Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eu2ndop1stv Unicode version

Theorem eu2ndop1stv 28082
Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
eu2ndop1stv  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Distinct variable groups:    y, A    y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv
StepHypRef Expression
1 euex 2179 . 2  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  E. y <. A ,  y >.  e.  V )
2 nfeu1 2166 . . . 4  |-  F/ y E! y <. A , 
y >.  e.  V
3 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y A
4 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y _V
53, 4nfel 2440 . . . 4  |-  F/ y  A  e.  _V
62, 5nfim 1781 . . 3  |-  F/ y ( E! y <. A ,  y >.  e.  V  ->  A  e.  _V )
7 opprc1 3834 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
87eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  <->  (/)  e.  V ) )
9 ax-17 1606 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  V  ->  A. y (/) 
e.  V )
10 alneu 28081 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
119, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V )
128, 11syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1312impcom 419 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
148eubidv 2164 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  E! y (/) 
e.  V ) )
1514notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( -.  E! y <. A ,  y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/) 
e.  V ) )
1615adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1713, 16mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y <. A ,  y
>.  e.  V )
1817ex 423 . . . 4  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V ) )
1918con4d 97 . . 3  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
206, 19exlimi 1813 . 2  |-  ( E. y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
211, 20mpcom 32 1  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696   E!weu 2156   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656
This theorem is referenced by:  afveu  28120  tz6.12-afv  28140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-op 3662
  Copyright terms: Public domain W3C validator