Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartleme 28095
Description: Lemma for eulerpart 28114. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme  |-  ( A  e.  P  <->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) )
Distinct variable groups:    f, k, A    f, N
Allowed substitution hints:    P( f, k)    N( k)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 10811 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
2 nnex 10552 . . . 4  |-  NN  e.  _V
31, 2elmap 7457 . . 3  |-  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  <->  A : NN --> NN0 )
43anbi1i 695 . 2  |-  ( ( A  e.  ( NN0 
^m  NN )  /\  ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
)  =  N ) )  <->  ( A : NN
--> NN0  /\  ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
5 cnveq 5181 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  `' f  =  `' A
)
65imaeq1d 5341 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' A " NN ) )
76eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' A " NN )  e.  Fin ) )
8 fveq1 5870 . . . . . . 7  |-  ( f  =  A  ->  (
f `  k )  =  ( A `  k ) )
98oveq1d 6309 . . . . . 6  |-  ( f  =  A  ->  (
( f `  k
)  x.  k )  =  ( ( A `
 k )  x.  k ) )
109sumeq2sdv 13501 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k ) )
1110eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( A `
 k )  x.  k )  =  N ) )
127, 11anbi12d 710 . . 3  |-  ( f  =  A  ->  (
( ( `' f
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( f `
 k )  x.  k )  =  N )  <->  ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
13 eulerpart.p . . 3  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1412, 13elrab2 3268 . 2  |-  ( A  e.  P  <->  ( A  e.  ( NN0  ^m  NN )  /\  ( ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) ) )
15 3anass 977 . 2  |-  ( ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N )  <->  ( A : NN --> NN0  /\  (
( `' A " NN )  e.  Fin  /\ 
sum_ k  e.  NN  ( ( A `  k )  x.  k
)  =  N ) ) )
164, 14, 153bitr4i 277 1  |-  ( A  e.  P  <->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   `'ccnv 5003   "cima 5007   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   Fincfn 7526    x. cmul 9507   NNcn 10546   NN0cn0 10805   sum_csu 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-seq 12086  df-sum 13484
This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  28096  eulerpartlemd  28098  eulerpartlemb  28100  eulerpartlemn  28113
  Copyright terms: Public domain W3C validator