Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlem1 28489
Description: Lemma for eulerpart 28504 (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Distinct variable groups:    x, r,
y, J    H, r
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z,
f, g, k, n)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 nnex 10458 . . . 4  |-  NN  e.  _V
31, 2rabex2 4518 . . 3  |-  J  e. 
_V
4 nn0ex 10718 . . 3  |-  NN0  e.  _V
5 eqid 2382 . . 3  |-  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  =  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
6 eulerpart.h . . 3  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 27707 . 2  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
8 eulerpart.m . . . 4  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
9 ssrab2 3499 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )
104pwex 4548 . . . . . . . 8  |-  ~P NN0  e.  _V
11 inss1 3632 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
12 mapss 7380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P NN0  e.  _V  /\  ( ~P NN0  i^i  Fin )  C_  ~P NN0 )  ->  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  J
)  C_  ( ~P NN0  ^m  J ) )
1310, 11, 12mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
149, 13sstri 3426 . . . . . 6  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )
156, 14eqsstri 3447 . . . . 5  |-  H  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
16 resmpt 5235 . . . . 5  |-  ( H 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )  ->  (
( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
188, 17eqtr4i 2414 . . 3  |-  M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )
19 f1oeq1 5715 . . 3  |-  ( M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  ->  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) )
217, 20mpbir 209 1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   class class class wbr 4367   {copab 4424    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911   `'ccnv 4912    |` cres 4915   "cima 4916   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   supp csupp 6817    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   1c1 9404    x. cmul 9408    <_ cle 9540   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ^cexp 12069   sum_csu 13510    || cdvds 13988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-ac2 8756  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-fin 7439  df-card 8233  df-acn 8236  df-ac 8410  df-nn 10453  df-n0 10713
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28494  eulerpartlemgvv  28498  eulerpartlemgf  28501
  Copyright terms: Public domain W3C validator