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Theorem euelss 3739
Description: Transfer uniqueness of an element to a smaller subclass. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
euelss  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E! x  x  e.  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem euelss
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  A  C_  B )
2 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A T.  <->  E. x ( x  e.  A  /\ T.  ) )
3 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\ T.  )  <->  ( T.  /\  x  e.  A )
)
4 truan 1424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  A )  <->  x  e.  A )
53, 4bitri 251 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\ T.  )  <->  x  e.  A
)
65exbii 1690 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\ T.  )  <->  E. x  x  e.  A )
72, 6bitri 251 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A T.  <->  E. x  x  e.  A
)
87biimpri 208 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A T.  )
983ad2ant2 1021 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E. x  e.  A T.  )
10 df-reu 2763 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  B T.  <->  E! x ( x  e.  B  /\ T.  ) )
11 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\ T.  )  <->  ( T.  /\  x  e.  B )
)
12 truan 1424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  B )  <->  x  e.  B )
1311, 12bitri 251 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\ T.  )  <->  x  e.  B
)
1413eubii 2264 . . . . . . 7  |-  ( E! x ( x  e.  B  /\ T.  )  <-> 
E! x  x  e.  B )
1510, 14bitri 251 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B T.  <->  E! x  x  e.  B
)
1615biimpri 208 . . . . 5  |-  ( E! x  x  e.  B  ->  E! x  e.  B T.  )
17163ad2ant3 1022 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E! x  e.  B T.  )
18 reuss 3733 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  e.  A T.  /\  E! x  e.  B T.  )  ->  E! x  e.  A T.  )
191, 9, 17, 18syl3anc 1232 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E! x  e.  A T.  )
20 df-reu 2763 . . 3  |-  ( E! x  e.  A T.  <->  E! x ( x  e.  A  /\ T.  ) )
2119, 20sylib 198 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E! x ( x  e.  A  /\ T.  ) )
22 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\ T.  ) )
234, 22bitr3i 253 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\ T.  ) )
2423eubii 2264 . 2  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\ T.  ) )
2521, 24sylibr 214 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  E. x  x  e.  A  /\  E! x  x  e.  B )  ->  E! x  x  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976   T. wtru 1408   E.wex 1635    e. wcel 1844   E!weu 2240   E.wrex 2757   E!wreu 2758    C_ wss 3416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-in 3423  df-ss 3430
This theorem is referenced by:  initoeu1  15616  termoeu1  15623
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