Theorem etransclem46 37412

Description: This is the proof for equation *(7) in [Juillerat] p. 12. The proven equality will lead to a contradiction, because the left-hand side goes to 0 for large P, but the right-hand side is a non-zero integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem46.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem46.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem46.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem46.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem46.rex	|- ( ph -> RR C_ RR )
etransclem46.s	|- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
etransclem46.x	|- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
etransclem46.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem46.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem46.l	|- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
etransclem46.r	|- R = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) )
etransclem46.g	|- G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
etransclem46.h	|- O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem46	|- ( ph -> ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( -u sum_ k e. ( ( 0 ... M ) X. ( 0 ... R ) ) ( ( A ` ( 1st ` k ) ) x. ( ( ( RR Dn F ) ` ( 2nd ` k ) ) ` ( 1st ` k ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, k   i, F, j, k, x   j, G, x   i, M, j, k, x   x, O   P, j, k, x   Q, j   R, i, j, k, x   ph, i, j, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   P( i)   Q( x, i, k)   G( i, k)   L( x, i, j, k)   O( i, j, k)

Proof of Theorem etransclem46

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem46.l	. . . 4 |- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) )
3		etransclem46.h	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )
4	3	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D O ) = ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) )
6		etransclem46.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
7	6	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. { RR , CC } )
8		ere 14031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _e e. RR
9	8	recni 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- _e e. CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> _e e. CC )
11		recn 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> x e. CC )
12	11	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> -u x e. CC )
13	10, 12	cxpcld 23381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
14	13	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
15		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
16		fzfid 12122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 0 ... R ) e. Fin )
17		elfznn0 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... R ) -> i e. NN0 )
18	6	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> RR e. { RR , CC } )
19		etransclem46.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
20	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
21		etransclem46.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P e. NN )
22	21	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> P e. NN )
23		etransclem46.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- M = (deg ` Q )
24		etransclem46.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
25	24	eldifad 3425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
26		dgrcl 22920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
28	23, 27	syl5eqel 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> M e. NN0 )
29	28	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> M e. NN0 )
30		etransclem46.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
31		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
32	18, 20, 22, 29, 30, 31	etransclem33 37399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
33	17, 32	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
34	33	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> x e. RR )
36	34, 35	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC )
37	16, 36	fsumcl 13702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC )
38		etransclem46.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
39	38	fvmpt2 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
40	15, 37, 39	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
41	40, 37	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) e. CC )
42	14, 41	mulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
43	42	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
44	43	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
45	6, 19	dvdmsscn 37082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> RR C_ CC )
46	45, 21, 30	etransclem8 37374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : RR --> CC )
47	46	ffvelrnda 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
48	14, 47	mulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
49	48	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
50	49	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
51	50	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. RR ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
52	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> _e e. RR )
53		0re 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. RR
54		epos 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < _e
55	53, 8, 54	ltleii 9738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ _e
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> 0 <_ _e )
57		renegcl 9917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
58	52, 56, 57	recxpcld 23396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( _e ^c -u x ) e. RR )
59	58	renegcld 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> -u ( _e ^c -u x ) e. RR )
60	59	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( _e ^c -u x ) e. RR )
61		reelprrecn 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- RR e. { RR , CC }
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
63		cnelprrecn 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- CC e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
65	12	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u x e. CC )
66		neg1rr 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -u 1 e. RR
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u 1 e. RR )
68	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC -> _e e. CC )
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC -> y e. CC )
70	68, 69	cxpcld 23381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. CC -> ( _e ^c y ) e. CC )
71	70	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T. /\ y e. CC ) -> ( _e ^c y ) e. CC )
72	11	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> x e. CC )
73		1red 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> 1 e. RR )
74	62	dvmptid 22650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
75	62, 72, 73, 74	dvmptneg 22659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u x ) ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) )
