
49	13, 47, 48	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
50	49	nn0red 10874	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
51	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. NN )
52	51	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. RR )
53	50, 52	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
54	53	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
55	49	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( A ` k ) )
56		0red 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 e. RR )
57	51	nngt0d 10600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 < k )
58	56, 52, 57	ltled 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ k )
59	50, 52, 55, 58	mulge0d 10150	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
60	59	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
61		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
62		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> k = t )
63	61, 62	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
65	46, 54, 60, 63, 64	fsumge1 13622	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
66	65	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
67		eldif 3481	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
68		nndiffz1 27748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
69	68	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
70	19, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
71	70	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
72	10, 11	eulerpartlems 28474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
73	71, 72	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
74	73	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
75		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
76	75	eldifad 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
77	76	nncnd 10572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. CC )
78	77	mul02d 9795	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
79	74, 78	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
80		fzfid 12085	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
81	80, 53, 59	fsumge0 13620	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
83	79, 82	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
84	67, 83	sylan2br 476	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
85	84	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
86	66, 85	pm2.61dan 791	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
87	10, 11	eulerpartlemsv3 28475	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
88	87	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
89	86, 88	breqtrrd 4482	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
90	89	adantrr 716	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
91	9, 17, 21, 45, 90	letrd 9756	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12168   sum_csu 13519  bitscbits 14080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-bits 14083

This theorem is referenced by: (None)