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Theorem eulerpartgbij 28508
Description: Lemma for eulerpart 28518: The  G function is a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartgbij  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, x, y, z    o, F   
f, r, J, o, x, y    o, M, r    f, N, g, x    P, g    R, f, o    o, H, r    T, f, o
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, n, o, r)    R( x, y, z, g, k, n, r)    T( x, y, z, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z, g, k, n)    M( x, y, z, f, g, k, n)    N( y,
z, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartgbij
Dummy variables  a  m  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10562 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
2 indf1ofs 28200 . . . . 5  |-  ( NN  e.  _V  ->  (
(𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }
4 incom 3687 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
5 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
65ineq2i 3693 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  =  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  { f  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
7 dfrab2 3781 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
84, 6, 73eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  =  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 elmapfun 7461 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  Fun  f
)
10 elmapi 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  f : NN --> { 0 ,  1 } )
11 frn 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ran  f  C_ 
{ 0 ,  1 } )
13 fimacnvinrn2 27624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )  -> 
( `' f " NN )  =  ( `' f " ( NN  i^i  { 0 ,  1 } ) ) )
14 df-pr 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
1514ineq2i 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  ( NN  i^i  ( { 0 }  u.  {
1 } ) )
16 indi 3751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
i^i  ( { 0 }  u.  { 1 } ) )  =  ( ( NN  i^i  { 0 } )  u.  ( NN  i^i  {
1 } ) )
17 0nnn 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  0  e.  NN
18 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
1917, 18mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
20 1nn 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
21 1ex 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  _V
2221snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  NN  <->  { 1 }  C_  NN )
2320, 22mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 1 }  C_  NN
24 dfss 3486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  { 1 }  =  ( { 1 }  i^i  NN ) )
2523, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1 }  =  ( { 1 }  i^i  NN )
26 incom 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { 1 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { 1 } )
2725, 26eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
i^i  { 1 } )  =  { 1 }
2819, 27uneq12i 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  u.  ( NN  i^i  { 1 } ) )  =  (
(/)  u.  { 1 } )
2915, 16, 283eqtri 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  (
(/)  u.  { 1 } )
30 uncom 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u. 
{ 1 } )  =  ( { 1 }  u.  (/) )
31 un0 3819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 1 }  u.  (/) )  =  { 1 }
3229, 30, 313eqtri 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  {
1 }
3332imaeq2i 5345 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f " ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } ) )  =  ( `' f " { 1 } )
3413, 33syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )  -> 
( `' f " NN )  =  ( `' f " {
1 } ) )
359, 12, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' f
" { 1 } ) )
3635eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin )
)
3736rabbiia 3098 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }
388, 37eqtr2i 2487 . . . . 5  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " {
1 } )  e. 
Fin }  =  (
( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
39 f1oeq3 5815 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin }  =  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }  <->  ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }  <->  ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
413, 40mpbi 208 . . 3  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
42 eulerpart.j . . . . . . 7  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
43 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
4442, 43oddpwdc 28490 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
45 f1opwfi 7842 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
47 eulerpart.p . . . . . . . 8  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
48 eulerpart.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
49 eulerpart.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
50 eulerpart.h . . . . . . . 8  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
51 eulerpart.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
5247, 48, 49, 42, 43, 50, 51eulerpartlem1 28503 . . . . . . 7  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
53 bitsf1o 14107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
5542, 1rabex2 4609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e. 
_V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  J  e.  _V )
57 nn0ex 10822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
5957pwex 4639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P NN0  e.  _V
6059inex1 4597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ~P NN0  i^i  Fin )  e.  _V )
62 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
64 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  0
)  =  (bits ` 
0 ) )
6562, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  0
)  =  (bits ` 
0 )
66 0bits 14101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
6765, 66eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  =  ( (bits  |`  NN0 ) ` 
0 )
68 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  f : J --> NN0 )
69 frnnn0supp 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  _V  /\  f : J --> NN0 )  ->  ( f supp  0 )  =  ( `' f
" NN ) )
7055, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
f supp  0 )  =  ( `' f " NN ) )
7170eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
( f supp  0 )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e. 
