MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euclemma Structured version   Unicode version

Theorem euclemma 14126
Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
euclemma  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  <->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )

Proof of Theorem euclemma
StepHypRef Expression
1 coprm 14118 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  M  <->  ( P  gcd  M )  =  1 ) )
213adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  M  <->  ( P  gcd  M )  =  1 ) )
32anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  -.  P  ||  M
)  <->  ( P  ||  ( M  x.  N
)  /\  ( P  gcd  M )  =  1 ) ) )
4 prmz 14098 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
5 coprmdvds 14120 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  ( P  gcd  M
)  =  1 )  ->  P  ||  N
) )
64, 5syl3an1 1262 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  ( P  gcd  M
)  =  1 )  ->  P  ||  N
) )
73, 6sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  ( M  x.  N )  /\  -.  P  ||  M
)  ->  P  ||  N
) )
87expd 436 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  ->  ( -.  P  ||  M  ->  P  ||  N ) ) )
9 df-or 370 . . 3  |-  ( ( P  ||  M  \/  P  ||  N )  <->  ( -.  P  ||  M  ->  P  ||  N ) )
108, 9syl6ibr 227 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  ->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )
11 ordvdsmul 13899 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  M  \/  P  ||  N )  ->  P  ||  ( M  x.  N )
) )
124, 11syl3an1 1262 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( P  ||  M  \/  P  ||  N )  ->  P  ||  ( M  x.  N )
) )
1310, 12impbid 191 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( M  x.  N )  <->  ( P  ||  M  \/  P  ||  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   1c1 9496    x. cmul 9500   ZZcz 10870    || cdvds 13863    gcd cgcd 14021   Primecprime 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095
This theorem is referenced by:  isprm6  14127  prmdvdsexp  14132  prmfac1  14136  pcpremul  14244  4sqlem11  14350  ablfac1eulem  16997  znfld  18472  wilthlem1  23214  mumul  23327  lgslem1  23443  lgsdir2  23475  lgsqrlem2  23489  2sqlem4  23514  2sqlem6  23516  2sqmod  27509  pdivsq  29149
  Copyright terms: Public domain W3C validator