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Theorem etransclem38 38249
Description:  P divides the I -th derivative of  F applied to  J. if it is not the case that  I  =  P  - 
1 and  J  =  0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem38.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem38.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
etransclem38.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij  |-  ( ph  ->  -.  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
etransclem38.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
Assertion
Ref Expression
etransclem38  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `  J
)  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, c,
j, n, x    I,
c, j, n, x    J, c, j, n, x    M, c, j, n, x    P, c, j, n, x    ph, c, j, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, j, n, c)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables  d 
e  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
2 etransclem38.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
31, 2etransclem16 38227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  I
)  e.  Fin )
4 etransclem38.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
54nnzd 11062 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
64adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  P  e.  NN )
7 etransclem38.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
87adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  M  e.  NN0 )
92adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  I  e.  NN0 )
10 etransclem11 38222 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  n } )  =  ( m  e. 
NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( e `  k
)  =  m }
)
11 etransclem11 38222 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( e `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( d `  j
)  =  n }
)
121, 10, 113eqtri 2497 . . . . 5  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( d `  j
)  =  n }
)
13 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  ( C `  I ) )
14 etransclem38.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
1514adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  J  e.  ( 0 ... M
) )
16 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 38239 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
18 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
194, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
2019faccld 37621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
2120nnzd 11062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
2221adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
2320nnne0d 10676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 )
2423adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0
)
2514elfzelzd 37624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
2625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  J  e.  ZZ )
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 38237 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 14385 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0  /\  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  <->  ( (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ ) )
2922, 24, 27, 28syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  e.  ZZ ) )
3017, 29mpbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
31 pm3.22 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  =  0  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3231adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( I  =  ( P  - 
1 )  /\  J  =  0 ) )
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3433ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  -.  (
I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3532, 34pm2.65da 586 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  -.  I  =  ( P  -  1 ) )
3635neqned 2650 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  I  =/=  ( P  - 
1 ) )
374ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  P  e.  NN )
387ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
392ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  I  e.  NN0 )
40 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  I  =/=  ( P  -  1
) )
41 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  J  = 
0 )
4213ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  c  e.  ( C `  I ) )
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 38235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
4436, 43mpdan 681 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
454ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  NN )
467ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  NN0 )
472ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  I  e.  NN0 )
481, 2etransclem12 38223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C `  I
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  I } )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( C `  I )  =  {
c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }
)
5013, 49eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }
)
51 rabid 2953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }  <->  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  I ) )
5250, 51sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I ) )
5352simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) ) )
54 elmapi 7511 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... I ) )
5655adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I
) )
5752simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  I )
5857adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I )
59 1zzd 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  e.  ZZ )
607nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  ZZ )
6225adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ZZ )
6359, 61, 623jca 1210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )
)
64 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  NN0 )
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
66 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  J  =  0  ->  J  =/=  0 )
6765, 66anim12i 576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
68 elnnne0 10907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  NN  <->  ( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
6967, 68sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN )
7069nnge1d 10674 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  <_  J )
71 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  <_  M )
7214, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  <_  M )
7372adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  <_  M )
7463, 70, 73jca32 544 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
75 elfz2 11817 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
7674, 75sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
7776adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
7845, 46, 47, 56, 58, 16, 77etransclem25 38236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  P )  ||  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
794nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
80 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8179, 80npcand 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8281eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
84 facp1 12502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) ) )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
8681oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P ) )
8720nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
8887, 79mulcomd 9682 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
8986, 88eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
9083, 85, 893eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
9190ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
9227zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  CC )
9387adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
9492, 93, 24divcan1d 10406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
9594adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
9678, 91, 953brtr4d 4426 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
975ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  ZZ )
9830adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
9921ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ )
10023ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  =/=  0
)
101 dvdsmulcr 14409 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
10297, 98, 99, 100, 101syl112anc 1296 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
10396, 102mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
10444, 103pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1053, 5, 30, 104fsumdvds 14425 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ c  e.  ( C `  I
) ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
106 reelprrecn 9649 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
107106a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
108 reopn 37591 . . . . . . 7  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
109 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
110109tgioo2 21899 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
111108, 110eleqtri 2547 . . . . . 6  |-  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
112111a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
113 etransclem38.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
114 etransclem5 38216 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  RR  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  RR  |->  ( ( x  -  j
) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
115 fzssre 37623 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  C_  RR
116115, 14sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
117107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116etransclem31 38242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR  Dn F ) `
 I ) `  J )  =  sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
118117oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `
 J )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  (
sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1193, 87, 92, 23fsumdivc 13924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  = 
sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
120118, 119eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `
 J )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
121105, 120breqtrrd 4422 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `  J
)  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   sum_csu 13829   prod_cprod 14036    || cdvds 14382   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902
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