Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Unicode version

Theorem eulerpartlem1 27974
Description: Lemma for eulerpart 27989 (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Distinct variable groups:    x, r,
y, J    H, r
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, r)    P( x, y, z, f, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z,
f, g, k, n)    M( x, y, z, f, g, k, n, r)    N( x, y, z, f, g, k, n, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . . 5  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 ssrab2 3585 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
31, 2eqsstri 3534 . . . 4  |-  J  C_  NN
4 nnex 10542 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
54ssex 4591 . . . 4  |-  ( J 
C_  NN  ->  J  e. 
_V )
63, 5ax-mp 5 . . 3  |-  J  e. 
_V
7 nn0ex 10801 . . 3  |-  NN0  e.  _V
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  =  ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
9 eulerpart.h . . 3  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
106, 7, 8, 9fpwrelmapffs 27257 . 2  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
11 eulerpart.m . . . 4  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
12 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )
137pwex 4630 . . . . . . . 8  |-  ~P NN0  e.  _V
14 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
15 mapss 7461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P NN0  e.  _V  /\  ( ~P NN0  i^i  Fin )  C_  ~P NN0 )  ->  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  J
)  C_  ( ~P NN0  ^m  J ) )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
1712, 16sstri 3513 . . . . . 6  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )
189, 17eqsstri 3534 . . . . 5  |-  H  C_  ( ~P NN0  ^m  J
)
19 resmpt 5323 . . . . 5  |-  ( H 
C_  ( ~P NN0  ^m  J )  ->  (
( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H )  =  ( r  e.  H  |->  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
2111, 20eqtr4i 2499 . . 3  |-  M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )
22 f1oeq1 5807 . . 3  |-  ( M  =  ( ( r  e.  ( ~P NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  |`  H )  ->  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . 2  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  <->  ( (
r  e.  ( ~P
NN0  ^m  J )  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )  |`  H ) : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) )
2410, 23mpbir 209 1  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   1c1 9493    x. cmul 9497    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ^cexp 12134   sum_csu 13471    || cdivides 13847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-nn 10537  df-n0 10796
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  27979  eulerpartlemgvv  27983  eulerpartlemgf  27986
  Copyright terms: Public domain W3C validator