76		epr 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR+
77		dvcxp2 23409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( _e e. RR+ -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) )
79		loge 23264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( log ` _e ) = 1
80	79	oveq1i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) = ( 1 x. ( _e ^c y ) )
81	70	mulid2d 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. CC -> ( 1 x. ( _e ^c y ) ) = ( _e ^c y ) )
82	80, 81	syl5eq 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. CC -> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) = ( _e ^c y ) )
83	82	mpteq2ia 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. CC |-> ( ( log ` _e ) x. ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) )
84	78, 83	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) )
86		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = -u x -> ( _e ^c y ) = ( _e ^c -u x ) )
87	62, 64, 65, 67, 71, 71, 75, 85, 86, 86	dvmptco 22665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) ) )
88	87	trud 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) )
89	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR -> -u 1 e. RR )
90	89	recnd 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> -u 1 e. CC )
91	13, 90	mulcomd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( _e ^c -u x ) ) )
92	13	mulm1d 10048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( -u 1 x. ( _e ^c -u x ) ) = -u ( _e ^c -u x ) )
93	91, 92	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) = -u ( _e ^c -u x ) )
94	93	mpteq2ia 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u 1 ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) )
95	88, 94	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) )
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( _e ^c -u x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( _e ^c -u x ) ) )
97	17	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> i e. NN0 )
98		peano2nn0 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN0 )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( i + 1 ) e. NN0 )
100		ovex 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i + 1 ) e. _V
101		eleq1 2474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( j e. NN0 <-> ( i + 1 ) e. NN0 ) )
102	101	anbi2d 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ph /\ j e. NN0 ) <-> ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) ) )
103		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) )
104	103	feq1d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC <-> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC ) )
105	102, 104	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) <-> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC ) ) )
106		eleq1 2474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = j -> ( i e. NN0 <-> j e. NN0 ) )
107	106	anbi2d 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. NN0 ) <-> ( ph /\ j e. NN0 ) ) )
108		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = j -> ( ( RR Dn F ) ` i ) = ( ( RR Dn F ) ` j ) )
109	108	feq1d 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = j -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC <-> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) )
110	107, 109	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC ) <-> ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC ) ) )
111	110, 32	chvarv 2041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
112	100, 105, 111	vtocl 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
113	99, 112	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
114	113	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) : RR --> CC )
115	114, 35	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) e. CC )
116	16, 115	fsumcl 13702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) e. CC )
117	21, 28, 30, 38	etransclem39 37405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G : RR --> CC )
118	117	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) )
119	118	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) = G )
120	119	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) ) = ( RR _D G ) )
121		nfcv 2564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x F
122		elfznn0 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) -> i e. NN0 )
123	122, 32	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
124	121, 46, 123, 38	etransclem2 37368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D G ) = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
125	120, 124	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
126	6, 14, 60, 96, 41, 116, 125	dvmptmul 22654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) ) )
127	116, 14	mulcomd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) )
128	127	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) = ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) ) )
129	14	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( _e ^c -u x ) e. CC )
130	129, 41	mulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
131	14, 116	mulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) e. CC )
132	130, 131	addcomd 9815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
133	131, 42	negsubd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) - ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
134	14, 41	mulneg1d 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) )
135	134	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
136	116, 41, 14	subdir2d 36860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) = ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) - ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
137	133, 135, 136	3eqtr4d 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
138	40	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
139	16, 115, 36	fsumsub 13752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
140		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = i -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` i ) )
141	140	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = i -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) )
142	103	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) )
143		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = 0 -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` 0 ) )
144	143	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = 0 -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) )
145		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = ( R + 1 ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) = ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) )
146	145	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = ( R + 1 ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) )
147		etransclem46.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- R = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) )
148	21	nnnn0d 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> P e. NN0 )
149	28, 148	nn0mulcld 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M x. P ) e. NN0 )
