Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemd 26913
Description: Lemma for eulerpart 26929: 
D is the set of distinct part. of  N. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, A    f, N    P, g, n
Allowed substitution hints:    D( f, g, k, n)    P( f,
k)    N( g, k, n)    O( f, g, k, n)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 5801 . . . . 5  |-  ( g  =  A  ->  (
g `  n )  =  ( A `  n ) )
21breq1d 4413 . . . 4  |-  ( g  =  A  ->  (
( g `  n
)  <_  1  <->  ( A `  n )  <_  1
) )
32ralbidv 2846 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  ( A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
4 eulerpart.d . . 3  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
53, 4elrab2 3226 . 2  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
6 2z 10792 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7 fzoval 11674 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
9 fzo0to2pr 11734 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
10 2m1e1 10550 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1110oveq2i 6214 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
128, 9, 113eqtr3i 2491 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
1312eleq2i 2532 . . . . . 6  |-  ( ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 ) )
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1514eulerpartleme 26910 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P  <->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) )
1615simp1bi 1003 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P  ->  A : NN --> NN0 )
1716ffvelrnda 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n
)  e.  NN0 )
18 1nn0 10709 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 elfz2nn0 11600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( ( A `  n )  e.  NN0  /\  1  e. 
NN0  /\  ( A `  n )  <_  1
) )
20 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2221baib 896 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2317, 18, 22sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2413, 23syl5rbb 258 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  <_  1  <->  ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 } ) )
2524ralbidva 2844 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
26 ffun 5672 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
2716, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  Fun  A )
28 fdm 5674 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  dom 
A  =  NN )
29 eqimss2 3520 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  NN  ->  NN  C_  dom  A )
3016, 28, 293syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  NN  C_ 
dom  A )
31 funimass4 5854 . . . . 5  |-  ( ( Fun  A  /\  NN  C_ 
dom  A )  -> 
( ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  (
( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3325, 32bitr4d 256 . . 3  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
3433pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
355, 34bitri 249 1  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    C_ wss 3439   {cpr 3990   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   "cima 4954   Fun wfun 5523   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   2c2 10485   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ...cfz 11557  ..^cfzo 11668   sum_csu 13284    || cdivides 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-sum 13285
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  26928
  Copyright terms: Public domain W3C validator