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Theorem eulerpartlemgc 26750
Description: Lemma for eulerpart 26770. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpartlems.s  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Distinct variable groups:    f, k, A    R, f, k    t,
k, A    t, R    t, S, k
Allowed substitution hints:    A( n)    R( n)    S( f, n)

Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10396 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
2  e.  RR )
3 bitsss 13627 . . . . 5  |-  (bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0
4 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  (bits `  ( A `  t )
) )
53, 4sseldi 3359 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
62, 5reexpcld 12030 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  RR )
7 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  NN )
87nnred 10342 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR )
96, 8remulcld 9419 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  e.  RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  |->  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 26745 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 5848 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  NN0 )
1514adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  NN0 )
1615nn0red 10642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
1716, 8remulcld 9419 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  e.  RR )
1810, 11eulerpartlemsf 26747 . . . . 5  |-  S :
( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R ) --> NN0
1918ffvelrni 5847 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  e.  NN0 )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  NN0 )
2120nn0red 10642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( S `  A
)  e.  RR )
2214nn0red 10642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( A `  t
)  e.  RR )
2322adantrr 716 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( A `  t
)  e.  RR )
247nnrpd 11031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2524rprege0d 11039 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)
26 bitsfi 13638 . . . . . 6  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  (bits `  ( A `  t ) )  e.  Fin )
2715, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  e. 
Fin )
281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  2  e.  RR )
293a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
(bits `  ( A `  t ) )  C_  NN0 )
3029sselda 3361 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  i  e.  NN0 )
3128, 30reexpcld 12030 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  (
2 ^ i )  e.  RR )
32 0le2 10417 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  2 )
3428, 30, 33expge0d 12031 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  /\  i  e.  (bits `  ( A `  t )
) )  ->  0  <_  ( 2 ^ i
) )
354snssd 4023 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  { n }  C_  (bits `  ( A `  t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 13264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  <_  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  CC )
38 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 13222 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  (bits `  ( A `  t ) )  /\  ( 2 ^ n )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  { n }  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  { n }  ( 2 ^ i )  =  ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 13643 . . . . 5  |-  ( ( A `  t )  e.  NN0  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4215, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ( 2 ^ i )  =  ( A `  t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4326 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( 2 ^ n
)  <_  ( A `  t ) )
44 lemul1a 10188 . . 3  |-  ( ( ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  ( A `  t
)  e.  RR  /\  ( t  e.  RR  /\  0  <_  t )
)  /\  ( 2 ^ n )  <_ 
( A `  t
) )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  t )  <_  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( ( A `  t )  x.  t ) )
46 fzfid 11800 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( S `  A
) )  e.  Fin )
47 elfznn 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( S `  A
) )  ->  k  e.  NN )
48 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  NN0 )
4913, 47, 48syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  NN0 )
5049nn0red 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
5147adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  NN )
5251nnred 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  k  e.  RR )
5350, 52remulcld 9419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  k )  e.  RR )
5453adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  k )  e.  RR )
5549nn0ge0d 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  ( A `  k )
)
56 0red 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  e.  RR )
5751nngt0d 10370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <  k
)
5856, 52, 57ltled 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  k
)
5950, 52, 55, 58mulge0d 9921 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( A `  k
)  x.  k ) )
6059adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( ( A `  k
)  x.  k ) )
61 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  ( A `  k )  =  ( A `  t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  t  ->  k  =  t )
6361, 62oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( k  =  t  ->  (
( A `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 t )  x.  t ) )
64 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 13265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( 1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
6665adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  t  e.  (
1 ... ( S `  A ) ) )  ->  ( ( A `
 t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
67 eldif 3343 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  ( t  e.  NN  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )
68 nndiffz1 26080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )
6968eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  A )  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( NN  \ 
( 1 ... ( S `  A )
) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7019, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) )  <->  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) ) )
7170pm5.32i 637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  <->  ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  (
ZZ>= `  ( ( S `
 A )  +  1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 26748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( ZZ>= `  ( ( S `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7371, 72sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( A `  t
)  =  0 )
7473oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  ( 0  x.  t ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  ( NN 
\  ( 1 ... ( S `  A
) ) ) )
7675eldifad 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  NN )
7776nncnd 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
t  e.  CC )
7877mul02d 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( 0  x.  t
)  =  0 )
7974, 78eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  =  0 )
80 fzfid 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  (
1 ... ( S `  A ) )  e. 
Fin )
8180, 53, 59fsumge0 13263 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8379, 82eqbrtrd 4317 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  ( NN  \  ( 1 ... ( S `  A )
) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8467, 83sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\ 
-.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ) )  ->  (
( A `  t
)  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8584anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  /\  -.  t  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) )  ->  ( ( A `  t )  x.  t )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8666, 85pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 26749 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
R )  ->  ( S `  A )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `
 A ) ) ( ( A `  k )  x.  k
) )
8887adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( S `  A
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( S `  A )
) ( ( A `
 k )  x.  k ) )
8986, 88breqtrrd 4323 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  t  e.  NN )  ->  ( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
9089adantrr 716 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( A `  t )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 9533 1  |-  ( ( A  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( t  e.  NN  /\  n  e.  (bits `  ( A `  t ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ n )  x.  t
)  <_  ( S `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    \ cdif 3330    i^i cin 3332    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    <_ cle 9424   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   ^cexp 11870   sum_csu 13168  bitscbits 13620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-bits 13623
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