150		nnm1nn0 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
151	21, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
152	149, 151	nn0addcld 10896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) e. NN0 )
153	147, 152	syl5eqel 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> R e. NN0 )
154	153	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. NN0 )
155	154	nn0zd 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. ZZ )
156		peano2nn0 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( R e. NN0 -> ( R + 1 ) e. NN0 )
157	153, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. NN0 )
158		nn0uz 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
159	157, 158	syl6eleq 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
160	159	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
161		elfznn0 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) -> j e. NN0 )
162	161, 111	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
163	162	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` j ) : RR --> CC )
164		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> x e. RR )
165	163, 164	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. ( 0 ... ( R + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` j ) ` x ) e. CC )
166	141, 142, 144, 146, 155, 160, 165	telfsum2 13768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) )
167	138, 139, 166	3eqtr2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) )
168	167	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) ) )
169	153	nn0red 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> R e. RR )
170	169	ltp1d 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R < ( R + 1 ) )
171	147, 170	syl5eqbrr 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) < ( R + 1 ) )
172		etransclem5 37371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
173	6, 19, 21, 28, 30, 157, 171, 172	etransclem32 37398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) = ( x e. RR |-> 0 ) )
174	173	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) )
175		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. RR |-> 0 ) = ( x e. RR |-> 0 )
176	175	fvmpt2 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) = 0 )
177	53, 176	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> 0 ) ` x ) = 0 )
178	174, 177	sylan9eq 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) = 0 )
179		cnex 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- CC e. _V
180	179	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> CC e. _V )
181		etransclem46.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> RR C_ RR )
182	6, 181	ssexd 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> RR e. _V )
183		elpm2r 7473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : RR --> CC /\ RR C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
184	180, 182, 46, 181, 183	syl22anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
185		dvn0 22617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( RR C_ CC /\ F e. ( CC ^pm RR ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` 0 ) = F )
186	45, 184, 185	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( RR Dn F ) ` 0 ) = F )
187	186	fveq1d 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) = ( F ` x ) )
188	187	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) = ( F ` x ) )
189	178, 188	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) = ( 0 - ( F ` x ) ) )
190		df-neg 9843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u ( F ` x ) = ( 0 - ( F ` x ) )
191	189, 190	syl6eqr 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) = -u ( F ` x ) )
192	191	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( R + 1 ) ) ` x ) - ( ( ( RR Dn F ) ` 0 ) ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
193	137, 168, 192	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( _e ^c -u x ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) ) + ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
194	128, 132, 193	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) )
195	194	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( ( -u ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) + ( sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` ( i + 1 ) ) ` x ) x. ( _e ^c -u x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) ) )
196	14, 47	mulneg2d 10050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
197	196	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. -u ( F ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
198	126, 195, 197	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
199	6, 42, 49, 198	dvmptneg 22659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
200	199	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
201		0red 9626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
202		elfzelz 11740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
203	202	zred 11007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR )
204	203	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. RR )
205	201, 204	iccssred 36888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ RR )
206		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
207	206	tgioo2 21598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
208		0red 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 e. RR )
209		iccntr 21616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
210	208, 203, 209	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
211	210	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] j ) ) = ( 0 (,) j ) )
212	7, 44, 51, 200, 205, 207, 206, 211	dvmptres2 22655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
213	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> _e e. CC )
214		elioore 11611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. RR )
215	214	recnd 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. CC )
216	215	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. CC )
217	216	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u x e. CC )
218	213, 217	cxpcld 23381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
219	46	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> F : RR --> CC )
220	214	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. RR )
221	219, 220	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
222	218, 221	mulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
223	222	negnegd 9957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
224	223	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
225	224	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> -u -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
226	5, 212, 225	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) )
227	226	fveq1d 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( RR _D O ) ` x ) = ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) )
228	227	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( RR _D O ) ` x ) = ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) )
