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Theorem eulerpartlemb 26681
Description: Lemma for eulerpart 26695. The set of all partitions of  N is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemb  |-  P  e. 
Fin
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, y    f, N, g, x    P, g
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n, r)    J( x, y, z, f, g, k, n, r)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( y, z, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemb
StepHypRef Expression
1 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fzfi 11790 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
Fin
3 snfi 7386 . . . . . 6  |-  { 0 }  e.  Fin
42, 3keepel 3854 . . . . 5  |-  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  e.  Fin )
6 eldifn 3476 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )
76adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  -.  x  e.  ( 1 ... N
) )
8 iffalse 3796 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 } )
9 eqimss 3405 . . . . 5  |-  ( if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  =  { 0 }  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  C_  { 0 } )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( NN  \  (
1 ... N ) ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  C_  { 0 } )
111, 5, 10ixpfi2 7605 . . 3  |-  ( T. 
->  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin )
1211trud 1373 . 2  |-  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  e.  Fin
13 eulerpart.p . . . . 5  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
1413eulerpartleme 26676 . . . 4  |-  ( g  e.  P  <->  ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N ) )
15 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( g : NN --> NN0  ->  g  Fn  NN )
16153ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  Fn  NN )
17 simp1 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g : NN --> NN0 )
18 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  NN0 )
1917, 18sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  NN0 )
20 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  e.  NN0  ->  ( g `
 x )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
2221idi 2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
23 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
2423adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
2524idi 2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
26 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( g `  x )  x.  x
)  e.  RR )
2722, 25, 26syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  e.  RR )
28 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' g " NN ) 
C_  dom  g
29 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g : NN --> NN0  ->  dom  g  =  NN )
3029adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  dom  g  =  NN )
3128, 30syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  C_  NN )
3231sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
33 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k
)  e.  NN0 )
3433adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  NN )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
3532, 34syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
g `  k )  e.  NN0 )
36 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3732, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN0 )
38 nn0mulcl 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  k
)  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
3935, 37, 38syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
40 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( g `  k )  x.  k )  e.  CC )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  CC )
42 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  g : NN --> NN0 )
43 nnex 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  e.  _V
44 frnnn0supp 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  g : NN --> NN0 )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
4543, 44mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : NN --> NN0  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN ) )
4645adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 )  =  ( `' g
" NN ) )
47 eqimss 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g supp  0 )  =  ( `' g " NN )  ->  ( g supp  0 )  C_  ( `' g " NN ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( g supp  0 ) 
C_  ( `' g
" NN ) )
4943a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  e.  _V )
50 0nn0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  NN0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
5242, 48, 49, 51suppssr 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( g `  k
)  =  0 )
5352oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  ( 0  x.  k ) )
54 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  ->  k  e.  NN )
5554adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
k  e.  NN )
56 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
57 mul02 9543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
5855, 56, 573syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( 0  x.  k
)  =  0 )
5953, 58eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0 )
60 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6160eqimssi 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6331, 41, 59, 62sumss 13197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
64 nn0sscn 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  CC
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  NN0  C_  CC )
66 nn0addcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  y )  e.  NN0 )
6766adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 ) )  ->  ( x  +  y )  e.  NN0 )
68 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
6965, 67, 68, 39, 51fsumcllem 13205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  e.  NN0 )
7063, 69eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  e.  NN0 )
71 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N  ->  ( sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
7270, 71syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
)  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
73723impia 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  N  e.  NN0 )
7473adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
75 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
7719idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  NN0 )
78 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( g `  x
) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  ( g `  x
) )
80 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  1  <_  x )
8180adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  1  <_  x )
82 lemulge11 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( g `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( g `  x
)  /\  1  <_  x ) )  ->  (
g `  x )  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
8321, 24, 79, 81, 82syl22anc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
8468adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( `' g " NN )  e. 
