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Theorem eulerpartlemgc 29268
Description: Lemma for eulerpart 29288. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgc |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S, k
Allowed substitution hints:   A( n)   R( n)   S( f, n)
Proof of Theorem eulerpartlemgc
Dummy variable i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10701 . . . . 5 |- 2 e. RR
21a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. RR )
3 bitsss 14478 . . . . 5 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
4 simprr 774 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
53, 4sseldi 3416 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
62, 5reexpcld 12471 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
7 simprl 772 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. NN )
87nnred 10646 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR )
96, 8remulcld 9689 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. RR )
10 eulerpartlems.r . . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
11 eulerpartlems.s . . . . . . . 8 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
1210, 11eulerpartlemelr 29263 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
1312simpld 466 . . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
1413ffvelrnda 6037 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
1514adantrr 731 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
1615nn0red 10950 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
1716, 8remulcld 9689 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
1810, 11eulerpartlemsf 29265 . . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
1918ffvelrni 6036 . . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
2019adantr 472 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
2120nn0red 10950 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
2214nn0red 10950 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. RR )
2322adantrr 731 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. RR )
247nnrpd 11362 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. RR+ )
2524rprege0d 11371 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t ) )
26 bitsfi 14490 . . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
2715, 26syl 17 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
281a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 2 e. RR )
293a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 )
3029sselda 3418 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> i e. NN0 )
3128, 30reexpcld 12471 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR )
32 0le2 10722 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
3332a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ 2 )
3428, 30, 33expge0d 12472 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) /\ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ i ) )
354snssd 4108 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> { n } C_ (bits ` ( A ` t ) ) )
3627, 31, 34, 35fsumless 13933 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) <_ sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) )
376recnd 9687 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
38 oveq2 6316 . . . . . 6 |- ( i = n -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
3938sumsn 13884 . . . . 5 |- ( ( n e. (bits ` ( A ` t ) ) /\ ( 2 ^ n ) e. CC ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
404, 37, 39syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. { n } ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ n ) )
41 bitsinv1 14495 . . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
4215, 41syl 17 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> sum_ i e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ i ) = ( A ` t ) )
4336, 40, 423brtr3d 4425 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) )
44 lemul1a 10481 . . 3 |- ( ( ( ( 2 ^ n ) e. RR /\ ( A ` t ) e. RR /\ ( t e. RR /\ 0 <_ t ) ) /\ ( 2 ^ n ) <_ ( A ` t ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
456, 23, 25, 43, 44syl31anc 1295 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
46 fzfid 12224 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
47 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) -> k e. NN )
48 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
4913, 47, 48syl2an 485 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. NN0 )
5049nn0red 10950 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
5147adantl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. NN )
5251nnred 10646 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> k e. RR )
5350, 52remulcld 9689 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
5453adantlr 729 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. k ) e. RR )
5549nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( A ` k ) )
56 0red 9662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 e. RR )
5751nngt0d 10675 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 < k )
5856, 52, 57ltled 9800 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ k )
5950, 52, 55, 58mulge0d 10211 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
6059adantlr 729 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> 0 <_ ( ( A ` k ) x. k ) )
61 fveq2 5879 . . . . . . . 8 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
62 id 22 . . . . . . . 8 |- ( k = t -> k = t )
6361, 62oveq12d 6326 . . . . . . 7 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64 simpr 468 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
6546, 54, 60, 63, 64fsumge1 13934 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
6665adantlr 729 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
67 eldif 3400 . . . . . . 7 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
68 nndiffz1 28441 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6968eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7019, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7170pm5.32i 649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7210, 11eulerpartlems 29266 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
7371, 72sylbi 200 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
7473oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
75 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
7675eldifad 3402 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
7776nncnd 10647 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. CC )
7877mul02d 9849 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
7974, 78eqtrd 2505 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
80 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( 1 ... ( S ` A ) ) e. Fin )
8180, 53, 59fsumge0 13932 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8281adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8379, 82eqbrtrd 4416 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8467, 83sylan2br 484 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8584anassrs 660 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8666, 85pm2.61dan 808 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8710, 11eulerpartlemsv3 29267 . . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8887adantr 472 . . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ( ( A ` k ) x. k ) )
8986, 88breqtrrd 4422 . . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
9089adantrr 731 . 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( A ` t ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
919, 17, 21, 45, 90letrd 9809 1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ ( t e. NN /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) <_ ( S ` A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   sum_csu 13829  bitscbits 14471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-bits 14474
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