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Theorem etransclem33 32216
Description:  F is smooth. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem33.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem33.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem33.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem33.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem33.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem33.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
etransclem33  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : X --> CC )
Distinct variable groups:    j, M, x    j, N, x    P, j, x    S, j, x   
j, X, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    F( x, j)

Proof of Theorem etransclem33
Dummy variables  c 
d  k  m  n  w  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
)  =  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) )
2 oveq2 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... N
) )
32oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  =  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) ) )
4 eqeq2 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( d `  k )  =  N ) )
53, 4rabeqbidv 3029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m }  =  { d  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }
)
65adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  =  N )  ->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m }  =  { d  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }
)
7 etransclem33.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  e. 
_V
98rabex 4516 . . . . . . . 8  |-  { d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  N }  e.  _V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { d  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }  e.  _V )
111, 6, 7, 10fvmptd 5862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  =  { d  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }
)
12 fzfi 11985 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... N )  e. 
Fin
13 fzfi 11985 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  e. 
Fin
14 mapfi 7731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 0 ... M
)  e.  Fin )  ->  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  e.  Fin )
1512, 13, 14mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  e. 
Fin
16 ssrab2 3499 . . . . . . 7  |-  { d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  N }  C_  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
17 ssfi 7656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  e.  Fin  /\  {
d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }  C_  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )  ->  { d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }  e.  Fin )
1815, 16, 17mp2an 670 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  N }  e.  Fin
1911, 18syl6eqel 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )
2019adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )
217faccld 31682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
2221nncnd 10468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
2322ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
2413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
25 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)
2611adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  =  { d  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }
)
2725, 26eleqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { d  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  N }
)
2816, 27sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )
29 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... N ) )
3130fnvinran 31556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
3231adantllr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
33 elfznn0 11693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c `  j )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
3534faccld 31682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
3635nncnd 10468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
3724, 36fprodcl 13761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
3835nnne0d 10497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
3924, 36, 38fprodn0 13785 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
4023, 37, 39divcld 10237 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
41 etransclem33.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4241ad3antrrr 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
43 etransclem33.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
4443ad3antrrr 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
45 etransclem33.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4645ad3antrrr 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
47 etransclem5 32188 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( w  e.  ( 0 ... M )  |->  ( z  e.  X  |->  ( ( z  -  w
) ^ if ( w  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
48 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
4942, 44, 46, 47, 48, 34etransclem20 32203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( ( k  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) : X --> CC )
50 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  X )
5149, 50ffvelrnd 5934 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  (
( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) ) `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  e.  CC )
5224, 51fprodcl 13761 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x )  e.  CC )
5340, 52mulcld 9527 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) ) `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )
)  e.  CC )
5420, 53fsumcl 13557 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) )  e.  CC )
55 eqid 2382 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) )
5654, 55fmptd 5957 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) : X --> CC )
57 etransclem33.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
58 etransclem33.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
59 etransclem5 32188 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j
) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
60 etransclem11 32194 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
6141, 43, 45, 57, 58, 7, 59, 60etransclem30 32213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) ) `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) ) ) )
6261feq1d 5625 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) ) `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) : X --> CC ) )
6356, 62mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N ) : X --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   ifcif 3857   {cpr 3946    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ...cfz 11593   ^cexp 12069   !cfa 12255   sum_csu 13510   prod_cprod 13714   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829  ℂfldccnfld 18533    Dncdvn 22353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-prod 13715  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-dvn 22357
This theorem is referenced by:  etransclem39  32222  etransclem43  32226  etransclem45  32228  etransclem46  32229  etransclem47  32230
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