Theorem eu2ndop1stv 31690

Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eu2ndop1stv	|- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2303	. 2 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> E. y <. A , y >. e. V )
2		nfeu1 2288	. . . 4 |- F/ y E! y <. A , y >. e. V
3		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ y A
4	3	nfel1 2645	. . . 4 |- F/ y A e. _V
5	2, 4	nfim 1867	. . 3 |- F/ y ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )
6		opprc1 4236	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
7	6	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V <-> (/) e. V ) )
8		ax-5 1680	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. V -> A. y (/) e. V )
9		alneu 31689	. . . . . . . . 9 |- ( A. y (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. V -> -. E! y (/) e. V )
11	7, 10	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. V -> -. E! y (/) e. V ) )
12	11	impcom 430	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y (/) e. V )
13	7	eubidv 2298	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( E! y <. A , y >. e. V <-> E! y (/) e. V ) )
14	13	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
15	14	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> ( -. E! y <. A , y >. e. V <-> -. E! y (/) e. V ) )
16	12, 15	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. V /\ -. A e. _V ) -> -. E! y <. A , y >. e. V )
17	16	ex 434	. . . 4 |- ( <. A , y >. e. V -> ( -. A e. _V -> -. E! y <. A , y >. e. V ) )
18	17	con4d 105	. . 3 |- ( <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
19	5, 18	exlimi 1859	. 2 |- ( E. y <. A , y >. e. V -> ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V ) )
20	1, 19	mpcom 36	1 |- ( E! y <. A , y >. e. V -> A e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   e. wcel 1767   E!weu 2275   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   <.cop 4033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3115  df-dif 3479  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-op 4034

This theorem is referenced by:  afveu  31721  tz6.12-afv  31741