Theorem eu2ndop1stv 38013

Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eu2ndop1stv	|- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2292	. 2 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> E. y <. A , y >. e. V )
2		nfeu1 2278	. . . 4 |- F/ y E! y <. A , y >. e. V
3		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ y A
4	3	nfel1 2607	. . . 4 |- F/ y A e. _V
5	2, 4	nfim 1978	. . 3 |- F/ y ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )
6		opprc1 4213	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
7	6	eleq1d 2498	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V <-> (/) e. V ) )
8		ax-5 1751	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. V -> A. y (/) e. V )
9		alneu 38012	. . . . . . . . 9 |- ( A. y (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
11	7, 10	syl6bi 231	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V -> -. E! y (/) e. V ) )
12	11	impcom 431	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y (/) e. V )
13	7	eubidv 2288	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( E! y <. A , y >. e. V <-> E! y (/) e. V ) )
14	13	notbid 295	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
15	14	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
16	12, 15	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y <. A , y >. e. V )
17	16	ex 435	. . . 4 |- ( <. A , y >. e. V -> ( -. A e. _V -> -. E! y <. A , y >. e. V ) )
18	17	con4d 108	. . 3 |- ( <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
19	5, 18	exlimi 1970	. 2 |- ( E. y <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
20	1, 19	mpcom 37	1 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659   e. wcel 1870   E!weu 2266   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   <.cop 4008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556  ax-pow 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-v 3089  df-dif 3445  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-op 4009

This theorem is referenced by:  afveu  38044  tz6.12-afv  38064