Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem32 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem etransclem32 38243
 Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem32.s
etransclem32.x fldt
etransclem32.p
etransclem32.m
etransclem32.f
etransclem32.n
etransclem32.ngt
etransclem32.h
Assertion
Ref Expression
etransclem32
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem etransclem32
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem32.s . . 3
2 etransclem32.x . . 3 fldt
3 etransclem32.p . . 3
4 etransclem32.m . . 3
5 etransclem32.f . . 3
6 etransclem32.n . . 3
7 etransclem32.h . . 3
8 etransclem11 38222 . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 38241 . 2
10 simpr 468 . . . . . . . . . 10
118, 6etransclem12 38223 . . . . . . . . . . 11
1211adantr 472 . . . . . . . . . 10
1310, 12eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9
1413adantlr 729 . . . . . . . 8
15 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
16 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716nfn 2003 . . . . . . . . . . . . . 14
1815, 17nfan 2031 . . . . . . . . . . . . 13
19 fzssre 37623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524fnvinran 37398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2619, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
313nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3534biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
3827, 33, 37nltled 9802 . . . . . . . . . . . . . 14
3938ex 441 . . . . . . . . . . . . 13
4018, 39ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . 12
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . . . 15
4320simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
4442, 43syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14
4544ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . . 14
48 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4924ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5019, 49sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5230, 31ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5646, 55breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5948, 51, 53, 58fsumle 13936 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
614, 60syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
623nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6329, 62ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6761, 65, 66fsum1p 13891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6968oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7574zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
76 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
78 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7972, 73, 75, 77, 78ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8079gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8180neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8281iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
863nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8885, 86, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9190oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9288, 91eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9371, 84, 923eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9529nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
964, 62nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9895, 97addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9967, 94, 983eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10099ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
10159, 100breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . 14
10247, 101syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . . 13
10345, 102eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12
10440, 103syldan 478 . . . . . . . . . . 11
105 etransclem32.ngt . . . . . . . . . . . . 13
10696, 29nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14
1086nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . 14
109107, 108ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . 13
110105, 109mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
111110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
112104, 111condan 811 . . . . . . . . . 10
113112adantlr 729 . . . . . . . . 9
114 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115nfsum1 13833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
119117, 118nfrab 2958 . . . . . . . . . . . . . 14
120119nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . 13
121114, 120nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12
122 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
123 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
124121, 122, 123nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11
125 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
126 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11
1271ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
1282ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
1293ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
130 etransclem5 38216 . . . . . . . . . . . . . . 15
1317, 130eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
132 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
13323ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135133, 134ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
137 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
139127, 128, 129, 131, 132, 138etransclem20 38231 . . . . . . . . . . . . 13
140 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13
141139, 140ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
1421413ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . 11
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
145144, 41fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . 12
146145fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
147 simp2 1031 . . . . . . . . . . 11
1481ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
1491483ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
1502ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
1511503ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
1523ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
1531523ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
154 etransclem5 38216 . . . . . . . . . . . . . 14
1557, 154eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13
156 fzssz 11827 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
1591583adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13
160 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13
161149, 151, 153, 155, 147, 159, 160etransclem19 38230 . . . . . . . . . . . 12
162 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12
163 simp1lr 1094 . . . . . . . . . . . 12
164 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12
165161, 162, 163, 164fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11
166124, 125, 126, 142, 146, 147, 165fprod0 37773 . . . . . . . . . 10
167166rexlimdv3a 2873 . . . . . . . . 9
168113, 167mpd 15 . . . . . . . 8
16914, 168syldan 478 . . . . . . 7
170169oveq2d 6324 . . . . . 6
1716faccld 37621 . . . . . . . . . . 11
172171nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
173172adantr 472 . . . . . . . . 9
174 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
175 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . 14
17613adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
177 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
178175, 176, 177, 135syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . 13
179178, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12
180179faccld 37621 . . . . . . . . . . 11
181180nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
182174, 181fprodcl 14083 . . . . . . . . 9
183180nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
184174, 181, 183fprodn0 14110 . . . . . . . . 9
185173, 182, 184divcld 10405 . . . . . . . 8
186185mul01d 9850 . . . . . . 7
187186adantlr 729 . . . . . 6
188170, 187eqtrd 2505 . . . . 5
189188sumeq2dv 13846 . . . 4
190 eqid 2471 . . . . . . . 8
191190, 6etransclem16 38227 . . . . . . 7
192191olcd 400 . . . . . 6
193192adantr 472 . . . . 5
194 sumz 13865 . . . . 5
195193, 194syl 17 . . . 4
196189, 195eqtrd 2505 . . 3
197196mpteq2dva 4482 . 2
1989, 197eqtrd 2505 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  cif 3872  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310  cfa 12497  chash 12553  csu 13829  cprod 14036   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   cdvn 22898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902 This theorem is referenced by:  etransclem46  38257
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