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Theorem etransclem32 38014
Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem32.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem32.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem32.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem32.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem32.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem32.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem32.ngt  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
etransclem32.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem32  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Distinct variable groups:    j, H, x    j, M, x    j, N, x    P, j, x    S, j, x    j, X, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    F( x, j)

Proof of Theorem etransclem32
Dummy variables  A  c  k  n  d  m  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem32.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 etransclem32.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 etransclem32.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4 etransclem32.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5 etransclem32.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
6 etransclem32.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 etransclem32.h . . 3  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
8 etransclem11 37993 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 38012 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) )
10 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)
118, 6etransclem12 37994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1211adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  =  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1310, 12eleqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
1413adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
15 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
16 nfre1 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
1716nfn 1960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)
1815, 17nfan 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
19 fzssre 37432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... N )  C_  RR
20 rabid 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  <->  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N ) )
2120simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
22 elmapi 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  c :
( 0 ... M
) --> ( 0 ... N ) )
2524fnvinran 37251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ( 0 ... N
) )
2619, 25sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
2726adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  RR )
28 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
3029nn0red 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
313nnred 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3230, 31ifcld 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
3332ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
34 ralnex 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  <->  -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
)
3534biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M )  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
3635r19.21bi 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3736adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -.  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
3827, 33, 37nltled 9736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
3938ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
4018, 39ralrimi 2765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
41 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
c `  j )  =  ( c `  k ) )
4241cbvsumv 13705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k )
4320simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N )
4442, 43syl5reqr 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k ) )
4544ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
) )
46 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  h  ->  (
c `  k )  =  ( c `  h ) )
4746cbvsumv 13705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  =  sum_ h  e.  ( 0 ... M ) ( c `
 h )
48 fzfid 12136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
4924ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  ( 0 ... N
) )
5019, 49sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5150adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  e.  RR )
5230, 31ifcld 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
5352ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  RR )
54 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
k  =  0  <->  h  =  0 ) )
5554ifbid 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  h  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5646, 55breq12d 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  h  ->  (
( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <-> 
( c `  h
)  <_  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
5756rspccva 3124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( 0 ... M ) ( c `  k
)  <_  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )
5857adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  h )  <_  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
5948, 51, 53, 58fsumle 13802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
60 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
614, 60syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
623nnnn0d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
6329, 62ifcld 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
6564nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  CC )
66 iftrue 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
6761, 65, 66fsum1p 13757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( P  -  1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
68 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6968oveq1i 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... M
)  =  ( 1 ... M ) )
7170sumeq1d 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )
72 0red 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
73 1red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
74 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  ZZ )
7574zred 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  e.  RR )
76 0lt1 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  1
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
78 elfzle1 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  h )
7972, 73, 75, 77, 78ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  h )
8079gt0ne0d 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  h  =/=  0 )
8180neneqd 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  -.  h  =  0 )
8281iffalsed 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
8483sumeq2dv 13712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  sum_ h  e.  ( 1 ... M
) P )
85 fzfid 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
863nncnd 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
87 fsumconst 13794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  P  e.  CC )  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
8885, 86, 87syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  x.  P
) )
89 hashfz1 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
9190oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  P )  =  ( M  x.  P
) )
9288, 91eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
1 ... M ) P  =  ( M  x.  P ) )
9371, 84, 923eqtrd 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( M  x.  P ) )
9493oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  sum_ h  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ( P  -  1 )  +  ( M  x.  P ) ) )
9529nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
964, 62nn0mulcld 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  NN0 )
9796nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
9895, 97addcomd 9786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  ( M  x.  P ) )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
9967, 94, 983eqtrd 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ h  e.  (
0 ... M ) if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) )
10099ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  =  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10159, 100breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ h  e.  ( 0 ... M
) ( c `  h )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10247, 101syl5eqbr 4400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
10345, 102eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  A. k  e.  ( 0 ... M
) ( c `  k )  <_  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
