Theorem etransclem38 38131

Description: P divides the I -th derivative of F applied to J. if it is not the case that I = P - 1 and J = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem38.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem38.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem38.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i	|- ( ph -> I e. NN0 )
etransclem38.j	|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij	|- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
etransclem38.c	|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )

Assertion

Ref	Expression
etransclem38	|- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, c, j, n, x   I, c, j, n, x   J, c, j, n, x   M, c, j, n, x   P, c, j, n, x   ph, c, j, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, j, n, c)

Proof of Theorem etransclem38

Dummy variables d e k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem38.c	. . . 4 |- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
2		etransclem38.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN0 )
3	1, 2	etransclem16 38109	. . 3 |- ( ph -> ( C ` I ) e. Fin )
4		etransclem38.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
5	4	nnzd 11036	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
6	4	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P e. NN )
7		etransclem38.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
8	7	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> M e. NN0 )
9	2	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> I e. NN0 )
10		etransclem11 38104	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } )
11		etransclem11 38104	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
12	1, 10, 11	3eqtri 2476	. . . . 5 |- C = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
13		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( C ` I ) )
14		etransclem38.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
15	14	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ( 0 ... M ) )
16		eqid 2450	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
17	6, 8, 9, 12, 13, 15, 16	etransclem28 38121	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
18		nnm1nn0 10908	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
20	19	faccld 37527	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
21	20	nnzd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
22	21	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
23	20	nnne0d 10651	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
24	23	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
25	14	elfzelzd 37530	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ZZ )
26	25	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ZZ )
27	6, 8, 9, 26, 12, 13	etransclem26 38119	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
28		dvdsval2 14301	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 /\ ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
30	17, 29	mpbid 214	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
31		pm3.22 451	. . . . . . . 8 |- ( ( J = 0 /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
32	31	adantll 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
33		etransclem38.ij	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
34	33	ad3antrrr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
35	32, 34	pm2.65da 579	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> -. I = ( P - 1 ) )
36	35	neqned 2630	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> I =/= ( P - 1 ) )
37	4	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
38	7	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
39	2	ad3antrrr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I e. NN0 )
40		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I =/= ( P - 1 ) )
41		simplr 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
42	13	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> c e. ( C ` I ) )
43	37, 38, 39, 40, 41, 12, 42	etransclem24 38117	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
44	36, 43	mpdan 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
45	4	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. NN )
46	7	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> M e. NN0 )
47	2	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> I e. NN0 )
48	1, 2	etransclem12 38105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
49	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
50	13, 49	eleqtrd 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
51		rabid 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } <-> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
52	50, 51	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
53	52	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) )
54		elmapi 7490	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
56	55	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
57	52	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
58	57	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
59		1zzd 10965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 e. ZZ )
60	7	nn0zd 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. ZZ )
62	25	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ZZ )
63	59, 61, 62	3jca 1187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) )
64		elfznn0 11884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. NN0 )
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. NN0 )
66		neqne 37368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. J = 0 -> J =/= 0 )
67	65, 66	anim12i 569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
68		elnnne0 10880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. NN <-> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
69	67, 68	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN )
70	69	nnge1d 10649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 <_ J )
71		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J <_ M )
72	14, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J <_ M )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J <_ M )
74	63, 70, 73	jca32 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
75		elfz2 11788	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
76	74, 75	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
77	76	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
78	45, 46, 47, 56, 58, 16, 77	etransclem25 38118	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
79	4	nncnd 10622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. CC )
80		1cnd 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
81	79, 80	npcand 9987	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
82	81	eqcomd 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
83	82	fveq2d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` P ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
84		facp1 12461	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
86	81	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) )
87	20	nncnd 10622	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
88	87, 79	mulcomd 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
90	83, 85, 89	3eqtrrd 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
91	90	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
92	27	zcnd 11038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. CC )
93	87	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
94	92, 93, 24	divcan1d 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
95	94	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
96	78, 91, 95	3brtr4d 4432	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
97	5	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. ZZ )
98	30	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
99	21	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
100	23	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
101		dvdsmulcr 14325	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
102	97, 98, 99, 100, 101	syl112anc 1271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
103	96, 102	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
104	44, 103	pm2.61dan 799	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
105	3, 5, 30, 104	fsumdvds 14341	. 2 |- ( ph -> P || sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
106		reelprrecn 9628	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
107	106	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
108		reopn 37496	. . . . . . 7 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
109		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
110	109	tgioo2 21814	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
111	108, 110	eleqtri 2526	. . . . . 6 |- RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
112	111	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
113		etransclem38.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
114		etransclem5 38098	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
115		fzssre 37529	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) C_ RR
116	115, 14	sseldi 3429	. . . . 5 |- ( ph -> J e. RR )
117	107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116	etransclem31 38124	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
118	117	oveq1d 6303	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
119	3, 87, 92, 23	fsumdivc 13840	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
120	118, 119	eqtrd 2484	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
121	105, 120	breqtrrd 4428	1 |- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   {crab 2740   ifcif 3880   {cpr 3969   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   ...cfz 11781   ^cexp 12269   !cfa 12456   sum_csu 13745   prod_cprod 13952   || cdvds 14298   ↾_t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂ_fldccnfld 18963   Dncdvn 22812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-dvn 22816

This theorem is referenced by:  etransclem44  38137