Fin )
85 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( g `  k )  x.  k )  e.  RR )
8639, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
8786adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
88 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ( g `  k )  x.  k
) )
8939, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
9089adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
91 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
92 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
9391, 92oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  =  ( ( g `
 x )  x.  x ) )
94 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  x  e.  ( `' g " NN ) )
9584, 87, 90, 93, 94fsumge1 13256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  ->  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
9695expr 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
97 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( NN  \ 
( `' g " NN ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )
9859ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  ->  A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0 )
9993eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( g `  k )  x.  k
)  =  0  <->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 ) )
10099rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  0  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  =  0 )
10198, 100sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  ( NN  \  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
10297, 101sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  =  0 )
10368adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `' g " NN )  e.  Fin )
10439adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  NN0 )
105104, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  (
( g `  k
)  x.  k )  e.  RR )
106104, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin )  /\  x  e.  NN )  /\  k  e.  ( `' g " NN ) )  ->  0  <_  ( ( g `  k )  x.  k
) )
107103, 105, 106fsumge0 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
108107adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
109102, 108eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  (
x  e.  NN  /\  -.  x  e.  ( `' g " NN ) ) )  -> 
( ( g `  x )  x.  x
)  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
110109expr 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  ( `' g " NN )  ->  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) ) )
11196, 110pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k ) )
11263adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( `' g " NN ) ( ( g `
 k )  x.  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k ) )
113111, 112breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
1141133adantl3 1141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( g `  k )  x.  k
) )
115 simpl3 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )
116114, 115breqtrd 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  <_  N )
11721, 27, 76, 83, 116letrd 9524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  <_  N )
118 nn0uz 10891 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
11919, 118syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
120 nn0z 10665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
12174, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
122 elfz5 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
123119, 121, 122syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( g `  x )  <_  N
) )
124117, 123mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  ( 0 ... N
) )
125124adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( 0 ... N ) )
126 iftrue 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
127126adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } )  =  ( 0 ... N ) )
128125, 127eleqtrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  (
1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
129 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  x )  e.  NN  ->  1  <_  ( g `  x
) )
130 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
131130adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN0 )
132 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  NN0  ->  0  <_  x )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  0  <_  x )
134 lemulge12 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_  x  /\  1  <_  (
g `  x )
) )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) )
135134expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( g `  x
)  e.  RR )  /\  0  <_  x
)  ->  ( 1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
13624, 21, 133, 135syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  ( ( g `  x )  x.  x
) ) )
13727idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  x.  x )  e.  RR )
13876idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
139 letr 9464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( g `  x )  x.  x
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( ( g `  x )  x.  x
)  /\  ( (
g `  x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
14025, 137, 138, 139syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( x  <_  (
( g `  x
)  x.  x )  /\  ( ( g `
 x )  x.  x )  <_  N
)  ->  x  <_  N ) )
141116, 140mpan2d 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  ( (
g `  x )  x.  x )  ->  x  <_  N ) )
142136, 141syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( g `  x )  ->  x  <_  N ) )
143129, 142syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  <_  N ) )
144 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
145144, 60syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
146 elfz5 11441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
147145, 121, 146syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  x  <_  N ) )
148143, 147sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... N ) ) )
149148con3d 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  ->  -.  ( g `  x
)  e.  NN ) )
150 elnn0 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  NN0  <->  ( ( g `
 x )  e.  NN  \/  ( g `
 x )  =  0 ) )
15119, 150sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( g `  x
)  e.  NN  \/  ( g `  x
)  =  0 ) )
152151ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  ( g `  x
)  e.  NN  ->  ( g `  x )  =  0 ) )
153149, 152syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... N )  -> 
( g `  x
)  =  0 ) )
154153imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  =  0 )
155 fvex 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
156155elsnc 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  e.  { 0 }  <-> 
( g `  x
)  =  0 )
157154, 156sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  {
0 } )
1588adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  if (
x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )  =  {
0 } )
159157, 158eleqtrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
160128, 159pm2.61dan 784 . . . . . 6  |-  ( ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g
" NN )  e. 
Fin  /\  sum_ k  e.  NN  ( ( g `
 k )  x.  k )  =  N )  /\  x  e.  NN )  ->  (
g `  x )  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N
) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
161160ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  ->  A. x  e.  NN  ( g `  x
)  e.  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) )
162 vex 2973 . . . . . 6  |-  g  e. 
_V
163162elixp 7266 . . . . 5  |-  ( g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  <->  ( g  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( g `  x )  e.  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } ) ) )
16416, 161, 163sylanbrc 659 . . . 4  |-  ( ( g : NN --> NN0  /\  ( `' g " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( g `  k
)  x.  k )  =  N )  -> 
g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )
16514, 164sylbi 195 . . 3  |-  ( g  e.  P  ->  g  e.  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } ) )
166165ssriv 3357 . 2  |-  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  (
1 ... N ) ,  ( 0 ... N
) ,  { 0 } )
167 ssfi 7529 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  {
0 } )  e. 
Fin  /\  P  C_  X_ x  e.  NN  if ( x  e.  ( 1 ... N ) ,  ( 0 ... N ) ,  { 0 } ) )  ->  P  e.  Fin )
16812, 166, 167mp2an 667 1  |-  P  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289   {copab 4346    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   X_cixp 7259   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    <_ cle 9415   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   sum_csu 13159    || cdivides 13531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
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