Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlem1 26772
Description: Lemma for eulerpart 26787 (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Distinct variable groups:    x, r,
y, J    H, r
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z,
f, g, k, n)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 ssrab2 3458 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
31, 2eqsstri 3407 . . . 4  |-  J  C_  NN
4 nnex 10349 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
54ssex 4457 . . . 4  |-  ( J 
C_  NN  ->  J  e. 
_V )
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  J  e. 
_V
7 nn0ex 10606 . . 3  |-  NN0  e.  _V
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  =  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
9 eulerpart.h . . 3  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
106, 7, 8, 9fpwrelmapffs 26056 . 2  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
11 eulerpart.m . . . 4  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
12 ssrab2 3458 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )
137pwex 4496 . . . . . . . 8  |-  ~P NN0  e.  _V
14 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
15 mapss 7276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P NN0  e.  _V  /\  ( ~P NN0  i^i  Fin )  C_  ~P NN0 )  ->  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  J
)  C_  ( ~P NN0  ^m  J ) )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
1712, 16sstri 3386 . . . . . 6  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )
189, 17eqsstri 3407 . . . . 5  |-  H  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
19 resmpt 5177 . . . . 5  |-  ( H 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )  ->  (
( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
2111, 20eqtr4i 2466 . . 3  |-  M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )
22 f1oeq1 5653 . . 3  |-  ( M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  ->  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . 2  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) )
2410, 23mpbir 209 1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   class class class wbr 4313   {copab 4370    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   `'ccnv 4860    |` cres 4863   "cima 4864   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   supp csupp 6711    ^m cmap 7235   Fincfn 7331   1c1 9304    x. cmul 9308    <_ cle 9440   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ^cexp 11886   sum_csu 13184    || cdivides 13556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-fin 7335  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307  df-nn 10344  df-n0 10601
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  26777  eulerpartlemgvv  26781  eulerpartlemgf  26784
  Copyright terms: Public domain W3C validator