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Theorem eulerpartlemb 29027
Description: Lemma for eulerpart 29041. The set of all partitions of  N is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemb  |-  P  e. 
Fin
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, y    f, N, g, x    P, g
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, r)    J( x, y, z, f, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( y, z, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemb
StepHypRef Expression
1 fzfid 12183 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fzfi 12182 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
Fin
3 snfi 7657 . . . . . 6  |-  { 0 }  e.  Fin
42, 3keepel 3982 . . . . 5  |-  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin )
6 eldifn 3594 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )
76adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N
) )
8 iffalse 3924 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 } )
9 eqimss 3522 . . . . 5  |-  ( if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 }  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  C_  { 0 } )
107, 8, 93syl 18 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  C_  { 0 } )
111, 5, 10ixpfi2 7878 . . 3  |-  ( T. 
->  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin )
1211trud 1446 . 2  |-  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  e.  Fin
13 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1413eulerpartleme 29022 . . . 4  |-  ( g  e.  P  <->  ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( g : NN --> NN0  ->  g  Fn  NN )
16153ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  Fn  NN )
17 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  NN0 )
18173ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  NN0 )
1918nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
20 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
2219, 21remulcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  e.  RR )
23 cnvimass 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
24 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
2524adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  dom  g  =  NN )
2623, 25syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
2726sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
28 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  e.  NN0 )
2928adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  NN )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
3027, 29syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
3127nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
3230, 31nn0mulcld 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  CC )
34 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  g : NN --> NN0 )
35 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  e.  _V
36 frnnn0supp 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  g : NN --> NN0 )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
3735, 36mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : NN --> NN0  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN ) )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
39 eqimss 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN )  ->  ( g supp  0 )  C_  ( `' g " NN ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 ) 
C_  ( `' g
" NN ) )
4135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  e.  _V )
42 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
4434, 40, 41, 43suppssr 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( g `  k
)  =  0 )
4544oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( 0  x.  k ) )
46 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
k  e.  NN )
48 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
49 mul02 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( 0  x.  k
)  =  0 )
5145, 50eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0 )
52 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5352eqimssi 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5526, 33, 51, 54sumss 13768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
56 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
5756, 32fsumnn0cl 13780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
5855, 57eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
59 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
6058, 59syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
61603impia 1202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  N  e.  NN0 )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
6362nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
6418nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  ( g `  x
) )
65 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  1  <_  x )
6665adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  1  <_  x )
6719, 21, 64, 66lemulge11d 10544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
6856adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( `' g " NN )  e. 
Fin )
6932nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
7069adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
7132nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
7271adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
73 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
74 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
7573, 74oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  =  ( ( g `
 x )  x.  x ) )
76 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  x  e.  ( `' g " NN ) )
7768, 70, 72, 75, 76fsumge1 13835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
7877expr 618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
79 eldif 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )
8051ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0 )
8175eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0  <->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 ) )
8281rspccva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 )
8380, 82sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
8479, 83sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
8556adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
8632adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
8786nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
8886nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
8985, 87, 88fsumge0 13833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9089adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9184, 90eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9291expr 618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
9378, 92pm2.61d 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9455adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
9593, 94breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
96953adantl3 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
97 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )
9896, 97breqtrd 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  N )
9919, 22, 63, 67, 98letrd 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  N )
100 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10118, 100syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
10262nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
103 elfz5 11790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
104101, 102, 103syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
10599, 104mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( 0 ... N
) )
106105adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( 0 ... N ) )
107 iftrue 3921 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
108107adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
109106, 108eleqtrrd 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
110 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  x )  e.  NN  ->  1  <_  ( g `  x
) )
111 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
112111adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN0 )
113112nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  x )
114 lemulge12 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_  x  /\  1  <_  (
g `  x )
) )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
115114expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  0  <_  x
)  ->  ( 1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
11621, 19, 113, 115syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
117 letr 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( g `  x )  x.  x
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( ( g `  x )  x.  x
)  /\  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
11821, 22, 63, 117syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( x  <_  (
( g `  x
)  x.  x )  /\  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
11998, 118mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  ( (
g `  x )  x.  x )  ->  x  <_  N ) )
120116, 119syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  N ) )
121110, 120syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  <_  N ) )
122 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
123122, 52syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
124 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
125123, 102, 124syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
126121, 125sylibrd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... N ) ) )
127126con3d 138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  ->  -.  ( g `  x
)  e.  NN ) )
128 elnn0 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  NN0  <->  ( ( g `
 x )  e.  NN  \/  ( g `
 x )  =  0 ) )
12918, 128sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  \/  ( g `  x
)  =  0 ) )
130129ord 378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  ( g `  x
)  e.  NN  ->  ( g `  x )  =  0 ) )
131127, 130syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  -> 
( g `  x
)  =  0 ) )
132131imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  =  0 )
133 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
134133elsnc 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  e.  { 0 }  <-> 
( g `  x
)  =  0 )
135132, 134sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  {
0 } )
1368adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  {
0 } )
137135, 136eleqtrrd 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
138109, 137pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N
) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
139138ralrimiva 2846 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  A. x  e.  NN  ( g `  x
)  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
140 vex 3090 . . . . . 6  |-  g  e. 
_V
141140elixp 7537 . . . . 5  |-  ( g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  <->  ( g  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) ) )
14216, 139, 141sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
14314, 142sylbi 198 . . 3  |-  ( g  e.  P  ->  g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } ) )
144143ssriv 3474 . 2  |-  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )
145 ssfi 7798 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin  /\  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )  ->  P  e.  Fin )
14612, 144, 145mp2an 676 1  |-  P  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3915   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426   {copab 4483    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   supp csupp 6925    ^m cmap 7480   X_cixp 7530   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543    <_ cle 9675   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   ^cexp 12269   sum_csu 13730    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731
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