Theorem eulerpartlemgc 27938

Description: Lemma for eulerpart 27958. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgc	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S, k

Allowed substitution hints:   A( n)   R( n)   S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10601	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. RR )
3		bitsss 13928	. . . . 5 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
4		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
5	3, 4	sseldi 3502	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6	2, 5	reexpcld 12289	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
7		simprl 755	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. NN )
8	7	nnred 10547	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR )
9	6, 8	remulcld 9620	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. RR )
10		eulerpartlems.r	. . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
11		eulerpartlems.s	. . . . . . . 8 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
12	10, 11	eulerpartlemelr 27933	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
13	12	simpld 459	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
14	13	ffvelrnda 6019	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
15	14	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	15	nn0red 10849	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
17	16, 8	remulcld 9620	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
18	10, 11	eulerpartlemsf 27935	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
19	18	ffvelrni 6018	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
20	19	adantr 465	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
21	20	nn0red 10849	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
22	14	nn0red 10849	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. RR )
23	22	adantrr 716	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
24	7	nnrpd 11251	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR+ )
25	24	rprege0d 11259	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t ) )
26		bitsfi 13939	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
27	15, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
28	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 2 e. RR )
29	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 )
30	29	sselda 3504	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> i e. NN0 )
31	28, 30	reexpcld 12289	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR )
32		0le2 10622	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ 2 )
34	28, 30, 33	expge0d 12290	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ i ) )
35	4	snssd 4172	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> { n } C_ (bits ` ( A ` t ) ) )
36	27, 31, 34, 35	fsumless 13566	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) <_ sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) )
37	6	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
38		oveq2 6290	. . . . . 6 |- ( i = n -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
39	38	sumsn 13519	. . . . 5 |- ( ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ ( 2 ^ n ) e. CC ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
40	4, 37, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
41		bitsinv1 13944	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
42	15, 41	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
43	36, 40, 42	3brtr3d 4476	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) )
44		lemul1a 10392	. . 3 |- ( ( ( ( 2 ^ n ) e. RR /\ ( A ` t ) e. RR /\ ( t e. RR /\ 0 <_ t ) ) /\ ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
45	6, 23, 25, 43, 44	syl31anc 1231	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
46		fzfid 12046	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
47		elfznn 11710	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) -> k e. NN )
48		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
49	13, 47, 48	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
50	49	nn0red 10849	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
51	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. NN )
52	51	nnred 10547	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. RR )
53	50, 52	remulcld 9620	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
54	53	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
55	49	nn0ge0d 10851	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( A ` k ) )
56		0red 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 e. RR )
57	51	nngt0d 10575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 < k )
58	56, 52, 57	ltled 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ k )
59	50, 52, 55, 58	mulge0d 10125	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
60	59	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
61		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
62		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k = t -> k = t )
63	61, 62	oveq12d 6300	. . . . . . 7 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
65	46, 54, 60, 63, 64	fsumge1 13567	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
66	65	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
67		eldif 3486	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
68		nndiffz1 27261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
69	68	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
70	19, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
71	70	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
72	10, 11	eulerpartlems 27936	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
73	71, 72	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
74	73	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
75		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
76	75	eldifad 3488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
77	76	nncnd 10548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. CC )
78	77	mul02d 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
79	74, 78	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
80		fzfid 12046	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
81	80, 53, 59	fsumge0 13565	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
83	79, 82	eqbrtrd 4467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
84	67, 83	sylan2br 476	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
85	84	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
86	66, 85	pm2.61dan 789	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
87	10, 11	eulerpartlemsv3 27937	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
88	87	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
89	86, 88	breqtrrd 4473	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
90	89	adantrr 716	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
91	9, 17, 21, 45, 90	letrd 9734	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^m cmap 7417   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12129   sum_csu 13464  bitscbits 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-dvds 13841  df-bits 13924

This theorem is referenced by: (None)