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Theorem etransclem48OLD 38185
Description:  _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime  p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) Obsolete version of etransclem48 38186 as of 28-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
etransclem48.qe0  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
etransclem48.a  |-  A  =  (coeff `  Q )
etransclem48.a0  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
etransclem48.m  |-  M  =  (deg `  Q )
etransclem48.c  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
etransclem48.s  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
etransclem48OLD.i  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
etransclem48OLD.t  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
etransclem48OLD  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Distinct variable groups:    A, j,
k    A, n, j    C, i, n    i, I, n   
j, M, k    n, M    Q, j    S, i    T, j, k    ph, i, n    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( i)    C( j, k)    Q( i, k, n)    S( j, k, n)    T( i, n)    I( j,
k)    M( i)

Proof of Theorem etransclem48OLD
Dummy variables  x  y  z  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
21eldifad 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 0zd 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  Q )
54coef2 23234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  /\  0  e.  ZZ )  ->  A : NN0 --> ZZ )
62, 3, 5syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
7 0nn0 10913 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
96, 8ffvelrnd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  ZZ )
10 zabscl 13425 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  0 )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e.  ZZ )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ )
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  (deg `  Q )
13 dgrcl 23236 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  ->  (deg `  Q
)  e.  NN0 )
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  Q )  e.  NN0 )
1512, 14syl5eqel 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1615faccld 37571 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1716nnzd 11068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  ZZ )
18 ssrab2 3526 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  NN0
19 nn0ssz 10987 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
2018, 19sstri 3453 . . . . . . 7  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ZZ
21 etransclem48OLD.i . . . . . . . 8  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
22 nn0uz 11222 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2318, 22sseqtri 3476 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0
)
24 1rp 11335 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
25 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n ph
26 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  C )
27 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
29 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
3028, 29nfcxfr 2601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n S
31 nn0ex 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  e.  _V
3231mptex 6161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V )
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
35 fzfid 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
366adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
37 elfznn0 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
3837adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
3936, 38ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
4039zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
41 ere 14192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _e  e.  RR
4241recni 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
44 elfzelz 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
4544zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
4645adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
4743, 46cxpcld 23702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
4840, 47mulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
4948abscld 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
5049recnd 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
5115nn0cnd 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
52 peano2nn0 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
5551, 54mulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5655adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5750, 56mulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5835, 57fsumcl 13848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5934, 58syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
60 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e.  NN0  |->  C ) )
61 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  =  i )  ->  C  =  C )
62 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
6359adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
6460, 61, 62, 63fvmptd 5977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  C )
6522, 3, 33, 59, 64climconst 13656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  ~~>  C )
6631mptex 6161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  _V
6728, 66eqeltri 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
69 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
7069expfac 37776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  ~~>  0 )
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )  ~~>  0 )
72 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
7359adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
74 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e. 
NN0  |->  C )
7574fvmpt2 5980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  =  C )
7672, 73, 75syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  =  C )
7776, 73eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  e.  CC )
78 ovex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e. 
_V
7969fvmpt2 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
)  e.  _V )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  n )  =  ( ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
8078, 79mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8180adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8254adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
8382, 72expcld 12448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  e.  CC )
8472faccld 37571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
8584nncnd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
8684nnne0d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  =/=  0
)
8783, 85, 86divcld 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e.  CC )
8881, 87eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  e.  CC )
89 ovex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )  e. 
_V
9028fvmpt2 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  n
)  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )
9189, 90mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( S `
 n )  =  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
9291adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )
9376, 81oveq12d 6333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )
9492, 93eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  n
) ) )
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 37720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( C  x.  0 ) )
9659mul01d 9858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
9795, 96breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  ~~>  0 )
98 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  n ) )
9977, 88mulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  e.  CC )
10094, 99eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 37773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  ~~>  0  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
)
10297, 101mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
103 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  1  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  e  <->  ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
104103rexralbidv 2921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  1  ->  ( E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
105104rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
10624, 102, 105sylancr 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
107 rabn0 3764 . . . . . . . . . 10  |-  ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
108106, 107sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )
109 infmssuzclOLD 11276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }
)
11023, 108, 109sylancr 674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
11121, 110syl5eqel 2544 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } )
11220, 111sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
113 tpssi 4151 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  M )  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  C_  ZZ )
11411, 17, 112, 113syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  ZZ )
115 etransclem48OLD.t . . . . . 6  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
116 xrltso 11469 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
118 tpfi 7873 . . . . . . . 8  |-  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  e.  Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin )
12011tpnzd 4107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/) )
121 zssre 10973 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
122 ressxr 9710 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
123121, 122sstri 3453 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR*
124114, 123syl6ss 3456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
125 fisupcl 8011 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin  /\ 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/)  /\  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
)  ->  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  { ( abs `  ( A `  0
) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
127115, 126syl5eqel 2544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
128114, 127sseldd 3445 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
129 0red 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13016nnred 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  RR )
131128zred 11069 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
13216nngt0d 10681 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ! `
 M ) )
133 fvex 5898 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 M )  e. 
