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Theorem eulerpartgbij 29205
Description: Lemma for eulerpart 29215: The  G function is a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
eulerpart.j  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
eulerpart.f  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
eulerpart.h  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
eulerpart.m  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
eulerpart.r  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
eulerpart.t  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
eulerpart.g  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartgbij  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n, o, x, y, z    o, F   
f, r, J, o, x, y    o, M, r    f, N, g, x    P, g    R, f, o    o, H, r    T, f, o
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    P( x, y, z, f, k, n, o, r)    R( x, y, z, g, k, n, r)    T( x, y, z, g, k, n, r)    F( x, y, z, f, g, k, n, r)    G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)    H( x, y, z, f, g, k, n)    J( z, g, k, n)    M( x, y, z, f, g, k, n)    N( y,
z, k, n, o, r)    O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartgbij
Dummy variables  a  m  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10615 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
2 indf1ofs 28847 . . . . 5  |-  ( NN  e.  _V  ->  (
(𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> {
f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin } )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }
4 incom 3625 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
5 eulerpart.r . . . . . . . 8  |-  R  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
65ineq2i 3631 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  =  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  { f  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
7 dfrab2 3719 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
84, 6, 73eqtr4i 2483 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  =  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 elmapfun 7495 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  Fun  f
)
10 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  f : NN --> { 0 ,  1 } )
11 frn 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN --> { 0 ,  1 }  ->  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ran  f  C_ 
{ 0 ,  1 } )
13 fimacnvinrn2 28236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )  -> 
( `' f " NN )  =  ( `' f " ( NN  i^i  { 0 ,  1 } ) ) )
14 df-pr 3971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
1514ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  ( NN  i^i  ( { 0 }  u.  {
1 } ) )
16 indi 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
i^i  ( { 0 }  u.  { 1 } ) )  =  ( ( NN  i^i  { 0 } )  u.  ( NN  i^i  {
1 } ) )
17 0nnn 10641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  0  e.  NN
18 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
1917, 18mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
20 1nn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
21 1ex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  _V
2221snss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  NN  <->  { 1 }  C_  NN )
2320, 22mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 1 }  C_  NN
24 dfss 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  { 1 }  =  ( { 1 }  i^i  NN ) )
2523, 24mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1 }  =  ( { 1 }  i^i  NN )
26 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { 1 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { 1 } )
2725, 26eqtr2i 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
i^i  { 1 } )  =  { 1 }
2819, 27uneq12i 3586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  u.  ( NN  i^i  { 1 } ) )  =  (
(/)  u.  { 1 } )
2915, 16, 283eqtri 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  (
(/)  u.  { 1 } )
30 uncom 3578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u. 
{ 1 } )  =  ( { 1 }  u.  (/) )
31 un0 3759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 1 }  u.  (/) )  =  { 1 }
3229, 30, 313eqtri 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } )  =  {
1 }
3332imaeq2i 5166 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f " ( NN 
i^i  { 0 ,  1 } ) )  =  ( `' f " { 1 } )
3413, 33syl6eq 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  { 0 ,  1 } )  -> 
( `' f " NN )  =  ( `' f " {
1 } ) )
359, 12, 34syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' f
" { 1 } ) )
3635eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin )
)
3736rabbiia 3033 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }
388, 37eqtr2i 2474 . . . . 5  |-  { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " {
1 } )  e. 
Fin }  =  (
( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
39 f1oeq3 5807 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f " { 1 } )  e.  Fin }  =  ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  ->  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }  <->  ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> { f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  |  ( `' f
" { 1 } )  e.  Fin }  <->  ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
413, 40mpbi 212 . . 3  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
42 eulerpart.j . . . . . . 7  |-  J  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
43 eulerpart.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  J ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
4442, 43oddpwdc 29187 . . . . . 6  |-  F :
( J  X.  NN0 )
-1-1-onto-> NN
45 f1opwfi 7878 . . . . . 6  |-  ( F : ( J  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
47 eulerpart.p . . . . . . . 8  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
48 eulerpart.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
49 eulerpart.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
50 eulerpart.h . . . . . . . 8  |-  H  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
51 eulerpart.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  J  /\  y  e.  ( r `  x
) ) } )
5247, 48, 49, 42, 43, 50, 51eulerpartlem1 29200 . . . . . . 7  |-  M : H
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
53 bitsf1o 14419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin ) )
5542, 1rabex2 4556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e. 