229		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. ( 0 (,) j ) )
230		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
231	230	fvmpt2 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
232	229, 222, 231	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
233	232	adantlr 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ` x ) = ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
234	228, 233	eqtr2d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) = ( ( RR _D O ) ` x ) )
235	234	itgeq2d 37131	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) j ) ( ( RR _D O ) ` x ) _d x )
236		elfzle1 11741	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ j )
237	236	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ j )
238		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) )
239		eqidd 2403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) = ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) )
240	86	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) /\ y = -u x ) -> ( _e ^c y ) = ( _e ^c -u x ) )
241	208, 203	iccssred 36888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 0 [,] j ) C_ RR )
242		ax-resscn 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- RR C_ CC
243	241, 242	syl6ss 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
244	243	sselda 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. CC )
245	244	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> -u x e. CC )
246	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> _e e. CC )
247		negcl 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
248	246, 247	cxpcld 23381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
249	244, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
250	239, 240, 245, 249	fvmptd 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) = ( _e ^c -u x ) )
251	250	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) = ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) )
252	251	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( _e ^c -u x ) = ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) )
253	252	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( _e ^c -u x ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) ) )
254		mnfxr 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> -oo e. RR* )
256		0red 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> 0 e. RR )
257		rpxr 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> _e e. RR* )
258		rpgt0 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> 0 < _e )
259	255, 256, 257, 258	gtnelioc 36872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e e. RR+ -> -. _e e. ( -oo (,] 0 ) )
260	76, 259	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. _e e. ( -oo (,] 0 )
261		eldif 3423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) <-> ( _e e. CC /\ -. _e e. ( -oo (,] 0 ) ) )
262	9, 260, 261	mpbir2an 921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
263		cxpcncf2 37052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
264	262, 263	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
265		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x )
266	265	negcncf 21712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 [,] j ) C_ CC -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
267	243, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
268	267	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
269	264, 268	cncfmpt1f 21707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( y e. CC |-> ( _e ^c y ) ) ` -u x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
270	253, 269	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( _e ^c -u x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
271	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> RR C_ CC )
272	21	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN )
273	28	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> M e. NN0 )
274		etransclem6 37372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( y - k ) ^ P ) ) )
275	30, 274	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( y - k ) ^ P ) ) )
276	241	sselda 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. RR )
277	276	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. RR )
278	271, 272, 273, 275, 277	etransclem13 37379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( F ` x ) = prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
279	278	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
280	243	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
281		fzfid 12122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
282	277	recnd 9651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> x e. CC )
283	282	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> x e. CC )
284		elfzelz 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. ZZ )
285	284	zcnd 11008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. CC )
286	285	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
287	283, 286	subcld 9966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - k ) e. CC )
288	21	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN )
289	288, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
290	148	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> P e. NN0 )
291	289, 290	ifcld 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
292	291	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
293	292	3adant1r 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
294	287, 293	expcld 12352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
295		nfv 1728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) )
296	243	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 [,] j ) C_ CC )
297		ssid 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- CC C_ CC
298	297	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
299	296, 298	idcncfg 37023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
300	285	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
301	296, 300, 298	constcncfg 37022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> k ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
302	299, 301	subcncf 37020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( x - k ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
303	302	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( x - k ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
304	151, 148	ifcld 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
305		expcncf 21716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
306	304, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
307	306	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
308	297	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
309		oveq1 6284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x - k ) -> ( y ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) = ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
310	295, 303, 307, 308, 309	cncfcompt2 37051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
