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Theorem eulerpartlemgc 27938
Description: Lemma for eulerpart 27958. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S, k
Allowed substitution hints:    A( n)    R( n)    S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10601 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
3 bitsss 13928 . . . . 5  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
4 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )
53, 4sseldi 3502 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
62, 5reexpcld 12289 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  RR )
7 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  NN )
87nnred 10547 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR )
96, 8remulcld 9620 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 27933 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 6019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1514adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
1615nn0red 10849 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
1716, 8remulcld 9620 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
1810, 11eulerpartlemsf 27935 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
1918ffvelrni 6018 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2120nn0red 10849 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2214nn0red 10849 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  RR )
2322adantrr 716 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
247nnrpd 11251 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2524rprege0d 11259 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)
26 bitsfi 13939 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
2715, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  e. 
Fin )
281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  2  e.  RR )
293a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0 )
3029sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  i  e.  NN0 )
3128, 30reexpcld 12289 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
2 ^ i )  e.  RR )
32 0le2 10622 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  2 )
3428, 30, 33expge0d 12290 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  ( 2 ^ i
) )
354snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  { n }  C_  (bits `  ( A `  t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 13566 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  <_  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 9618 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  CC )
38 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 13519 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  ( 2 ^ n )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  { n }  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 13944 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4215, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4476 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  <_  ( A `  t ) )
44 lemul1a 10392 . . 3  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  ( A `  t
)  e.  RR  /\  ( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)  /\  ( 2 ^ n )  <_ 
( A `  t
) )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  <_  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( ( A `  t )  x.  t ) )
46 fzfid 12046 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( S `  A
) )  e.  Fin )
47 elfznn 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( S `  A
) )  ->  k  e.  NN )
48 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  NN0 )
4913, 47, 48syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  NN0 )
5049nn0red 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
5147adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  NN )
5251nnred 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  RR )
5350, 52remulcld 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  RR )
5453adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  k )  e.  RR )
5549nn0ge0d 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  ( A `  k )
)
56 0red 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  e.  RR )
5751nngt0d 10575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <  k
)
5856, 52, 57ltled 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  k
)
5950, 52, 55, 58mulge0d 10125 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( A `  k
)  x.  k ) )
6059adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( ( A `  k
)  x.  k ) )
61 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
6361, 62oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
64 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 13567 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
6665adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
67 eldif 3486 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
68 nndiffz1 27261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
6968eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7019, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7170pm5.32i 637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 27936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7371, 72sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7473oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
7675eldifad 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
7776nncnd 10548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  CC )
7877mul02d 9773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
7974, 78eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
80 fzfid 12046 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
1 ... ( S `  A ) )  e. 
Fin )
8180, 53, 59fsumge0 13565 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8379, 82eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8467, 83sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8584anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8666, 85pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 27937 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8887adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( S `  A
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8986, 88breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
9089adantrr 716 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 9734 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12129   sum_csu 13464  bitscbits 13921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-dvds 13841  df-bits 13924
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