Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlemd 28130
Description: Lemma for eulerpart 28146: 
D is the set of distinct part. of  N. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, A    f, N    P, g, n
Allowed substitution hints:    D( f, g, k, n)    P( f,
k)    N( g, k, n)    O( f, g, k, n)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 5871 . . . . 5  |-  ( g  =  A  ->  (
g `  n )  =  ( A `  n ) )
21breq1d 4463 . . . 4  |-  ( g  =  A  ->  (
( g `  n
)  <_  1  <->  ( A `  n )  <_  1
) )
32ralbidv 2906 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  ( A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
4 eulerpart.d . . 3  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
53, 4elrab2 3268 . 2  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
6 2z 10908 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7 fzoval 11810 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
9 fzo0to2pr 11879 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
10 2m1e1 10662 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1110oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
128, 9, 113eqtr3i 2504 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
1312eleq2i 2545 . . . . . 6  |-  ( ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 ) )
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1514eulerpartleme 28127 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P  <->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) )
1615simp1bi 1011 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P  ->  A : NN --> NN0 )
1716ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n
)  e.  NN0 )
18 1nn0 10823 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( ( A `  n )  e.  NN0  /\  1  e. 
NN0  /\  ( A `  n )  <_  1
) )
20 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2221baib 901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2317, 18, 22sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2413, 23syl5rbb 258 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  <_  1  <->  ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 } ) )
2524ralbidva 2903 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
26 ffun 5739 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
2716, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  Fun  A )
28 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  dom 
A  =  NN )
29 eqimss2 3562 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  NN  ->  NN  C_  dom  A )
3016, 28, 293syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  NN  C_ 
dom  A )
31 funimass4 5925 . . . . 5  |-  ( ( Fun  A  /\  NN  C_ 
dom  A )  -> 
( ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  (
( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3325, 32bitr4d 256 . . 3  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
3433pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
355, 34bitri 249 1  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   {cpr 4035   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   sum_csu 13488    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-sum 13489
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  28145
  Copyright terms: Public domain W3C validator