_V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  J  e.  _V )
57 nn0ex 10875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  NN0  e.  _V )
5957pwex 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P NN0  e.  _V
6059inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ~P NN0  i^i  Fin )  e.  _V )
62 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
64 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  0
)  =  (bits ` 
0 ) )
6562, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (bits  |`  NN0 ) `  0
)  =  (bits ` 
0 )
66 0bits 14413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
6765, 66eqtr2i 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  =  ( (bits  |`  NN0 ) ` 
0 )
68 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  f : J --> NN0 )
69 frnnn0supp 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  _V  /\  f : J --> NN0 )  ->  ( f supp  0 )  =  ( `' f
" NN ) )
7055, 68, 69sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
f supp  0 )  =  ( `' f " NN ) )
7170eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
( f supp  0 )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e. 
Fin ) )
7271rabbiia 3033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( f supp  0 )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  ( NN0 
^m  J )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
73 elmapfun 7495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  Fun  f )
74 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
75 funisfsupp 7888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  f  /\  f  e.  _V  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
f finSupp  0  <->  ( f supp  0
)  e.  Fin )
)
7674, 62, 75mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  f  ->  ( f finSupp  0  <-> 
( f supp  0 )  e.  Fin ) )
7773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
f finSupp  0  <->  ( f supp  0
)  e.  Fin )
)
7877rabbiia 3033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  f finSupp 
0 }  =  {
f  e.  ( NN0 
^m  J )  |  ( f supp  0 )  e.  Fin }
79 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( NN0  ^m  J ) )  =  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
80 dfrab2 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  ( { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  ( NN0  ^m  J ) )
815ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  {
f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
8279, 80, 813eqtr4ri 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
8372, 78, 823eqtr4ri 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  J )  |  f finSupp  0 }
84 elmapfun 7495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  ->  Fun  r )
85 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  r  e. 
_V
86 0ex 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
87 funisfsupp 7888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  r  /\  r  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( r finSupp  (/)  <->  ( r supp  (/) )  e.  Fin )
)
8885, 86, 87mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  r  ->  ( r finSupp  (/)  <->  (
r supp  (/) )  e.  Fin ) )
8988bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  r  ->  ( (
r supp  (/) )  e.  Fin  <->  r finSupp  (/) ) )
9084, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  ->  (
( r supp  (/) )  e. 
Fin 
<->  r finSupp  (/) ) )
9190rabbiia 3033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  J
)  |  r finSupp  (/) }
9254, 56, 58, 61, 63, 67, 83, 91fcobijfs 28311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
93 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  C_  ( NN0  ^m  J )
9493sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  f  e.  ( NN0  ^m  J
) )
95 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : J --> NN0  ->  ran  f  C_  NN0 )
96 cores 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  f  C_  NN0  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9768, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  J )  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9894, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  (
(bits  |`  NN0 )  o.  f )  =  (bits 
o.  f ) )
9998mpteq2ia 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f
) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )
10099eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) )
101 f1oeq1 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) ) : ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R ) -1-1-onto-> {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  <->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
102100, 101mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) ) : ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R ) -1-1-onto-> {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  <->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  ( (bits  |`  NN0 )  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
10392, 102mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } )
104103trud 1453 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
-1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
105 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  C_  NN
10642, 105eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  C_  NN
1071, 57, 1063pm3.2i 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN  e.  _V  /\  NN0  e.  _V  /\  J  C_  NN )
108 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f
" NN )  C_  J }
109 cnveq 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  o  ->  `' f  =  `' o
)
110 dfn2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  o  ->  NN  =  ( NN0  \  {
0 } ) )
112109, 111imaeq12d 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  o  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' o " ( NN0  \  {
0 } ) ) )
113112sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  o  ->  (
( `' f " NN )  C_  J  <->  ( `' o " ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J ) )
114113cbvrabv 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  C_  J }  =  { o  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' o
" ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J }
115108, 114eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { o  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' o
" ( NN0  \  {
0 } ) ) 
C_  J }
116 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )
117115, 116resf1o 28315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( NN  e.  _V  /\ 
NN0  e.  _V  /\  J  C_  NN )  /\  0  e.  NN0 )  ->  (
o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) : T -1-1-onto-> ( NN0 
^m  J ) )
118107, 62, 117mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-onto-> ( NN0  ^m  J
)
119 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) : T -1-1-onto-> ( NN0 
^m  J )  -> 
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J )
121 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  i^i  R )  C_  T
122 f1ores 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) : T -1-1-> ( NN0  ^m  J )  /\  ( T  i^i  R )  C_  T )  ->  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) ) )
123120, 121, 122mp2an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
)  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )
124 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  o  e. 
