Theorem eu2ndop1stv 27847

Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eu2ndop1stv	|- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2277	. 2 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> E. y <. A , y >. e. V )
2		nfeu1 2264	. . . 4 |- F/ y E! y <. A , y >. e. V
3		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ y A
4	3	nfel1 2550	. . . 4 |- F/ y A e. _V
5	2, 4	nfim 1828	. . 3 |- F/ y ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )
6		opprc1 3966	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
7	6	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V <-> (/) e. V ) )
8		ax-17 1623	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. V -> A. y (/) e. V )
9		alneu 27846	. . . . . . . . 9 |- ( A. y (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
11	7, 10	syl6bi 220	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V -> -. E! y (/) e. V ) )
12	11	impcom 420	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y (/) e. V )
13	7	eubidv 2262	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( E! y <. A , y >. e. V <-> E! y (/) e. V ) )
14	13	notbid 286	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
15	14	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
16	12, 15	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y <. A , y >. e. V )
17	16	ex 424	. . . 4 |- ( <. A , y >. e. V -> ( -. A e. _V -> -. E! y <. A , y >. e. V ) )
18	17	con4d 99	. . 3 |- ( <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
19	5, 18	exlimi 1817	. 2 |- ( E. y <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
20	1, 19	mpcom 34	1 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   e. wcel 1721   E!weu 2254   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   <.cop 3777

This theorem is referenced by:  afveu  27884  tz6.12-afv  27904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298  ax-pow 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-v 2918  df-dif 3283  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-op 3783