311	280, 281, 294, 310	fprodcncf 37053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> prod_ k e. ( 0 ... M ) ( ( x - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
312	279, 311	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
313	270, 312	mulcncf 22149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
314		ioossicc 11662	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) j ) C_ ( 0 [,] j )
315	314	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 (,) j ) C_ ( 0 [,] j ) )
316	297	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> CC C_ CC )
317	222	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
318	238, 313, 315, 316, 317	cncfmptssg 37021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) j ) -cn-> CC ) )
319	226, 318	eqeltrd 2490	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) e. ( ( 0 (,) j ) -cn-> CC ) )
320	19	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
321	21	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
322	28	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> M e. NN0 )
323		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( x - j ) = ( x - k ) )
324	323	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( ( x - j ) ^ P ) = ( ( x - k ) ^ P ) )
325	324	cbvprodv 13873	. . . . . . . . . . . . 13 |- prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P )
326	325	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) = ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) )
327	326	mpteq2i 4477	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
328	30, 327	eqtri 2431	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
329	7, 320, 321, 322, 328, 201, 204	etransclem18 37384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
330	226, 329	eqeltrd 2490	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( RR _D O ) e. L^1 )
331		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( G ` x ) )
332	6, 19, 21, 28, 30, 38	etransclem43 37409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ( RR -cn-> CC ) )
333	119, 332	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
334	333	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. RR |-> ( G ` x ) ) e. ( RR -cn-> CC ) )
335	117	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> G : RR --> CC )
336	335, 277	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 [,] j ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
337	331, 334, 205, 316, 336	cncfmptssg 37021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
338	270, 337	mulcncf 22149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
339	338	negcncfg 37032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
340	3, 339	syl5eqel 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> O e. ( ( 0 [,] j ) -cn-> CC ) )
341	201, 204, 237, 319, 330, 340	ftc2 22735	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( RR _D O ) ` x ) _d x = ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) )
342	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> O = ( x e. ( 0 [,] j ) |-> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) ) )
343		negeq 9847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> -u x = -u j )
344	343	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( _e ^c -u x ) = ( _e ^c -u j ) )
345		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( G ` x ) = ( G ` j ) )
346	344, 345	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
347	346	negeqd 9849	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
348	347	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = j ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
349	201	rexrd 9672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR* )
350	204	rexrd 9672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. RR* )
351		ubicc2 11689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ 0 <_ j ) -> j e. ( 0 [,] j ) )
352	349, 350, 237, 351	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 [,] j ) )
353	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> _e e. CC )
354	203	recnd 9651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
355	354	negcld 9953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> -u j e. CC )
356	353, 355	cxpcld 23381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c -u j ) e. CC )
357	356	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c -u j ) e. CC )
358	117	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> G : RR --> CC )
359	358, 204	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` j ) e. CC )
360	357, 359	mulcld 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) e. CC )
361	360	negcld 9953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) e. CC )
362	342, 348, 352, 361	fvmptd 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( O ` j ) = -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) )
363		negeq 9847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> -u x = -u 0 )
364	363	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( _e ^c -u x ) = ( _e ^c -u 0 ) )
365		neg0 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u 0 = 0
366	365	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e ^c -u 0 ) = ( _e ^c 0 )
367		cxp0 23343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. CC -> ( _e ^c 0 ) = 1 )
368	9, 367	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _e ^c 0 ) = 1
369	366, 368	eqtri 2431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _e ^c -u 0 ) = 1
370	364, 369	syl6eq 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0 -> ( _e ^c -u x ) = 1 )
371		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0 -> ( G ` x ) = ( G ` 0 ) )
372	370, 371	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 x. ( G ` 0 ) ) )
373		0red 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. RR )
374	117, 373	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ` 0 ) e. CC )
375	374	mulid2d 9643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. ( G ` 0 ) ) = ( G ` 0 ) )
376	372, 375	sylan9eqr 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = ( G ` 0 ) )
377	376	negeqd 9849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( G ` 0 ) )
378	377	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = 0 ) -> -u ( ( _e ^c -u x ) x. ( G ` x ) ) = -u ( G ` 0 ) )
379		lbicc2 11688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ 0 <_ j ) -> 0 e. ( 0 [,] j ) )
380	349, 350, 237, 379	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ( 0 [,] j ) )
381	374	negcld 9953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( G ` 0 ) e. CC )
382	381	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( G ` 0 ) e. CC )
383	342, 378, 380, 382	fvmptd 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( O ` 0 ) = -u ( G ` 0 ) )
384	362, 383	oveq12d 6295	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) = ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) - -u ( G ` 0 ) ) )
385	374	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` 0 ) e. CC )
386	361, 385	subnegd 9973	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) - -u ( G ` 0 ) ) = ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) )