_V
125124resex 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  |`  J )  e.  _V
126125, 116fnmpti 5706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  Fn  T
127 fvelimab 5921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  Fn  T  /\  ( T  i^i  R ) 
C_  T )  -> 
( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f ) )
128126, 121, 127mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f )
129 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  =  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) )
130 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  m  e. 
_V
131130resex 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  |`  J )  e.  _V
132129, 131elrnmpti 5085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( m  |`  J ) )  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) f  =  ( m  |`  J )
)
13347, 48, 49, 42, 43, 50, 51, 5, 108eulerpartlemt 29204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  =  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( m  |`  J ) )
134133eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  <->  f  e.  ran  ( m  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( m  |`  J ) ) )
135121sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  m  e.  T )
136116fvtresfn 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  T  ->  (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  ( m  |`  J ) )
137136eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  T  ->  (
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <-> 
( m  |`  J )  =  f ) )
138135, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  ( m  |`  J )  =  f ) )
139 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  |`  J )  =  f  <->  f  =  ( m  |`  J )
)
140138, 139syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( T  i^i  R )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  f  =  ( m  |`  J ) ) )
141140rexbiia 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  E. m  e.  ( T  i^i  R
) f  =  ( m  |`  J )
)
142132, 134, 1413bitr4ri 282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. m  e.  ( T  i^i  R ) ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) `  m )  =  f  <->  f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
143128, 142bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
144143eqriv 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) )  =  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )
145 f1oeq3 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) " ( T  i^i  R ) )  =  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  ->  (
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
) " ( T  i^i  R ) )  <-> 
( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  ( (
o  e.  T  |->  ( o  |`  J )
)  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
147 resmpt 5154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  i^i  R ) 
C_  T  ->  (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) )
148 f1oeq1 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )  ->  ( (
( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) ) )
149121, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
150146, 149bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) )  |`  ( T  i^i  R ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( o  e.  T  |->  ( o  |`  J ) ) "
( T  i^i  R
) )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )
151123, 150mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)
152 f1oco 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) ) : ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
) )  ->  (
( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
153104, 151, 152mp2an 678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }
154 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  -> 
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
155 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )
156155fmpt 6043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
)
157156biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) : ( T  i^i  R ) --> ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  ->  A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R ) )
158151, 154, 157mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. o  e.  ( T  i^i  R
) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  A. o  e.  ( T  i^i  R ) ( o  |`  J )  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R ) )
160 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J ) ) )
161 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J
)  i^i  R )  |->  (bits  o.  f ) )  =  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) ) )
162 coeq2 4993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( o  |`  J )  ->  (bits  o.  f )  =  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) )
163159, 160, 161, 162fmptcof 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R
)  |->  (bits  o.  f
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( o  |`  J )
) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) )
164163eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  =  ( ( f  e.  ( ( NN0 
^m  J )  i^i 
R )  |->  (bits  o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( o  |`  J ) ) ) )
165 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( T  i^i  R
)  =  ( T  i^i  R ) )
16650a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  H  =  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } )
167164, 165, 166f1oeq123d 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H  <->  ( (
f  e.  ( ( NN0  ^m  J )  i^i  R )  |->  (bits 
o.  f ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  J )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin } ) )
168153, 167mpbiri 237 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H )
169168trud 1453 . . . . . . 7  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H
170 f1oco 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H )  ->  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
17152, 169, 170mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
172 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )
173 bitsf 14400 . . . . . . . . . . . . . 14  |- bits : ZZ --> ~P NN0
174 zex 10946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
175 fex 6138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (bits
: ZZ --> ~P NN0  /\  ZZ  e.  _V )  -> bits  e.  _V )
176173, 174, 175mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |- bits  e.  _V
177176, 125coex 6745 . . . . . . . . . . . 12  |-  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  _V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  _V )
179172, 178fvmpt2d 5959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) `
 o )  =  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )
180 f1of 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> H  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> H )
181168, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> H )
182181ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) `
 o )  e.  H )
183179, 182eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (bits  o.  ( o  |`  J ) )  e.  H )
184 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  ->  M  Fn  H )
18552, 184ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  M  Fn  H
186 dffn5 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  Fn  H  <->  M  =  ( r  e.  H  |->  ( M `  r
) ) )
187185, 186mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( r  e.  H  |->  ( M `  r
) )
188187a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  M  =  (
r  e.  H  |->  ( M `  r ) ) )
