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Theorem etransclem48OLD 38087
Description:  _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime  p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) Obsolete version of etransclem48 38088 as of 28-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
etransclem48.qe0  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
etransclem48.a  |-  A  =  (coeff `  Q )
etransclem48.a0  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
etransclem48.m  |-  M  =  (deg `  Q )
etransclem48.c  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
etransclem48.s  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
etransclem48OLD.i  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
etransclem48OLD.t  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
etransclem48OLD  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Distinct variable groups:    A, j,
k    A, n, j    C, i, n    i, I, n   
j, M, k    n, M    Q, j    S, i    T, j, k    ph, i, n    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( i)    C( j, k)    Q( i, k, n)    S( j, k, n)    T( i, n)    I( j,
k)    M( i)

Proof of Theorem etransclem48OLD
Dummy variables  x  y  z  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
21eldifad 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 0zd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  Q )
54coef2 23183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  /\  0  e.  ZZ )  ->  A : NN0 --> ZZ )
62, 3, 5syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
7 0nn0 10891 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
96, 8ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  ZZ )
10 zabscl 13376 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  0 )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e.  ZZ )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ )
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  (deg `  Q )
13 dgrcl 23185 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  ->  (deg `  Q
)  e.  NN0 )
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  Q )  e.  NN0 )
1512, 14syl5eqel 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1615faccld 37487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1716nnzd 11046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  ZZ )
18 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  NN0
19 nn0ssz 10965 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
2018, 19sstri 3473 . . . . . . 7  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ZZ
21 etransclem48OLD.i . . . . . . . 8  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
22 nn0uz 11200 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2318, 22sseqtri 3496 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0
)
24 1rp 11313 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
25 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n ph
26 nfmpt1 4513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  C )
27 nfmpt1 4513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
29 nfmpt1 4513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
3028, 29nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n S
31 nn0ex 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  e.  _V
3231mptex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V )
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
35 fzfid 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
366adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
37 elfznn0 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
3936, 38ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
4039zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
41 ere 14142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _e  e.  RR
4241recni 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
44 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
4544zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
4645adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
4743, 46cxpcld 23651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
4840, 47mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
4948abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
5049recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
5115nn0cnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
52 peano2nn0 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
5551, 54mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5750, 56mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5835, 57fsumcl 13798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5934, 58syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
60 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e.  NN0  |->  C ) )
61 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  =  i )  ->  C  =  C )
62 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
6359adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
6460, 61, 62, 63fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  C )
6522, 3, 33, 59, 64climconst 13606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  ~~>  C )
6631mptex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  _V
6728, 66eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
69 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
7069expfac 37678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  ~~>  0 )
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )  ~~>  0 )
72 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
7359adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
74 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e. 
NN0  |->  C )
7574fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  =  C )
7672, 73, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  =  C )
7776, 73eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  e.  CC )
78 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e. 
_V
7969fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
)  e.  _V )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  n )  =  ( ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
8078, 79mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8254adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
8382, 72expcld 12422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  e.  CC )
8472faccld 37487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
8584nncnd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
8684nnne0d 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  =/=  0
)
8783, 85, 86divcld 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e.  CC )
8881, 87eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  e.  CC )
89 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )  e. 
_V
9028fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  n
)  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )
9189, 90mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( S `
 n )  =  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
9291adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )
9376, 81oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )
9492, 93eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  n
) ) )
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 37622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( C  x.  0 ) )
9659mul01d 9839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
9795, 96breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  ~~>  0 )
98 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  n ) )
9977, 88mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  e.  CC )
10094, 99eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 37675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  ~~>  0  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
)
10297, 101mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
103 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  1  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  e  <->  ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
104103rexralbidv 2944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  1  ->  ( E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
105104rspcva 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
10624, 102, 105sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
107 rabn0 3782 . . . . . . . . . 10  |-  ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
108106, 107sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )
109 infmssuzclOLD 11254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }
)
11023, 108, 109sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
11121, 110syl5eqel 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } )
11220, 111sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
113 tpssi 4166 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  M )  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  C_  ZZ )
11411, 17, 112, 113syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  ZZ )
115 etransclem48OLD.t . . . . . 6  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
116 xrltso 11447 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
118 tpfi 7856 . . . . . . . 8  |-  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  e.  Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin )
12011tpnzd 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/) )
121 zssre 10951 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
122 ressxr 9691 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
123121, 122sstri 3473 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR*
124114, 123syl6ss 3476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
125 fisupcl 7994 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin  /\ 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/)  /\  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
)  ->  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  { ( abs `  ( A `  0
) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
127115, 126syl5eqel 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
128114, 127sseldd 3465 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
129 0red 9651 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13016nnred 10631 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  RR )
131128zred 11047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
13216nngt0d 10660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ! `
 M ) )
133 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 M )  e. 
