Theorem eu2ndop1stv 38623

Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eu2ndop1stv	|- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2323	. 2 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> E. y <. A , y >. e. V )
2		nfeu1 2309	. . . 4 |- F/ y E! y <. A , y >. e. V
3		nfcv 2592	. . . . 5 |- F/_ y A
4	3	nfel1 2606	. . . 4 |- F/ y A e. _V
5	2, 4	nfim 2003	. . 3 |- F/ y ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )
6		opprc1 4189	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
7	6	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V <-> (/) e. V ) )
8		ax-5 1758	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. V -> A. y (/) e. V )
9		alneu 38622	. . . . . . . . 9 |- ( A. y (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
11	7, 10	syl6bi 232	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V -> -. E! y (/) e. V ) )
12	11	impcom 432	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y (/) e. V )
13	7	eubidv 2319	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( E! y <. A , y >. e. V <-> E! y (/) e. V ) )
14	13	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
15	14	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
16	12, 15	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y <. A , y >. e. V )
17	16	ex 436	. . . 4 |- ( <. A , y >. e. V -> ( -. A e. _V -> -. E! y <. A , y >. e. V ) )
18	17	con4d 109	. . 3 |- ( <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
19	5, 18	exlimi 1995	. 2 |- ( E. y <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
20	1, 19	mpcom 37	1 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663   e. wcel 1887   E!weu 2299   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   <.cop 3974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534  ax-pow 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-v 3047  df-dif 3407  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-op 3975

This theorem is referenced by:  afveu  38655  tz6.12-afv  38675