189 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  (bits  o.  (
o  |`  J ) )  ->  ( M `  r )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
190183, 172, 188, 189fmptco 6056 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( M  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits 
o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
191190trud 1453 . . . . . . 7  |-  ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
192 f1oeq1 5805 . . . . . . 7  |-  ( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  -> 
( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) ) )
193191, 192ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( M  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
194171, 193mpbi 212 . . . . 5  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
195 f1oco 5836 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) ) : ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)  ->  ( (
a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
19646, 194, 195mp2an 678 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
197 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  o  e.  ( T  i^i  R
) )
198 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) )  e.  _V
199 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
200199fvmpt2 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
201197, 198, 200sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )
202 f1of 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
203194, 202mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin ) )
204203ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) `  o )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )
)
205201, 204eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) )  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin ) )
206 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
207 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  =  ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) ) )
208 imaeq2 5164 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) )  ->  ( F "
a )  =  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
209205, 206, 207, 208fmptco 6056 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i 
Fin )  |->  ( F
" a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
210209trud 1453 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
211 f1oeq1 5805 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a ) )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) 
<->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) ) )
212210, 211ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( ~P ( J  X.  NN0 )  i^i  Fin )  |->  ( F " a
) )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
213196, 212mpbi 212 . . 3  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )
214 f1oco 5836 . . 3  |-  ( ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin ) : ( ~P NN  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  /\  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
21541, 213, 214mp2an 678 . 2  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
216 eulerpart.g . . . 4  |-  G  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
21743mpt2exg 6868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  F  e.  _V )
21855, 57, 217mp2an 678 . . . . . . . . 9  |-  F  e. 
_V
219 imaexg 6730 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  _V )
220218, 219ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( F
" ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  _V
221 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) )
222221fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  /\  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) `
 o )  =  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
223197, 220, 222sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) `  o )  =  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )
224 f1of 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) --> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
225213, 224mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R
) --> ( ~P NN  i^i  Fin ) )
226225ffvelrnda 6022 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  (
( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) `  o )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
227223, 226eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  o  e.  ( T  i^i  R
) )  ->  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
)
228 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
229 indf1o 28845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  e.  _V  ->  (𝟭 `  NN ) : ~P NN
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )
230 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (𝟭 `  NN ) : ~P NN
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN )
2311, 229, 230mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN
232 dffn5 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( (𝟭 `  NN )  Fn  ~P NN 
<->  (𝟭 `  NN )  =  ( b  e. 
~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b
) ) )
233231, 232mpbi 212 . . . . . . . . 9  |-  (𝟭 `  NN )  =  ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b
) )
234233reseq1i 5101 . . . . . . . 8  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b ) )  |`  Fin )
235 resmpt3 5155 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ~P NN  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b ) )  |`  Fin )  =  (
b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
)
236234, 235eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
)
237236a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  =  ( b  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  b )
) )
238 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( F "
( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) )  -> 
( (𝟭 `  NN ) `  b )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
239227, 228, 237, 238fmptco 6056 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) ) )
240239trud 1453 . . . 4  |-  ( ( (𝟭 `  NN )  |` 
Fin )  o.  (
o  e.  ( T  i^i  R )  |->  ( F " ( M `
 (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  =  ( o  e.  ( T  i^i  R
)  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( F " ( M `  (bits  o.  ( o  |`  J ) ) ) ) ) )
241216, 240eqtr4i 2476 . . 3  |-  G  =  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )
242 f1oeq1 5805 . . 3  |-  ( G  =  ( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) )  ->  ( G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  <-> 
( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) ) )
243241, 242ax-mp 5 . 2  |-  ( G : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )  <-> 
( ( (𝟭 `  NN )  |`  Fin )  o.  ( o  e.  ( T  i^i  R ) 
|->  ( F " ( M `  (bits  o.  (
o  |`  J ) ) ) ) ) ) : ( T  i^i  R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R ) )
244215, 243mpbir 213 1  |-  G :
( T  i^i  R
)
-1-1-onto-> ( ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  i^i  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   {copab 4460    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837    o. ccom 4838   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   supp csupp 6914    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   finSupp cfsupp 7883   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    <_ cle 9676   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12272   sum_csu 13752    || cdvds 14305  bitscbits 14392  𝟭cind 28832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-bits 14395  df-ind 28833
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