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Theorem eulerpartlemb 28504
Description: Lemma for eulerpart 28518. The set of all partitions of  N is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemb  |-  P  e. 
Fin
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, y    f, N, g, x    P, g
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, r)    J( x, y, z, f, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( y, z, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemb
StepHypRef Expression
1 fzfid 12086 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fzfi 12085 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
Fin
3 snfi 7615 . . . . . 6  |-  { 0 }  e.  Fin
42, 3keepel 4012 . . . . 5  |-  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin )
6 eldifn 3623 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N
) )
8 iffalse 3953 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 } )
9 eqimss 3551 . . . . 5  |-  ( if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 }  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  C_  { 0 } )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  C_  { 0 } )
111, 5, 10ixpfi2 7836 . . 3  |-  ( T. 
->  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin )
1211trud 1404 . 2  |-  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  e.  Fin
13 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1413eulerpartleme 28499 . . . 4  |-  ( g  e.  P  <->  ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( g : NN --> NN0  ->  g  Fn  NN )
16153ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  Fn  NN )
17 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  NN0 )
18173ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  NN0 )
1918nn0red 10874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
20 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
2219, 21remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  e.  RR )
23 cnvimass 5367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
24 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  dom  g  =  NN )
2623, 25syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
2726sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
28 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  e.  NN0 )
2928adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  NN )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
3027, 29syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
3127nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
3230, 31nn0mulcld 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  CC )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  g : NN --> NN0 )
35 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  e.  _V
36 frnnn0supp 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  g : NN --> NN0 )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
3735, 36mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : NN --> NN0  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
39 eqimss 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN )  ->  ( g supp  0 )  C_  ( `' g " NN ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 ) 
C_  ( `' g
" NN ) )
4135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  e.  _V )
42 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
4434, 40, 41, 43suppssr 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( g `  k
)  =  0 )
4544oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( 0  x.  k ) )
46 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
k  e.  NN )
48 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
49 mul02 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
5047, 48, 493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( 0  x.  k
)  =  0 )
5145, 50eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0 )
52 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5352eqimssi 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5526, 33, 51, 54sumss 13558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
5756, 32fsumnn0cl 13570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
5855, 57eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
59 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
6058, 59syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
61603impia 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  N  e.  NN0 )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
6362nn0red 10874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
6418nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  ( g `  x
) )
65 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  1  <_  x )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  1  <_  x )
6719, 21, 64, 66lemulge11d 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
6856adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( `' g " NN )  e. 
Fin )
6932nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
7069adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
7132nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
73 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
7573, 74oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  =  ( ( g `
 x )  x.  x ) )
76 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  x  e.  ( `' g " NN ) )
7768, 70, 72, 75, 76fsumge1 13623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
7877expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
79 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )
8051ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0 )
8175eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0  <->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 ) )
8281rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 )
8380, 82sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
8479, 83sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
8556adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
8632adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
8786nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
8886nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
8985, 87, 88fsumge0 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9089adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9184, 90eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9291expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
9378, 92pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9455adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
9593, 94breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
96953adantl3 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
97 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )
9896, 97breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  N )
9919, 22, 63, 67, 98letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  N )
100 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10118, 100syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
10262nn0zd 10988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
103 elfz5 11705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
104101, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
10599, 104mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( 0 ... N
) )
106105adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( 0 ... N ) )
107 iftrue 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
108107adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
109106, 108eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
110 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  x )  e.  NN  ->  1  <_  ( g `  x
) )
111 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN0 )
113112nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  x )
114 lemulge12 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_  x  /\  1  <_  (
g `  x )
) )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
115114expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  0  <_  x
)  ->  ( 1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
11621, 19, 113, 115syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
117 letr 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( g `  x )  x.  x
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( ( g `  x )  x.  x
)  /\  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
11821, 22, 63, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( x  <_  (
( g `  x
)  x.  x )  /\  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
11998, 118mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  ( (
g `  x )  x.  x )  ->  x  <_  N ) )
120116, 119syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  N ) )
121110, 120syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  <_  N ) )
122 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
123122, 52syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
124 elfz5 11705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
125123, 102, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
126121, 125sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... N ) ) )
127126con3d 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  ->  -.  ( g `  x
)  e.  NN ) )
128 elnn0 10818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  NN0  <->  ( ( g `
 x )  e.  NN  \/  ( g `
 x )  =  0 ) )
12918, 128sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  \/  ( g `  x
)  =  0 ) )
130129ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  ( g `  x
)  e.  NN  ->  ( g `  x )  =  0 ) )
131127, 130syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  -> 
( g `  x
)  =  0 ) )
132131imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  =  0 )
133 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
134133elsnc 4056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  e.  { 0 }  <-> 
( g `  x
)  =  0 )
135132, 134sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  {
0 } )
1368adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  {
0 } )
137135, 136eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
138109, 137pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N
) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
139138ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  A. x  e.  NN  ( g `  x
)  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
140 vex 3112 . . . . . 6  |-  g  e. 
_V
141140elixp 7495 . . . . 5  |-  ( g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  <->  ( g  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) ) )
14216, 139, 141sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
14314, 142sylbi 195 . . 3  |-  ( g  e.  P  ->  g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } ) )
144143ssriv 3503 . 2  |-  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )
145 ssfi 7759 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin  /\  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )  ->  P  e.  Fin )
14612, 144, 145mp2an 672 1  |-  P  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521
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