Fin ) )
7271rabbiia 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( f supp  0 )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  ( NN0 
^m  J )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
73 elmapfun 7461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  Fun  f )
74 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
75 funisfsupp 7852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  f  /\  f  e.  _V  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
f finSupp  0  <->  ( f supp  0
)  e.  Fin )
)
7674, 62, 75mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  f  ->  ( f finSupp  0  <-> 
( f supp  0 )  e.  Fin ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
f finSupp  0  <->  ( f supp  0
)  e.  Fin )
)
7877rabbiia 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  f finSupp 
0 }  =  {
f  e.  ( NN0 
^m  J )  |  ( f supp  0 )  e.  Fin }
79 incom 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( NN0  ^m  J ) )  =  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
80 dfrab2 3781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( NN0  ^m  J ) )
815ineq2i 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  {
f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
8279, 80, 813eqtr4ri 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
8372, 78, 823eqtr4ri 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  f finSupp  0 }
84 elmapfun 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  ->  Fun  r )
85 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  r  e. 
_V
86 0ex 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
87 funisfsupp 7852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  r  /\  r  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( r finSupp  (/)  <->  ( r supp  (/) )  e.  Fin )
)
8885, 86, 87mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  r  ->  ( r finSupp  (/)  <->  (
r supp  (/) )  e.  Fin ) )
8988bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  r  ->  ( (
r supp  (/) )  e.  Fin  <->  r finSupp  (/) ) )
9084, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  ->  (
( r supp  (/) )  e. 
Fin 
<->  r finSupp  (/) ) )
9190rabbiia 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  J
)  |  r finSupp  (/) }
9254, 56, 58, 61, 63, 67, 83, 91fcobijfs 27706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
93 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  C_  ( NN0  ^m  J )
9493sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  f  e.  ( NN0  ^m  J
) )
95 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : J --> NN0  ->  ran  f  C_  NN0 )
96 cores 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  f  C_  NN0  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9768, 95, 963syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9998mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f
) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )
10099eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) )
101 f1oeq1 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) ) : ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R ) -1-1-onto-> {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  <->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
102100, 101mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) ) : ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R ) -1-1-onto-> {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  <->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
10392, 102mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } )
104103trud 1404 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
105 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
10642, 105eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  C_  NN
1071, 57, 1063pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN  e.  _V  /\  NN0  e.  _V  /\  J  C_  NN )
108 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
109 cnveq 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  o  ->  `' f  =  `' o
)
110 dfn2 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  o  ->  NN  =  ( NN0  \  {
0 } ) )
112109, 111imaeq12d 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  o  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' o " ( NN0  \  {
0 } ) ) )
113112sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  o  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' o " ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J ) )
114113cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  C_  J }  =  { o  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' o
" ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J }
115108, 114eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { o  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' o
" ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J }
116 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )
117115, 116resf1o 27710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( NN  e.  _V  /\ 
NN0  e.  _V  /\  J  C_  NN )  /\  0  e.  NN0 )  ->  (
o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) : T -1-1-onto-> ( NN0 
^m  J ) )
118107, 62, 117mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-onto-> ( NN0  ^m  J
)
119 f1of1 5821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) : T -1-1-onto-> ( NN0 
^m  J )  -> 
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J )
121 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  i^i  R )  C_  T
122 f1ores 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J )  /\  ( T  i^i  R )  C_  T )  ->  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) ) )
123120, 121, 122mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
)  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )
124 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  o  e. 
_V
125124resex 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  |`  J )  e.  _V
126125, 116fnmpti 5715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  Fn  T
127 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  Fn  T  /\  ( T  i^i  R ) 
C_  T )  -> 
( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f ) )
128126, 121, 127mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f )
129 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  =  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) )
130 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  m  e. 