387	361, 385	addcomd 9815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) + -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
388	385, 360	negsubd 9972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( G ` 0 ) + -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
389	387, 388	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( -u ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) + ( G ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
390	384, 386, 389	3eqtrd 2447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( O ` j ) - ( O ` 0 ) ) = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
391	235, 341, 390	3eqtrd 2447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x = ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) )
392	391	oveq2d 6293	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
393	25	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
394		0zd 10916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
395		etransclem46.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (coeff ` Q )
396	395	coef2 22918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
397	393, 394, 396	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
398		elfznn0 11824	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
399	398	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
400	397, 399	ffvelrnd 6009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
401	400	zcnd 11008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
402	353, 354	cxpcld 23381	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
403	402	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
404	401, 403	mulcld 9645	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
405	404, 385, 360	subdid 10052	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( G ` 0 ) - ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
406	392, 405	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
407	406	sumeq2dv 13672	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
408		fzfid 12122	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
409	404, 385	mulcld 9645	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) e. CC )
410	404, 360	mulcld 9645	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) e. CC )
411	408, 409, 410	fsumsub 13752	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) - sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) ) )
412		etransclem46.qe0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
413	412	eqcomd 2410	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 = ( Q ` _e ) )
414	395, 23	coeid2 22926	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ _e e. CC ) -> ( Q ` _e ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) )
415	25, 9, 414	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) )
416		cxpexp 23341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( _e ^c j ) = ( _e ^ j ) )
417	353, 398, 416	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c j ) = ( _e ^ j ) )
418	417	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^ j ) = ( _e ^c j ) )
419	418	oveq2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
420	419	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
421	420	sumeq2dv 13672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
422	413, 415, 421	3eqtrd 2447	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) )
423	422	oveq1d 6292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 x. ( G ` 0 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) )
424	374	mul02d 9811	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 x. ( G ` 0 ) ) = 0 )
425	408, 374, 404	fsummulc1 13749	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) )
426	423, 424, 425	3eqtr3rd 2452	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( G ` 0 ) ) = 0 )
427	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> G = ( x e. RR |-> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) ) )
428		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = j -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
429	428	sumeq2sdv 13673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
430	429	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x = j ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` x ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
431		fzfid 12122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... R ) e. Fin )
432	33	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( RR Dn F ) ` i ) : RR --> CC )
433	204	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> j e. RR )
434	432, 433	ffvelrnd 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i e. ( 0 ... R ) ) -> ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) e. CC )
435	431, 434	fsumcl 13702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) e. CC )
436	427, 430, 204, 435	fvmptd 5937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( G ` j ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
437	436	oveq2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) = ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
438	437	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. ( G ` j ) ) ) = ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) )
439	357, 435	mulcld 9645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) e. CC )
440	401, 403, 439	mulassd 9648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) = ( ( A ` j ) x. ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) ) )
441	368	eqcomi 2415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( _e ^c 0 )
442	441	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 1 = ( _e ^c 0 ) )
443	354	negidd 9956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j + -u j ) = 0 )
444	443	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 = ( j + -u j ) )
445	444	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c 0 ) = ( _e ^c ( j + -u j ) ) )
446	53, 54	gtneii 9727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
447	446	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> _e =/= 0 )
448	353, 447, 354, 355	cxpaddd 23390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( _e ^c ( j + -u j ) ) = ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) )
449	442, 445, 448	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 1 = ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) )
450	449	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
451	450	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) )
452	435	mulid2d 9643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 1 x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) )
453	403, 357, 435	mulassd 9648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( _e ^c j ) x. ( _e ^c -u j ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) = ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) )
454	451, 452, 453	3eqtr3rd 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( _e ^c j ) x. ( ( _e ^c -u j ) x. sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR Dn F ) ` i ) ` j ) ) ) = sum_ i e. ( 0 ... R ) ( ( ( RR