Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eu2ndop1stv Structured version   Unicode version

Theorem eu2ndop1stv 38013
Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
eu2ndop1stv  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Distinct variable groups:    y, A    y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv
StepHypRef Expression
1 euex 2292 . 2  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  E. y <. A ,  y >.  e.  V )
2 nfeu1 2278 . . . 4  |-  F/ y E! y <. A , 
y >.  e.  V
3 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ y A
43nfel1 2607 . . . 4  |-  F/ y  A  e.  _V
52, 4nfim 1978 . . 3  |-  F/ y ( E! y <. A ,  y >.  e.  V  ->  A  e.  _V )
6 opprc1 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
76eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  <->  (/)  e.  V ) )
8 ax-5 1751 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  V  ->  A. y (/) 
e.  V )
9 alneu 38012 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V )
117, 10syl6bi 231 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1211impcom 431 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
137eubidv 2288 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  E! y (/) 
e.  V ) )
1413notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( -.  E! y <. A ,  y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/) 
e.  V ) )
1514adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1612, 15mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y <. A ,  y
>.  e.  V )
1716ex 435 . . . 4  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V ) )
1817con4d 108 . . 3  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
195, 18exlimi 1970 . 2  |-  ( E. y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
201, 19mpcom 37 1  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870   E!weu 2266   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   <.cop 4008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556  ax-pow 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-v 3089  df-dif 3445  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-op 4009
This theorem is referenced by:  afveu  38044  tz6.12-afv  38064
  Copyright terms: Public domain W3C validator