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Theorem etransclem38 38131
Description:  P divides the I -th derivative of  F applied to  J. if it is not the case that  I  =  P  - 
1 and  J  =  0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem38.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem38.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem38.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
etransclem38.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij  |-  ( ph  ->  -.  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
etransclem38.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
Assertion
Ref Expression
etransclem38  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `  J
)  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, c,
j, n, x    I,
c, j, n, x    J, c, j, n, x    M, c, j, n, x    P, c, j, n, x    ph, c, j, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, j, n, c)

Proof of Theorem etransclem38
Dummy variables  d 
e  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem38.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
2 etransclem38.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
31, 2etransclem16 38109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C `  I
)  e.  Fin )
4 etransclem38.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
54nnzd 11036 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
64adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  P  e.  NN )
7 etransclem38.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
87adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  M  e.  NN0 )
92adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  I  e.  NN0 )
10 etransclem11 38104 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  n } )  =  ( m  e. 
NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( e `  k
)  =  m }
)
11 etransclem11 38104 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( e `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( d `  j
)  =  n }
)
121, 10, 113eqtri 2476 . . . . 5  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( d `  j
)  =  n }
)
13 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  ( C `  I ) )
14 etransclem38.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
1514adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  J  e.  ( 0 ... M
) )
16 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )
176, 8, 9, 12, 13, 15, 16etransclem28 38121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
18 nnm1nn0 10908 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
194, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
2019faccld 37527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
2120nnzd 11036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
2221adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
2320nnne0d 10651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 )
2423adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0
)
2514elfzelzd 37530 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
2625adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  J  e.  ZZ )
276, 8, 9, 26, 12, 13etransclem26 38119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 14301 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0  /\  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  <->  ( (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ ) )
2922, 24, 27, 28syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  e.  ZZ ) )
3017, 29mpbid 214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
31 pm3.22 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  =  0  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3231adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( I  =  ( P  - 
1 )  /\  J  =  0 ) )
33 etransclem38.ij . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3433ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =  ( P  -  1 ) )  ->  -.  (
I  =  ( P  -  1 )  /\  J  =  0 ) )
3532, 34pm2.65da 579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  -.  I  =  ( P  -  1 ) )
3635neqned 2630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  I  =/=  ( P  - 
1 ) )
374ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  P  e.  NN )
387ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
392ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  I  e.  NN0 )
40 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  I  =/=  ( P  -  1
) )
41 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  J  = 
0 )
4213ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  c  e.  ( C `  I ) )
4337, 38, 39, 40, 41, 12, 42etransclem24 38117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  /\  J  =  0 )  /\  I  =/=  ( P  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
4436, 43mpdan 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  J  =  0 )  ->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
454ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  NN )
467ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  NN0 )
472ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  I  e.  NN0 )
481, 2etransclem12 38105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C `  I
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  I } )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( C `  I )  =  {
c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }
)
5013, 49eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }
)
51 rabid 2966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I }  <->  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  I ) )
5250, 51sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I ) )
5352simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  (
0 ... M ) ) )
54 elmapi 7490 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... I )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... I ) )
5655adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I
) )
5752simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  I )
5857adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  I )
59 1zzd 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  e.  ZZ )
607nn0zd 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  ZZ )
6225adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ZZ )
6359, 61, 623jca 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )
)
64 elfznn0 11884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  NN0 )
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
66 neqne 37368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  J  =  0  ->  J  =/=  0 )
6765, 66anim12i 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
68 elnnne0 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  NN  <->  ( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
6967, 68sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN )
7069nnge1d 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  <_  J )
71 elfzle2 11800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  <_  M )
7214, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  <_  M )
7372adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  <_  M )
7463, 70, 73jca32 538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
75 elfz2 11788 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
7674, 75sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
7776adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
7845, 46, 47, 56, 58, 16, 77etransclem25 38118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  P )  ||  (
( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
794nncnd 10622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
80 1cnd 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8179, 80npcand 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8281eqcomd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
8382fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
84 facp1 12461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) ) )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
8681oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P ) )
8720nncnd 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
8887, 79mulcomd 9661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
8986, 88eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
9083, 85, 893eqtrrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
9190ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
9227zcnd 11038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  e.  CC )
9387adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
9492, 93, 24divcan1d 10381 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  ( (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
9594adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
9678, 91, 953brtr4d 4432 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
975ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  ZZ )
9830adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
9921ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ )
10023ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  =/=  0
)
101 dvdsmulcr 14325 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
10297, 98, 99, 100, 101syl112anc 1271 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  ( ( P  x.  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  ||  ( ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <->  P  ||  ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
10396, 102mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  I
) )  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
10444, 103pm2.61dan 799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  I ) )  ->  P  ||  (
( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1053, 5, 30, 104fsumdvds 14341 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ c  e.  ( C `  I
) ( ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
106 reelprrecn 9628 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
107106a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
108 reopn 37496 . . . . . . 7  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
109 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
110109tgioo2 21814 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
111108, 110eleqtri 2526 . . . . . 6  |-  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
112111a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
113 etransclem38.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
114 etransclem5 38098 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  RR  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  RR  |->  ( ( x  -  j
) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
115 fzssre 37529 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  C_  RR
116115, 14sseldi 3429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
117107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116etransclem31 38124 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR  Dn F ) `
 I ) `  J )  =  sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `  I
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
118117oveq1d 6303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `
 J )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  (
sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1193, 87, 92, 23fsumdivc 13840 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ! `
 I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  = 
sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
120118, 119eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `
 J )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  sum_ c  e.  ( C `  I ) ( ( ( ( ! `  I )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( J ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )  / 
( ! `  ( P  -  1 ) ) ) )
121105, 120breqtrrd 4428 1  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( RR  Dn F ) `  I ) `  J
)  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   {crab 2740   ifcif 3880   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   ...cfz 11781   ^cexp 12269   !cfa 12456   sum_csu 13745   prod_cprod 13952    || cdvds 14298   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963    Dncdvn 22812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-dvn 22816
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