Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eu2ndop1stv Structured version   Unicode version

Theorem eu2ndop1stv 30194
Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
eu2ndop1stv  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Distinct variable groups:    y, A    y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv
StepHypRef Expression
1 euex 2290 . 2  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  E. y <. A ,  y >.  e.  V )
2 nfeu1 2275 . . . 4  |-  F/ y E! y <. A , 
y >.  e.  V
3 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ y A
43nfel1 2632 . . . 4  |-  F/ y  A  e.  _V
52, 4nfim 1858 . . 3  |-  F/ y ( E! y <. A ,  y >.  e.  V  ->  A  e.  _V )
6 opprc1 4193 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
76eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  <->  (/)  e.  V ) )
8 ax-5 1671 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  V  ->  A. y (/) 
e.  V )
9 alneu 30193 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V )
117, 10syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1211impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
137eubidv 2285 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  E! y (/) 
e.  V ) )
1413notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( -.  E! y <. A ,  y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/) 
e.  V ) )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1612, 15mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y <. A ,  y
>.  e.  V )
1716ex 434 . . . 4  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V ) )
1817con4d 105 . . 3  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
195, 18exlimi 1850 . 2  |-  ( E. y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
201, 19mpcom 36 1  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2262   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   <.cop 3994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532  ax-pow 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-v 3080  df-dif 3442  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-op 3995
This theorem is referenced by:  afveu  30227  tz6.12-afv  30247
  Copyright terms: Public domain W3C validator