_V
134133tpid2 4114 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 M )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
135 supxrub 11617 . . . . . . 7  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( ! `  M )  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
136124, 134, 135sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
137136, 115syl6breqr 4464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  T )
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 9802 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
139 elnnz 10954 . . . 4  |-  ( T  e.  NN  <->  ( T  e.  ZZ  /\  0  < 
T ) )
140128, 138, 139sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  NN )
141 prmunb 14857 . . 3  |-  ( T  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p
)
142140, 141syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p )
14313ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) )
144 etransclem48.qe0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
1451443ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
146 etransclem48.a0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
1471463ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  =/=  0 )
148 simp2 1006 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  Prime )
1499zcnd 11048 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
1501493ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
151150abscld 13497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  RR )
1521313ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  e.  RR )
153 prmz 14625 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
154153zred 11047 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1551543ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  RR )
156124adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  { ( abs `  ( A ` 
0 ) ) ,  ( ! `  M
) ,  I }  C_ 
RR* )
157 fvex 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  _V
158157tpid1 4113 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
159 supxrub 11617 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( abs `  ( A `  0 )
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
160156, 158, 159sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
161160, 115syl6breqr 4464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
1621613adant3 1025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
163 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  <  p )
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 9800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <  p
)
1651303ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  e.  RR )
1661373ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <_  T
)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 9800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <  p
)
16828a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) ) )
16934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  C  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
170 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) ) )
171 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
172170, 171oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
174173adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
175 prmnn 14624 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
176 nnm1nn0 10918 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  -  1 )  e.  NN0 )
177175, 176syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
178177adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
17958adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
18054adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
181180, 178expcld 12422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  CC )
182177faccld 37487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  NN )
183182nncnd 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  CC )
184183adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  CC )
185182nnne0d 10661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  =/=  0 )
186185adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  =/=  0
)
187181, 184, 186divcld 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  CC )
188179, 187mulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  e.  CC )
189168, 174, 178, 188fvmptd 5970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
190189eqcomd 2430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1911903adant3 1025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1921123ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  ZZ )
193 1zzd 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  e.  ZZ )
194153, 193zsubcld 11052 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
1951943ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
196192zred 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  RR )
197 tpid3g 4115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
198112, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
199 supxrub 11617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
200124, 198, 199syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
201200, 115syl6breqr 4464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  <_  T )
2022013ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  T )
203196, 152, 155, 202, 163lelttrd 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <  p )
2041533ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  ZZ )
205 zltlem1 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  - 
1 ) ) )
206192, 204, 205syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  -  1 ) ) )
207203, 206mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  ( p  -  1 ) )
208 eluz2 11172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  ( p  -  1 )  e.  ZZ  /\  I  <_ 
( p  -  1 ) ) )
209192, 195, 207, 208syl3anbrc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
2101113ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
211 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( ZZ>=
`  i )  =  ( ZZ>= `  I )
)
212211raleqdv 3028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
213212elrab 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }  <->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
214210, 213sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
215214simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
216 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n abs
217 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( p  -  1 )
21830, 217nffv 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( S `  (
p  -  1 ) )
219216, 218nffv 5888 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )
220 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <
221 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
1
222219, 220, 221nfbr 4468 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1
223 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
224223fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( abs `  ( S `  n ) )  =  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) ) )
225224breq1d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  1  <->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
) )
226222, 225rspc 3176 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1  ->  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1 ) )
227209, 215, 226sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
)
228172oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) ) )
229228adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) ) )
230 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
231230a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
232168, 229, 178, 231fvmptd 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
23315nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
234233, 53reexpcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
235233, 234remulcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
236235adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23749, 236remulcld 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23835, 237fsumrecl 13799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23934, 238syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
240239adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  C  e.  RR )
241234adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  RR )
242241, 178reexpcld 12439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  RR )
243182nnred 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  RR )
244243adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
245242, 244, 186redivcld 10442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  RR )
246240, 245remulcld 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
247232, 246eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
2482473adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
249 1red 9665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  1  e.  RR )
250248, 249absltd 13491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ( abs `  ( S `  ( p  -  1
) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) ) )
251227, 250mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) )
252251simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  <  1
)
253191, 252eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  <  1 )
254 etransclem6 38045 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ p ) ) )
255 eqid 2422 . . . 4  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )
256 eqid 2422 . . . 4  |-  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  - 
1 ) )  x. 
prod_ z  e.  (
1 ... M ) ( ( y  -  z
) ^ p ) ) ) `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( p  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
257143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256etransclem47 38086 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k )  <  1
) )
258257rexlimdv3a 2916 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p  e. 
Prime  T  <  p  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) ) )
259142, 258mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   {ctp 4002   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    Or wor 4773   `'ccnv 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   -ucneg 9868    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   ...cfz 11791   ^cexp 12278   !cfa 12465   abscabs 13297    ~~> cli 13547   sum_csu 13751   prod_cprod 13958   _eceu 14114   Primecprime 14621   S.citg 22574   0pc0p 22625  Polycply 23136  coeffccoe 23138  degcdgr 23139    ^c ccxp 23503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-prod 13959  df-ef 14120  df-e 14121  df-sin 14122  df-cos 14123  df-tan 14124  df-pi 14125  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-itg 22579  df-0p 22626  df-limc 22819  df-dv 22820  df-dvn 22821  df-ply 23140  df-coe 23142  df-dgr 23143  df-log 23504  df-cxp 23505
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