Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalglt Structured version   Unicode version

Theorem eucalglt 14482
 Description: The second member of the state decreases with each iteration of the step function for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1
Assertion
Ref Expression
eucalglt
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem eucalglt
StepHypRef Expression
1 eucalgval.1 . . . . . . . . 9
21eucalgval 14479 . . . . . . . 8
32adantr 466 . . . . . . 7
4 simpr 462 . . . . . . . . 9
5 iftrue 3855 . . . . . . . . . . . . . 14
65eqeq2d 2433 . . . . . . . . . . . . 13
7 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl6bi 231 . . . . . . . . . . . 12
9 eqeq2 2434 . . . . . . . . . . . 12
108, 9sylibd 217 . . . . . . . . . . 11
113, 10syl5com 31 . . . . . . . . . 10
1211necon3ad 2609 . . . . . . . . 9
134, 12mpd 15 . . . . . . . 8
1413iffalsed 3860 . . . . . . 7
153, 14eqtrd 2457 . . . . . 6
1615fveq2d 5824 . . . . 5
17 fvex 5830 . . . . . 6
18 fvex 5830 . . . . . 6
1917, 18op2nd 6755 . . . . 5
2016, 19syl6eq 2473 . . . 4
21 1st2nd2 6783 . . . . . . 7
2221adantr 466 . . . . . 6
2322fveq2d 5824 . . . . 5
24 df-ov 6247 . . . . 5
2523, 24syl6eqr 2475 . . . 4
2620, 25eqtrd 2457 . . 3
27 xp1st 6776 . . . . . 6
2827adantr 466 . . . . 5
2928nn0red 10872 . . . 4
30 xp2nd 6777 . . . . . . . . 9
3130adantr 466 . . . . . . . 8
32 elnn0 10817 . . . . . . . 8
3331, 32sylib 199 . . . . . . 7
3433ord 378 . . . . . 6
3513, 34mt3d 128 . . . . 5
3635nnrpd 11285 . . . 4
37 modlt 12052 . . . 4
3829, 36, 37syl2anc 665 . . 3
3926, 38eqbrtrd 4382 . 2
4039ex 435 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2594  cif 3849  cop 3942   class class class wbr 4361   cxp 4789  cfv 5539  (class class class)co 6244   cmpt2 6246  c1st 6744  c2nd 6745  cr 9484  cc0 9485   clt 9621  cn 10555  cn0 10815  crp 11248   cmo 12041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-sup 7904  df-inf 7905  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-rp 11249  df-fl 11973  df-mod 12042 This theorem is referenced by:  eucalgcvga  14483
 Copyright terms: Public domain W3C validator