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Theorem etransclem31 38242
Description: The  N-th derivative of  H applied to  Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem31.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem31.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem31.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem31.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem31.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem31.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
etransclem31.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
etransclem31.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
etransclem31  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, c,
j, x    H, c,
j, n, x    M, c, j, x, n    N, c, j, x, n    P, j, x    S, c, j, n, x    j, X, x, n    Y, c, j, x    ph, c,
j, x, n
Allowed substitution hints:    C( n)    P( n, c)    F( x, j, n, c)    X( c)    Y( n)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 etransclem31.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 etransclem31.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4 etransclem31.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5 etransclem31.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
6 etransclem31.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 etransclem31.h . . . 4  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
8 etransclem31.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 38241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) )
10 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
)
1110prodeq2ad 37769 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  Y ) )
1211oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) ) )
1312sumeq2ad 37740 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
) )
1413adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
) )
15 etransclem31.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
168, 6etransclem16 38227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  e.  Fin )
176faccld 37621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
1817nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
1918adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
20 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
21 fzssnn0 37627 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
22 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N }  C_  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
23 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  ( C `  N ) )
248, 6etransclem12 38223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( C `  N )  =  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
2623, 25eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
2722, 26sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )
29 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
31 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
3230, 31ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
3321, 32sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
3433faccld 37621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
3534nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
3620, 35fprodcl 14083 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
3734nnne0d 10676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
3820, 35, 37fprodn0 14110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
3919, 36, 38divcld 10405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
401ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
412ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
423ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
43 etransclem5 38216 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
447, 43eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 38231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) : X --> CC )
4615ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  Y  e.  X )
4745, 46ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
)  e.  CC )
4820, 47fprodcl 14083 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  e.  CC )
4939, 48mulcld 9681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) )  e.  CC )
5016, 49fsumcl 13876 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) )  e.  CC )
519, 14, 15, 50fvmptd 5969 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) ) )
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 38232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
)  =  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) )
5352prodeq2dv 14054 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  = 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) )
54 nn0uz 11217 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
554, 54syl6eleq 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
5655adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5752, 47eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  e.  CC )
58 iftrue 3878 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
59 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
c `  j )  =  ( c ` 
0 ) )
6058, 59breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j )  <->  ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ) )
6158fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  if (
j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )
6258, 59oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) )  =  ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) )
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
6461, 63oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )
65 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( Y  -  j )  =  ( Y  - 
0 ) )
6665, 62oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
6764, 66oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )
6860, 67ifbieq2d 3897 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  =  if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) ) )
6956, 57, 68fprod1p 14099 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) ) )
701, 2dvdmsscn 37908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
7170, 15sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
7271subid1d 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  0 )  =  Y )
7372oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  - 
0 ) ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) )  =  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
7473oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( Y ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )
7574ifeq2d 3891 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) )  =  if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) ) )
76 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
7776oveq1i 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
7877prodeq1i 14049 . . . . . . . . 9  |-  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )
79 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
80 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
81 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
8281zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  RR )
83 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
85 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  j )
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  j )
8786gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  =/=  0 )
8887neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  -.  j  =  0 )
8988iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
9089breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j )  <->  P  <  ( c `  j ) ) )
9189fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ! `  if (
j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ! `
 P ) )
9289oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) )  =  ( P  -  ( c `  j
) ) )
9392fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )
9491, 93oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) )
9592oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) )
9694, 95oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) )
9790, 96ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  =  if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) )
9897prodeq2i 14050 . . . . . . . . 9  |-  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) )
9978, 98eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) )
10099a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) ) )
10175, 100oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( ( Y  - 
0 ) ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
102101adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
10353, 69, 1023eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
104103oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( Y ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
105104sumeq2dv 13846 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) ) )
10651, 105eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902
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