_V
131130resex 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  |`  J )  e.  _V
132129, 131elrnmpti 5263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) f  =  ( m  |`  J )
)
13347, 48, 49, 42, 43, 50, 51, 5, 108eulerpartlemt 28507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
134133eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  <->  f  e.  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) ) )
135121sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  m  e.  T )
136116fvtresfn 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  T  ->  (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  ( m  |`  J ) )
137136eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  T  ->  (
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <-> 
( m  |`  J )  =  f ) )
138135, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  ( m  |`  J )  =  f ) )
139 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  |`  J )  =  f  <->  f  =  ( m  |`  J )
)
140138, 139syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  f  =  ( m  |`  J ) ) )
141140rexbiia 2958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) f  =  ( m  |`  J )
)
142132, 134, 1413bitr4ri 278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
143128, 142bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
144143eqriv 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) )  =  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )
145 f1oeq3 5815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )  =  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  (
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) )  <-> 
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  ( (
o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
)  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
147 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  i^i  R ) 
C_  T  ->  (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) )
148 f1oeq1 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) ) )
149121, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
150146, 149bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
151123, 150mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
152 f1oco 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )  ->  (
( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
153104, 151, 152mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
154 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  -> 
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
155 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )
156155fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
157156biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  ->  A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R ) )
158151, 154, 157mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. o  e.  ( T  i^i  R
) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R ) )
160 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) )
161 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) ) )
162 coeq2 5171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( o  |`  J )  ->  (bits  o.  f )  =  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) )
163159, 160, 161, 162fmptcof 6066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) )
164163eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  =  ( ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) ) )
165 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( T  i^i  R
)  =  ( T  i^i  R ) )
16650a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  H  =  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
167164, 165, 166f1oeq123d 5819 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H  <->  ( (
f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
168153, 167mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H )
169168trud 1404 . . . . . . 7  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H
170 f1oco 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H )  ->  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
17152, 169, 170mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
172 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )
173 bitsf 14089 . . . . . . . . . . . . . 14  |- bits : ZZ --> ~P NN0
174 zex 10894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
175 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (bits
: ZZ --> ~P NN0  /\  ZZ  e.  _V )  -> bits  e.  _V )
176173, 174, 175mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |- bits  e.  _V
177176, 125coex 6751 . . . . . . . . . . . 12  |-  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  _V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  _V )
179172, 178fvmpt2d 5966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) `
 o )  =  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )
180 f1of 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> H )
181168, 180syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> H )
182181ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) `
 o )  e.  H )
183179, 182eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  H )
184 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M  Fn  H )
18552, 184ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  M  Fn  H
186 dffn5 5918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  Fn  H  <->  M  =  ( r  e.  H  |->  ( M `  r
) ) )
187185, 186mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  ( M `  r
) )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  M  =  (
r  e.  H  |->  ( M `  r ) ) )
189 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  (bits  o.  (
o  |`  J ) )  ->  ( M `  r )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
190183, 172, 188, 189fmptco 6065 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( M  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
191190trud 1404 . . . . . . 7  |-  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
192 f1oeq1 5813 . . . . . . 7  |-  ( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  -> 
( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) ) )
193191, 192ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
194171, 193mpbi 208 . . . . 5  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
195 f1oco 5844 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)  ->  ( (
a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
19646, 194, 195mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
197 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  o  e.  ( T  i^i  R
) )
198 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) )  e.  _V
199 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
200199fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
201197, 198, 200sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
202 f1of 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
203194, 202mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
204203ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
205201, 204eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) )
206 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
207 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  =  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) ) )
208 imaeq2 5343 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  ->  ( F "
a )  =  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
209205, 206, 207, 208fmptco 6065 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
210209trud 1404 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
211 f1oeq1 5813 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) 
<->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) ) )
212210, 211ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
213196, 212mpbi 208 . . 3  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
214 f1oco 5844 . . 3  |-  ( ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
21541, 213, 214mp2an 672 . 2  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
216 eulerpart.g . . . 4  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
21743mpt2exg 6874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  F  e.  _V )
21855, 57, 217mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  F  e. 
_V
219 imaexg 6736 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  _V )
220218, 219ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  _V
221 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
222221fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) `
 o )  =  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
223197, 220, 222sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) `  o )  =  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
224 f1of 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
225213, 224mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
226225ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) `  o )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
227223, 226eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
)
228 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
229 indf1o 28198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  e.  _V  ->  (𝟭 `  NN ) : ~P NN
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
230 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (𝟭 `  NN ) : ~P NN
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN )
2311, 229, 230mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN
232 dffn5 5918 . . . . . . . . . 10  |-  ( (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN 
<->  (𝟭 `  NN )  =  ( b  e. 
~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b
) ) )
233231, 232mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  (𝟭 `  NN )  =  ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b
) )
234233reseq1i 5279 . . . . . . . 8  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b ) )  |`  Fin )
235 resmpt3 5334 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b ) )  |`  Fin )  =  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
)
236234, 235eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
)
237236a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
) )
238 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  -> 
( (𝟭 `  NN ) `  b )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
239227, 228, 237, 238fmptco 6065 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) ) )
240239trud 1404 . . . 4  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
241216, 240eqtr4i 2489 . . 3  |-  G  =  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
242 f1oeq1 5813 . . 3  |-  ( G  =  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  <-> 
( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) ) )
243241, 242ax-mp 5 . 2  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  <-> 
( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
244215, 243mpbir 209 1  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ^cexp 12169   sum_csu 13520    || cdvds 13998  bitscbits 14081  𝟭cind 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-bits 14084  df-ind 28186
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