Theorem eu2ndop1stv 29979

Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eu2ndop1stv	|- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2279	. 2 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> E. y <. A , y >. e. V )
2		nfeu1 2264	. . . 4 |- F/ y E! y <. A , y >. e. V
3		nfcv 2574	. . . . 5 |- F/_ y A
4	3	nfel1 2584	. . . 4 |- F/ y A e. _V
5	2, 4	nfim 1852	. . 3 |- F/ y ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )
6		opprc1 4077	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
7	6	eleq1d 2504	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V <-> (/) e. V ) )
8		ax-5 1670	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. V -> A. y (/) e. V )
9		alneu 29978	. . . . . . . . 9 |- ( A. y (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
11	7, 10	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V -> -. E! y (/) e. V ) )
12	11	impcom 430	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y (/) e. V )
13	7	eubidv 2274	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( E! y <. A , y >. e. V <-> E! y (/) e. V ) )
14	13	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
15	14	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
16	12, 15	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y <. A , y >. e. V )
17	16	ex 434	. . . 4 |- ( <. A , y >. e. V -> ( -. A e. _V -> -. E! y <. A , y >. e. V ) )
18	17	con4d 105	. . 3 |- ( <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
19	5, 18	exlimi 1844	. 2 |- ( E. y <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
20	1, 19	mpcom 36	1 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586   e. wcel 1756   E!weu 2252   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   <.cop 3878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-nul 4416  ax-pow 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-v 2969  df-dif 3326  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-op 3879

This theorem is referenced by:  afveu  30012  tz6.12-afv  30032