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Theorem eulerpart 29288
Description: Euler's theorem on partitions, also known as a special case of Glaisher's theorem. Let  P be the set of all partitions of  N, represented as multisets of positive integers, which is to say functions from  NN to  NN0 where the value of the function represents the number of repetitions of an individual element, and the sum of all the elements with repetition equals  N. Then the set 
O of all partitions that only consist of odd numbers and the set  D of all partitions which have no repeated elements have the same cardinality. This is Metamath 100 proof #45. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
eulerpart.o  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
eulerpart.d  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
eulerpart  |-  ( # `  O )  =  (
# `  D )
Distinct variable groups:    f, g,
k, n    D, g    f, N, g, k, n   
g, O, n    P, g, k, n
Allowed substitution hints:    D( f, k, n)    P( f)    O( f, k)

Proof of Theorem eulerpart
Dummy variables  a 
b  h  m  o  q  r  s  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3  |-  P  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( ( `' f " NN )  e.  Fin  /\  sum_ k  e.  NN  (
( f `  k
)  x.  k )  =  N ) }
2 eulerpart.o . . 3  |-  O  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  ( `' g " NN )  -.  2  ||  n }
3 eulerpart.d . . 3  |-  D  =  { g  e.  P  |  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  <_  1 }
4 eqid 2471 . . 3  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
5 oveq2 6316 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  a )  =  ( ( 2 ^ b )  x.  x ) )
6 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
2 ^ b )  =  ( 2 ^ y ) )
76oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( b  =  y  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
85, 7cbvmpt2v 6390 . . 3  |-  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )  =  ( x  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
9 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( r  =  m  ->  (
r supp  (/) )  =  ( m supp  (/) ) )
109eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( r  =  m  ->  (
( r supp  (/) )  e. 
Fin 
<->  ( m supp  (/) )  e. 
Fin ) )
1110cbvrabv 3030 . . . 4  |-  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }  =  { m  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e.  Fin }
1211eqcomi 2480 . . 3  |-  { m  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e.  Fin }  =  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin }
13 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  r  ->  (
t `  a )  =  ( r `  a ) )
1413eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( t  =  r  ->  (
b  e.  ( t `
 a )  <->  b  e.  ( r `  a
) ) )
1514anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( t  =  r  ->  (
( a  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) )  <->  ( a  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) ) )
1615opabbidv 4459 . . . . 5  |-  ( t  =  r  ->  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) }  =  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) } )
1716cbvmptv 4488 . . . 4  |-  ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } )  =  ( r  e.  {
s  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) } )
18 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  (
m supp  (/) )  =  ( s supp  (/) ) )
1918eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  (
( m supp  (/) )  e. 
Fin 
<->  ( s supp  (/) )  e. 
Fin ) )
2019cbvrabv 3030 . . . . . 6  |-  { m  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e.  Fin }  =  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin }
2120eqcomi 2480 . . . . 5  |-  { s  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin }  =  { m  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e.  Fin }
22 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  a  =  x )
2322eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <-> 
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) )
24 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  b  =  y )
2522fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( r `  a
)  =  ( r `
 x ) )
2624, 25eleq12d 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( b  e.  ( r `  a )  <-> 
y  e.  ( r `
 x ) ) )
2723, 26anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) )  <->  ( x  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) ) )
2827cbvopabv 4465 . . . . 5  |-  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }
2921, 28mpteq12i 4480 . . . 4  |-  ( r  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) } )  =  ( r  e.  {
m  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
3017, 29eqtri 2493 . . 3  |-  ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } )  =  ( r  e.  {
m  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
31 cnveq 5013 . . . . . 6  |-  ( h  =  f  ->  `' h  =  `' f
)
3231imaeq1d 5173 . . . . 5  |-  ( h  =  f  ->  ( `' h " NN )  =  ( `' f
" NN ) )
3332eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( h  =  f  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
)
3433cbvabv 2595 . . 3  |-  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { f  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
3532sseq1d 3445 . . . 4  |-  ( h  =  f  ->  (
( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  <->  ( `' f " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) )
3635cbvrabv 3030 . . 3  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' f " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }
37 reseq1 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  q  ->  (
o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  =  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) )
3837coeq2d 5002 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  q  ->  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) )  =  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) )
3938fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( o  =  q  ->  (
( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) )  =  ( ( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )
