Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eulerpartlemd 29199
Description: Lemma for eulerpart 29215: 
D is the set of distinct part. of  N. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, A    f, N    P, g, n
Allowed substitution hints:    D( f, g, k, n)    P( f,
k)    N( g, k, n)    O( f, g, k, n)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 5864 . . . . 5  |-  ( g  =  A  ->  (
g `  n )  =  ( A `  n ) )
21breq1d 4412 . . . 4  |-  ( g  =  A  ->  (
( g `  n
)  <_  1  <->  ( A `  n )  <_  1
) )
32ralbidv 2827 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  ( A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
4 eulerpart.d . . 3  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
53, 4elrab2 3198 . 2  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1
) )
6 2z 10969 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7 fzoval 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
9 fzo0to2pr 11998 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
10 2m1e1 10724 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1110oveq2i 6301 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
128, 9, 113eqtr3i 2481 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
1312eleq2i 2521 . . . . . 6  |-  ( ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 ) )
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1514eulerpartleme 29196 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P  <->  ( A : NN --> NN0  /\  ( `' A " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( A `  k
)  x.  k )  =  N ) )
1615simp1bi 1023 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P  ->  A : NN --> NN0 )
1716ffvelrnda 6022 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n
)  e.  NN0 )
18 1nn0 10885 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 elfz2nn0 11885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( ( A `  n )  e.  NN0  /\  1  e. 
NN0  /\  ( A `  n )  <_  1
) )
20 df-3an 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2119, 20bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( (
( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( A `  n )  <_  1 ) )
2221baib 914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  n
)  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2317, 18, 22sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( A `  n
)  <_  1 ) )
2413, 23syl5rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  <_  1  <->  ( A `  n )  e.  { 0 ,  1 } ) )
2524ralbidva 2824 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
26 ffun 5731 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  Fun 
A )
2716, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  Fun  A )
28 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( A : NN --> NN0  ->  dom 
A  =  NN )
29 eqimss2 3485 . . . . . 6  |-  ( dom 
A  =  NN  ->  NN  C_  dom  A )
3016, 28, 293syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e.  P  ->  NN  C_ 
dom  A )
31 funimass4 5916 . . . . 5  |-  ( ( Fun  A  /\  NN  C_ 
dom  A )  -> 
( ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3227, 30, 31syl2anc 667 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  (
( A " NN )  C_  { 0 ,  1 }  <->  A. n  e.  NN  ( A `  n )  e.  {
0 ,  1 } ) )
3325, 32bitr4d 260 . . 3  |-  ( A  e.  P  ->  ( A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1  <->  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
3433pm5.32i 643 . 2  |-  ( ( A  e.  P  /\  A. n  e.  NN  ( A `  n )  <_  1 )  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
355, 34bitri 253 1  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  P  /\  ( A " NN )  C_  { 0 ,  1 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   sum_csu 13752    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-sum 13753
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  29214
  Copyright terms: Public domain W3C validator