_V
134133tpid2 4099 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 M )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
135 supxrub 11639 . . . . . . 7  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( ! `  M )  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
136124, 134, 135sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
137136, 115syl6breqr 4457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  T )
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 9821 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
139 elnnz 10976 . . . 4  |-  ( T  e.  NN  <->  ( T  e.  ZZ  /\  0  < 
T ) )
140128, 138, 139sylanbrc 675 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  NN )
141 prmunb 14907 . . 3  |-  ( T  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p
)
142140, 141syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p )
14313ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) )
144 etransclem48.qe0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
1451443ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
146 etransclem48.a0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
1471463ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  =/=  0 )
148 simp2 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  Prime )
1499zcnd 11070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
1501493ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
151150abscld 13547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  RR )
1521313ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  e.  RR )
153 prmz 14675 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
154153zred 11069 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1551543ad2ant2 1036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  RR )
156124adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  { ( abs `  ( A ` 
0 ) ) ,  ( ! `  M
) ,  I }  C_ 
RR* )
157 fvex 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  _V
158157tpid1 4098 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
159 supxrub 11639 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( abs `  ( A `  0 )
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
160156, 158, 159sylancl 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
161160, 115syl6breqr 4457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
1621613adant3 1034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
163 simp3 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  <  p )
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 9819 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <  p
)
1651303ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  e.  RR )
1661373ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <_  T
)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 9819 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <  p
)
16828a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) ) )
16934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  C  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
170 oveq2 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) ) )
171 fveq2 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
172170, 171oveq12d 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
174173adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
175 prmnn 14674 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
176 nnm1nn0 10940 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  -  1 )  e.  NN0 )
177175, 176syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
178177adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
17958adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
18054adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
181180, 178expcld 12448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  CC )
182177faccld 37571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  NN )
183182nncnd 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  CC )
184183adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  CC )
185182nnne0d 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  =/=  0 )
186185adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  =/=  0
)
187181, 184, 186divcld 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  CC )
188179, 187mulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  e.  CC )
189168, 174, 178, 188fvmptd 5977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
190189eqcomd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1911903adant3 1034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1921123ad2ant1 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  ZZ )
193 1zzd 10997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  e.  ZZ )
194153, 193zsubcld 11074 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
1951943ad2ant2 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
196192zred 11069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  RR )
197 tpid3g 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
198112, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
199 supxrub 11639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
200124, 198, 199syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
201200, 115syl6breqr 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  <_  T )
2022013ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  T )
203196, 152, 155, 202, 163lelttrd 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <  p )
2041533ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  ZZ )
205 zltlem1 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  - 
1 ) ) )
206192, 204, 205syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  -  1 ) ) )
207203, 206mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  ( p  -  1 ) )
208 eluz2 11194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  ( p  -  1 )  e.  ZZ  /\  I  <_ 
( p  -  1 ) ) )
209192, 195, 207, 208syl3anbrc 1198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
2101113ad2ant1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
211 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( ZZ>=
`  i )  =  ( ZZ>= `  I )
)
212211raleqdv 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
213212elrab 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }  <->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
214210, 213sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
215214simprd 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
216 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n abs
217 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( p  -  1 )
21830, 217nffv 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( S `  (
p  -  1 ) )
219216, 218nffv 5895 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )
220 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <
221 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
1
222219, 220, 221nfbr 4461 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1
223 fveq2 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
224223fveq2d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( abs `  ( S `  n ) )  =  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) ) )
225224breq1d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  1  <->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
) )
226222, 225rspc 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1  ->  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1 ) )
227209, 215, 226sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
)
228172oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) ) )
229228adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) ) )
230 ovex 6343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
231230a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
232168, 229, 178, 231fvmptd 5977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
23315nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
234233, 53reexpcld 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
235233, 234remulcld 9697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
236235adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23749, 236remulcld 9697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23835, 237fsumrecl 13849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23934, 238syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
240239adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  C  e.  RR )
241234adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  RR )
242241, 178reexpcld 12465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  RR )
243182nnred 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  RR )
244243adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
245242, 244, 186redivcld 10463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  RR )
246240, 245remulcld 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
247232, 246eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
2482473adant3 1034 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
249 1red 9684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  1  e.  RR )
250248, 249absltd 13540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ( abs `  ( S `  ( p  -  1
) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) ) )
251227, 250mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) )
252251simprd 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  <  1
)
253191, 252eqbrtrd 4437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  <  1 )
254 etransclem6 38143 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ p ) ) )
255 eqid 2462 . . . 4  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )
256 eqid 2462 . . . 4  |-  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  - 
1 ) )  x. 
prod_ z  e.  (
1 ... M ) ( ( y  -  z
) ^ p ) ) ) `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( p  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
257143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256etransclem47 38184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k )  <  1
) )
258257rexlimdv3a 2893 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p  e. 
Prime  T  <  p  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) ) )
259142, 258mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   {ctp 3984   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475    Or wor 4773   `'ccnv 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   supcsup 7980   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    x. cmul 9570   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886   -ucneg 9887    / cdiv 10297   NNcn 10637   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   (,)cioo 11664   ...cfz 11813   ^cexp 12304   !cfa 12491   abscabs 13346    ~~> cli 13597   sum_csu 13801   prod_cprod 14008   _eceu 14164   Primecprime 14671   S.citg 22625   0pc0p 22676  Polycply 23187  coeffccoe 23189  degcdgr 23190    ^c ccxp 23554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-ofr 6559  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-omul 7213  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-prod 14009  df-ef 14170  df-e 14171  df-sin 14172  df-cos 14173  df-tan 14174  df-pi 14175  df-dvds 14355  df-gcd 14518  df-prm 14672  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-cmp 20451  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-ovol 22465  df-vol 22467  df-mbf 22626  df-itg1 22627  df-itg2 22628  df-ibl 22629  df-itg 22630  df-0p 22677  df-limc 22870  df-dv 22871  df-dvn 22872  df-ply 23191  df-coe 23193  df-dgr 23194  df-log 23555  df-cxp 23556
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