10440, 103syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
105 etransclem32.ngt . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N )
10696, 29nn0addcld 10880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
107106nn0red 10877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
1086nn0red 10877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
109107, 108ltnled 9733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) )  <  N  <->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  - 
1 ) ) ) )
110105, 109mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  (
( M  x.  P
)  +  ( P  -  1 ) ) )
111110ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  -.  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  -.  N  <_  ( ( M  x.  P )  +  ( P  -  1 ) ) )
112104, 111condan 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
113112adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  E. k  e.  ( 0 ... M
) if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )
114 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
115 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( 0 ... M
)
116115nfsum1 13699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )
117116nfeq1 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N
118 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ j
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
119117, 118nfrab 2949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
120119nfcri 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N }
121114, 120nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
122 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  ( 0 ... M )
123 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  k )
124121, 122, 123nf3an 1990 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )
125 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( ( ( S  Dn ( H `
 k ) ) `
 ( c `  k ) ) `  x )
126 fzfid 12136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
1271ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1282ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1293ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  P  e.  NN )
130 etransclem5 37987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1317, 130eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
132 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13323ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
134 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
135133, 134ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
136135adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  ( 0 ... N ) )
137 elfznn0 11838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  j )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  j )  e.  NN0 )
139127, 128, 129, 131, 132, 138etransclem20 38002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) : X --> CC )
140 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  X )
141139, 140ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  e.  CC )
1421413ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  e.  CC )
143 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
144143oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( S  Dn ( H `
 j ) )  =  ( S  Dn ( H `  k ) ) )
145144, 41fveq12d 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
)  =  ( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `
 k ) ) )
146145fveq1d 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
) `  x )
)
147 simp2 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  k  e.  ( 0 ... M
) )
1481ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
1491483ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1502ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1511503ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
1523ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  P  e.  NN )
1531523ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  P  e.  NN )
154 etransclem5 37987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( h  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
1557, 154eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( h  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
156 fzssz 11752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... N )  C_  ZZ
157156, 25sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
158157adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( c `  k )  e.  ZZ )
1591583adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
c `  k )  e.  ZZ )
160 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k ) )
161149, 151, 153, 155, 147, 159, 160etransclem19 38001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( S  Dn
( H `  k
) ) `  (
c `  k )
)  =  ( y  e.  X  |->  0 ) )
162 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  /\  k  e.  ( 0 ... M
)  /\  if (
k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  k ) )  /\  y  =  x )  ->  0  =  0 )
163 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  x  e.  X )
164 0red 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  0  e.  RR )
165161, 162, 163, 164fvmptd 5914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  k ) ) `  ( c `  k
) ) `  x
)  =  0 )
166124, 125, 126, 142, 146, 147, 165fprod0 37559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )  /\  k  e.  ( 0 ... M )  /\  if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  k
) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 )
167166rexlimdv3a 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... M ) if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  k )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  0 ) )
168113, 167mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
16914, 168syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x )  =  0 )
170169oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  0 ) )
1716faccld 37430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
172171nncnd 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
173172adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
174 fzfid 12136 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
175 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
17613adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
177 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
178175, 176, 177, 135syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
179178, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
180179faccld 37430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
181180nncnd 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
182174, 181fprodcl 13949 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
183180nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
184174, 181, 183fprodn0 13976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
185173, 182, 184divcld 10334 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
186185mul01d 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
187186adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  0 )  =  0 )
188170, 187eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
) )  =  0 )
189188sumeq2dv 13712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0 )
190 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } )  =  ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
)
191190, 6etransclem16 37998 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )
192191olcd 394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k )  =  m } ) `
 N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
193192adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin ) )
194 sumz 13731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  C_  ( ZZ>= `  A )  \/  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )  e.  Fin )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
195193, 194syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
0  =  0 )
196189, 195eqtrd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ c  e.  ( ( m  e. 
NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) )  =  0 )
197196mpteq2dva 4453 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ c  e.  ( ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( d `  k
)  =  m }
) `  N )
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
1989, 197eqtrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379   ifcif 3854   {cpr 3943   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427   Fincfn 7524   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811    / cdiv 10220   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735   ^cexp 12222   !cfa 12409   #chash 12465   sum_csu 13695   prod_cprod 13902   ↾t crest 15262   TopOpenctopn 15263  ℂfldccnfld 18913    Dncdvn 22761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-prod 13903  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-dvn 22765
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