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Theorem etransclem32 32288
Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem32.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem32.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem32.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem32.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem32.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem32.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem32.ngt  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
etransclem32.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem32  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Distinct variable groups:    j, H, x    j, M, x    j, N, x    P, j, x    S, j, x    j, X, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    F( x, j)

Proof of Theorem etransclem32
Dummy variables  A  c  k  n  d  m  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem32.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 etransclem32.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 etransclem32.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4 etransclem32.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5 etransclem32.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
6 etransclem32.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 etransclem32.h . . 3  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
8 etransclem11 32267 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 32286 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) )
10 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)
118, 6etransclem12 32268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1211adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1310, 12eleqtrd 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1413adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
15 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
16 nfre1 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
1716nfn 1906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)
1815, 17nfan 1933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
19 fzssre 31757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... N )  C_  RR
20 rabid 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  <->  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N ) )
2120simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
22 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2423adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... N ) )
2524fnvinran 31629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ( 0 ... N
) )
2619, 25sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
2726adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
28 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
3029nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
313nnred 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3230, 31ifcld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
3332ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
34 ralnex 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  <->  -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
)
3534biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
3635r19.21bi 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3736adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3827, 33, 37nltled 31717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
3938ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
4018, 39ralrimi 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
41 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
c `  j )  =  ( c `  k ) )
4241cbvsumv 13600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k )
4320simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N )
4442, 43syl5reqr 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k ) )
4544ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
) )
46 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  h  ->  (
c `  k )  =  ( c `  h ) )
4746cbvsumv 13600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  =  sum_ h  e.  ( 0 ... M ) ( c `
 h )
48 fzfid 12065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
4924ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  ( 0 ... N
) )
5019, 49sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5150adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5230, 31ifcld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
5352ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
54 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
k  =  0  <->  h  =  0 ) )
5554ifbid 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  h  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5646, 55breq12d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  h  ->  (
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <-> 
( c `  h
)  <_  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
5756rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
5857adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5948, 51, 53, 58fsumle 13695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
60 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
614, 60syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
623nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
6329, 62ifcld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
6564nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  CC )
66 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
6761, 65, 66fsum1p 13650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( P  -  1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
68 0p1e1 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6968oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... M
)  =  ( 1 ... M ) )
7170sumeq1d 13605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
72 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
73 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
74 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  ZZ )
7574zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  RR )
76 0lt1 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  1
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
78 elfzle1 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  h )
7972, 73, 75, 77, 78ltletrd 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  h )
8079gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  =/=  0 )
8180neneqd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  -.  h  =  0 )
8281iffalsed 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8382adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8483sumeq2dv 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M
) P )
85 fzfid 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
863nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
87 fsumconst 13687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  P  e.  CC )  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
8885, 86, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
89 hashfz1 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
904, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
9190oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  P )  =  ( M  x.  P
) )
9288, 91eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( M  x.  P ) )
9371, 84, 923eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( M  x.  P ) )
9493oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ( P  -  1 )  +  ( M  x.  P ) ) )
9529nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
964, 62nn0mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  NN0 )
9796nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
9895, 97addcomd 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  ( M  x.  P ) )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
9967, 94, 983eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10159, 100breqtrd 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10247, 101syl5eqbr 4472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10345, 102eqbrtrd 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10440, 103syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
105 etransclem32.ngt . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
10696, 29nn0addcld 10852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
107106nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
1086nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
109107, 108ltnled 9721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N  <->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) ) )
110105, 109mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
111110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
112104, 111condan 792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
113112adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
114 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
115 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( 0 ... M
)
116115nfsum1 13594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )
117116nfeq1 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N
118 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ j
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
119117, 118nfrab 3036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
120119nfcri 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N }
121114, 120nfan 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
122 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  ( 0 ... M )
123 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
124121, 122, 123nf3an 1935 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )
125 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( ( ( S  Dn ( H `
 k ) ) `
 ( c `  k ) ) `  x )
126 fzfid 12065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
1271ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1282ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1293ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  P  e.  NN )
130 etransclem5 32261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1317, 130eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
132 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13323ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
134 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
135133, 134ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
136135adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  ( 0 ... N ) )
137 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  j )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  NN0 )
139127, 128, 129, 131, 132, 138etransclem20 32276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) : X --> CC )
140 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  X )
141139, 140ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  e.  CC )
1421413ad2antl1 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  e.  CC )
143 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
144143oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( S  Dn ( H `
 j ) )  =  ( S  Dn ( H `  k ) ) )
145144, 41fveq12d 5854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
)  =  ( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `
 k ) ) )
146145fveq1d 5850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
) `  x )
)
147 simp2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  k  e.  ( 0 ... M
) )
1481ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1491483ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1502ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1511503ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1523ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  P  e.  NN )
1531523ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  P  e.  NN )
154 etransclem5 32261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( h  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1557, 154eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( h  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
156 fzssz 31706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... N )  C_  ZZ
157156, 25sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
158157adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  k )  e.  ZZ )
1591583adant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
160 simp3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
161149, 151, 153, 155, 147, 159, 160etransclem19 32275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
)  =  ( y  e.  X  |->  0 ) )
162 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  y  =  x )  ->  0  =  0 )
163 simp1lr 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  x  e.  X )
164 0red 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  0  e.  RR )
165161, 162, 163, 164fvmptd 5936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `  k
) ) `  x
)  =  0 )
166124, 125, 126, 142, 146, 147, 165fprod0 31842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 )
167166rexlimdv3a 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 ) )
168113, 167mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
16914, 168syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
170169oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  0 ) )
1716faccld 31755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
172171nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
173172adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
174 fzfid 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
175 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
17613adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
177 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
178175, 176, 177, 135syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
179178, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
180179faccld 31755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
181180nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
182174, 181fprodcl 13841 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
183180nnne0d 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
184174, 181, 183fprodn0 13865 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
185173, 182, 184divcld 10316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
186185mul01d 9768 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
187186adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
188170, 187eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  0 )
189188sumeq2dv 13607 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0 )
190 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
)
191190, 6etransclem16 32272 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )
192191olcd 391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
193192adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
194 sumz 13626 . . . . 5  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
195193, 194syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
196189, 195eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  0 )
197196mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
1989, 197eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   ifcif 3929   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   ^cexp 12148   !cfa 12335   #chash 12387   sum_csu 13590   prod_cprod 13794   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615    Dncdvn 22434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-prod 13795  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-dvn 22438
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