Theorem etransclem38 38249

Description: P divides the I -th derivative of F applied to J. if it is not the case that I = P - 1 and J = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem38.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem38.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem38.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i	|- ( ph -> I e. NN0 )
etransclem38.j	|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij	|- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
etransclem38.c	|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )

Assertion

Ref	Expression
etransclem38	|- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, c, j, n, x   I, c, j, n, x   J, c, j, n, x   M, c, j, n, x   P, c, j, n, x   ph, c, j, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, j, n, c)

Proof of Theorem etransclem38

Dummy variables d e k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem38.c	. . . 4 |- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
2		etransclem38.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN0 )
3	1, 2	etransclem16 38227	. . 3 |- ( ph -> ( C ` I ) e. Fin )
4		etransclem38.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
5	4	nnzd 11062	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
6	4	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P e. NN )
7		etransclem38.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
8	7	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> M e. NN0 )
9	2	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> I e. NN0 )
10		etransclem11 38222	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } )
11		etransclem11 38222	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
12	1, 10, 11	3eqtri 2497	. . . . 5 |- C = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
13		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( C ` I ) )
14		etransclem38.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
15	14	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ( 0 ... M ) )
16		eqid 2471	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
17	6, 8, 9, 12, 13, 15, 16	etransclem28 38239	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
18		nnm1nn0 10935	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
20	19	faccld 37621	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
21	20	nnzd 11062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
22	21	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
23	20	nnne0d 10676	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
24	23	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
25	14	elfzelzd 37624	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ZZ )
26	25	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ZZ )
27	6, 8, 9, 26, 12, 13	etransclem26 38237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
28		dvdsval2 14385	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 /\ ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
30	17, 29	mpbid 215	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
31		pm3.22 456	. . . . . . . 8 |- ( ( J = 0 /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
32	31	adantll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
33		etransclem38.ij	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
34	33	ad3antrrr 744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
35	32, 34	pm2.65da 586	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> -. I = ( P - 1 ) )
36	35	neqned 2650	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> I =/= ( P - 1 ) )
37	4	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
38	7	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
39	2	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I e. NN0 )
40		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I =/= ( P - 1 ) )
41		simplr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
42	13	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> c e. ( C ` I ) )
43	37, 38, 39, 40, 41, 12, 42	etransclem24 38235	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
44	36, 43	mpdan 681	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
45	4	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. NN )
46	7	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> M e. NN0 )
47	2	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> I e. NN0 )
48	1, 2	etransclem12 38223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
49	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
50	13, 49	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
51		rabid 2953	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } <-> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
52	50, 51	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
53	52	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) )
54		elmapi 7511	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
56	55	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
57	52	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
58	57	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
59		1zzd 10992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 e. ZZ )
60	7	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	60	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. ZZ )
62	25	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ZZ )
63	59, 61, 62	3jca 1210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) )
64		elfznn0 11913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. NN0 )
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. NN0 )
66		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. J = 0 -> J =/= 0 )
67	65, 66	anim12i 576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
68		elnnne0 10907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. NN <-> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
69	67, 68	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN )
70	69	nnge1d 10674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 <_ J )
71		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J <_ M )
72	14, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J <_ M )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J <_ M )
74	63, 70, 73	jca32 544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
75		elfz2 11817	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
76	74, 75	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
77	76	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
78	45, 46, 47, 56, 58, 16, 77	etransclem25 38236	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
79	4	nncnd 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. CC )
80		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
81	79, 80	npcand 10009	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
82	81	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
83	82	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` P ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
84		facp1 12502	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
86	81	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) )
87	20	nncnd 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
88	87, 79	mulcomd 9682	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
90	83, 85, 89	3eqtrrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
91	90	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
92	27	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. CC )
93	87	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
94	92, 93, 24	divcan1d 10406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
95	94	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
96	78, 91, 95	3brtr4d 4426	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
97	5	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. ZZ )
98	30	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
99	21	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
100	23	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
101		dvdsmulcr 14409	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
102	97, 98, 99, 100, 101	syl112anc 1296	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
103	96, 102	mpbid 215	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
104	44, 103	pm2.61dan 808	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
105	3, 5, 30, 104	fsumdvds 14425	. 2 |- ( ph -> P || sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
106		reelprrecn 9649	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
107	106	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
108		reopn 37591	. . . . . . 7 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
109		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
110	109	tgioo2 21899	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
111	108, 110	eleqtri 2547	. . . . . 6 |- RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
112	111	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
113		etransclem38.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
114		etransclem5 38216	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
115		fzssre 37623	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) C_ RR
116	115, 14	sseldi 3416	. . . . 5 |- ( ph -> J e. RR )
117	107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116	etransclem31 38242	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
118	117	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
119	3, 87, 92, 23	fsumdivc 13924	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
120	118, 119	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
121	105, 120	breqtrrd 4422	1 |- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {crab 2760   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   || cdvds 14382   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   Dncdvn 22898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902

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