4039imaeq2d 5174 . . . . . 6  |-  ( o  =  q  ->  (
( x  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) " (
( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )  =  ( ( x  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) " (
( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) )
4140fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( o  =  q  ->  (
(𝟭 `  NN ) `  ( ( x  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) " (
( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )
4241cbvmptv 4488 . . . 4  |-  ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  =  ( q  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )
438eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  =  ( a  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) )
4443imaeq1i 5171 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )  =  ( ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )
45 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) }
4611, 45mpteq12i 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  =  ( r  e.  {
m  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( m supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )
47 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  t  ->  (
r `  a )  =  ( t `  a ) )
4847eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  t  ->  (
b  e.  ( r `
 a )  <->  b  e.  ( t `  a
) ) )
4948anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  t  ->  (
( a  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) )  <->  ( a  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) ) )
5049opabbidv 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  t  ->  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) }  =  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } )
5150cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( r `  a ) ) } )  =  ( t  e.  {
s  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } )
5246, 29, 513eqtr2i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } )  =  ( t  e.  {
s  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. a ,  b >.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } )
5352fveq1i 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P
NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) )  =  ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) )
5453imaeq2i 5172 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )  =  ( ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )
5544, 54eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )  =  ( ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) )
5655fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( (𝟭 `  NN ) `  (
( x  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) " (
( r  e.  {
r  e.  ( ( ~P NN0  i^i  Fin )  ^m  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e. 
Fin }  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) )  =  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) )
5756mpteq2i 4479 . . . 4  |-  ( q  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  =  ( q  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )
5842, 57eqtri 2493 . . 3  |-  ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  =  ( q  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )
" ( ( t  e.  { s  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( s supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. a ,  b
>.  |  ( a  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  b  e.  ( t `  a ) ) } ) `  (bits  o.  ( q  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )
59 eqid 2471 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( NN0 
^m  NN )  i^i 
{ h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
) )  =  ( f  e.  ( ( NN0  ^m  NN )  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( f `  k )  x.  k
) )
601, 2, 3, 4, 8, 12, 30, 34, 36, 58, 59eulerpartlemn 29287 . 2  |-  ( ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0 
^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
61 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  NN )  e. 
_V
6261rabex 4550 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  e.  _V
6362inex1 4537 . . . . 5  |-  ( { h  e.  ( NN0 
^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  e.  _V
6463mptex 6152 . . . 4  |-  ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  e. 
_V
6564resex 5154 . . 3  |-  ( ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0 
^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  |`  O )  e.  _V
66 f1oeq1 5818 . . 3  |-  ( g  =  ( ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )  |->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  |`  O )  ->  (
g : O -1-1-onto-> D  <->  ( (
o  e.  ( { h  e.  ( NN0 
^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  |`  O ) : O -1-1-onto-> D
) )
6765, 66spcev 3127 . 2  |-  ( ( ( o  e.  ( { h  e.  ( NN0  ^m  NN )  |  ( `' h " NN )  C_  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } }  i^i  { h  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } ) 
|->  ( (𝟭 `  NN ) `  ( (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
" ( ( r  e.  { r  e.  ( ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ^m  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  |  ( r supp  (/) )  e.  Fin } 
|->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  y  e.  ( r `  x ) ) } ) `  (bits  o.  ( o  |`  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ) ) ) ) ) )  |`  O ) : O -1-1-onto-> D  ->  E. g  g : O -1-1-onto-> D )
68 bren 7596 . . 3  |-  ( O 
~~  D  <->  E. g 
g : O -1-1-onto-> D )
69 hasheni 12569 . . 3  |-  ( O 
~~  D  ->  ( # `
 O )  =  ( # `  D
) )
7068, 69sylbir 218 . 2  |-  ( E. g  g : O -1-1-onto-> D  ->  ( # `  O
)  =  ( # `  D ) )
7160, 67, 70mp2b 10 1  |-  ( # `  O )  =  (
# `  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   supp csupp 6933    ^m cmap 7490    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   #chash 12553   sum_csu 13829    || cdvds 14382  bitscbits 14471  𝟭cind 28906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-bits 14474  df-ind 28907
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