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Theorem etransclem32 38243
Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem32.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem32.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem32.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem32.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem32.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem32.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem32.ngt  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
etransclem32.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem32  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Distinct variable groups:    j, H, x    j, M, x    j, N, x    P, j, x    S, j, x    j, X, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    F( x, j)

Proof of Theorem etransclem32
Dummy variables  A  c  k  n  d  m  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem32.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 etransclem32.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 etransclem32.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4 etransclem32.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5 etransclem32.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
6 etransclem32.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 etransclem32.h . . 3  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
8 etransclem11 38222 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 38241 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) )
10 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)
118, 6etransclem12 38223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1211adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1310, 12eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1413adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
15 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
16 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
1716nfn 2003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)
1815, 17nfan 2031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
19 fzssre 37623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... N )  C_  RR
20 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  <->  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N ) )
2120simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
22 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... N ) )
2524fnvinran 37398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ( 0 ... N
) )
2619, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
2726adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
28 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
3029nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
313nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3230, 31ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
3332ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
34 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  <->  -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
)
3534biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
3635r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3736adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3827, 33, 37nltled 9802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
3938ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
4018, 39ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
c `  j )  =  ( c `  k ) )
4241cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k )
4320simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N )
4442, 43syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k ) )
4544ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
) )
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  h  ->  (
c `  k )  =  ( c `  h ) )
4746cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  =  sum_ h  e.  ( 0 ... M ) ( c `
 h )
48 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
4924ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  ( 0 ... N
) )
5019, 49sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5150adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5230, 31ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
5352ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
54 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
k  =  0  <->  h  =  0 ) )
5554ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  h  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5646, 55breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  h  ->  (
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <-> 
( c `  h
)  <_  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
5756rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
5857adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5948, 51, 53, 58fsumle 13936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
60 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
614, 60syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
623nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
6329, 62ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
6564nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  CC )
66 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
6761, 65, 66fsum1p 13891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( P  -  1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
68 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6968oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... M
)  =  ( 1 ... M ) )
7170sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
72 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
73 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
74 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  ZZ )
7574zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  RR )
76 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  1
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
78 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  h )
7972, 73, 75, 77, 78ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  h )
8079gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  =/=  0 )
8180neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  -.  h  =  0 )
8281iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8382adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8483sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M
) P )
85 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
863nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
87 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  P  e.  CC )  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
8885, 86, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
89 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
9190oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  P )  =  ( M  x.  P
) )
9288, 91eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( M  x.  P ) )
9371, 84, 923eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( M  x.  P ) )
9493oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ( P  -  1 )  +  ( M  x.  P ) ) )
9529nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
964, 62nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  NN0 )
9796nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
9895, 97addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  ( M  x.  P ) )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
9967, 94, 983eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
10099ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10159, 100breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10247, 101syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10345, 102eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10440, 103syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
105 etransclem32.ngt . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
10696, 29nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
107106nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
1086nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
109107, 108ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N  <->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) ) )
110105, 109mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
111110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
112104, 111condan 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
113112adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
114 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( 0 ... M
)
116115nfsum1 13833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )
117116nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N
118 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ j
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
119117, 118nfrab 2958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
120119nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N }
121114, 120nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
122 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  ( 0 ... M )
123 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
124121, 122, 123nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )
125 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( ( ( S  Dn ( H `
 k ) ) `
 ( c `  k ) ) `  x )
126 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
1271ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1282ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1293ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  P  e.  NN )
130 etransclem5 38216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1317, 130eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
132 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13323ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
134 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
135133, 134ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
136135adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  ( 0 ... N ) )
137 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  j )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  NN0 )
139127, 128, 129, 131, 132, 138etransclem20 38231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) : X --> CC )
140 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  X )
141139, 140ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  e.  CC )
1421413ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  e.  CC )
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( S  Dn ( H `
 j ) )  =  ( S  Dn ( H `  k ) ) )
145144, 41fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
)  =  ( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `
 k ) ) )
146145fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
) `  x )
)
147 simp2 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  k  e.  ( 0 ... M
) )
1481ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1491483ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1502ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1511503ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1523ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  P  e.  NN )
1531523ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  P  e.  NN )
154 etransclem5 38216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( h  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1557, 154eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( h  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
156 fzssz 11827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... N )  C_  ZZ
157156, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
158157adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  k )  e.  ZZ )
1591583adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
160 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
161149, 151, 153, 155, 147, 159, 160etransclem19 38230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
)  =  ( y  e.  X  |->  0 ) )
162 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  y  =  x )  ->  0  =  0 )
163 simp1lr 1094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  x  e.  X )
164 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  0  e.  RR )
165161, 162, 163, 164fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `  k
) ) `  x
)  =  0 )
166124, 125, 126, 142, 146, 147, 165fprod0 37773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 )
167166rexlimdv3a 2873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 ) )
168113, 167mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
16914, 168syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
170169oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  0 ) )
1716faccld 37621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
172171nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
173172adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
174 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
175 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
17613adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
177 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
178175, 176, 177, 135syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
179178, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
180179faccld 37621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
181180nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
182174, 181fprodcl 14083 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
183180nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
184174, 181, 183fprodn0 14110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
185173, 182, 184divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
186185mul01d 9850 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
187186adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
188170, 187eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  0 )
189188sumeq2dv 13846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0 )
190 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
)
191190, 6etransclem16 38227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )
192191olcd 400 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
193192adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
194 sumz 13865 . . . . 5  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
195193, 194syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
196189, 195eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  0 )
197196mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
1989, 197eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   #chash 12553   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902
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