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Theorem etransclem31 38140
Description: The  N-th derivative of  H applied to  Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem31.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem31.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem31.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem31.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem31.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem31.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
etransclem31.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
etransclem31.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
etransclem31  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, c,
j, x    H, c,
j, n, x    M, c, j, x, n    N, c, j, x, n    P, j, x    S, c, j, n, x    j, X, x, n    Y, c, j, x    ph, c,
j, x, n
Allowed substitution hints:    C( n)    P( n, c)    F( x, j, n, c)    X( c)    Y( n)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 etransclem31.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 etransclem31.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4 etransclem31.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5 etransclem31.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
6 etransclem31.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 etransclem31.h . . . 4  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
8 etransclem31.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 38139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) ) ) )
10 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
)
1110prodeq2ad 37682 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  Y ) )
1211oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `
 j ) ) `
 ( c `  j ) ) `  x ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) ) )
1312sumeq2ad 37654 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
) )
1413adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) `  Y )
) )
15 etransclem31.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
168, 6etransclem16 38125 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  e.  Fin )
176faccld 37543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
1817nncnd 10632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
1918adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
20 fzfid 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
21 fzssnn0 37549 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
22 ssrab2 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N }  C_  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )
23 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  ( C `  N ) )
248, 6etransclem12 38121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( C `  N )  =  {
c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
2623, 25eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  | 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }
)
2722, 26sseldi 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) )
29 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
31 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
3230, 31ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
3321, 32sseldi 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
c `  j )  e.  NN0 )
3433faccld 37543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  NN )
3534nncnd 10632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  e.  CC )
3620, 35fprodcl 14018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  e.  CC )
3734nnne0d 10661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( c `  j ) )  =/=  0 )
3820, 35, 37fprodn0 14045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) )  =/=  0
)
3919, 36, 38divcld 10390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  (
c `  j )
) )  e.  CC )
401ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
412ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
423ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
43 etransclem5 38114 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... M )  |->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k
) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
447, 43eqtri 2475 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( k  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( y  e.  X  |->  ( ( y  -  k ) ^ if ( k  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 38129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( H `  j
) ) `  (
c `  j )
) : X --> CC )
4615ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  Y  e.  X )
4745, 46ffvelrnd 6028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
)  e.  CC )
4820, 47fprodcl 14018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  e.  CC )
4939, 48mulcld 9668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) )  e.  CC )
5016, 49fsumcl 13811 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) )  e.  CC )
519, 14, 15, 50fvmptd 5959 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) ) )
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 38130 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
)  =  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) )
5352prodeq2dv 13989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  = 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) )
54 nn0uz 11200 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
554, 54syl6eleq 2541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
5655adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5752, 47eqeltrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( C `  N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  e.  CC )
58 iftrue 3889 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
59 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
c `  j )  =  ( c ` 
0 ) )
6058, 59breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j )  <->  ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ) )
6158fveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  if (
j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )
6258, 59oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) )  =  ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) )
6362fveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
6461, 63oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )
65 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  ( Y  -  j )  =  ( Y  - 
0 ) )
6665, 62oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
6764, 66oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )
6860, 67ifbieq2d 3908 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  =  if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) ) )
6956, 57, 68fprod1p 14034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) ) ) )
701, 2dvdmsscn 37821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
7170, 15sseldd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
7271subid1d 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  0 )  =  Y )
7372oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  - 
0 ) ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) )  =  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )
7473oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( Y ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )
7574ifeq2d 3902 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( c `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) )  x.  (
( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) ) )  =  if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) ) )
76 0p1e1 10728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
7776oveq1i 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
7877prodeq1i 13984 . . . . . . . . 9  |-  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )
79 0red 9649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
80 1red 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
81 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
8281zred 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  RR )
83 0lt1 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
85 elfzle1 11809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  j )
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  j )
8786gt0ne0d 10185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  =/=  0 )
8887neneqd 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  -.  j  =  0 )
8988iffalsed 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
9089breq1d 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j )  <->  P  <  ( c `  j ) ) )
9189fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ! `  if (
j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  =  ( ! `
 P ) )
9289oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) )  =  ( P  -  ( c `  j
) ) )
9392fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )
9491, 93oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) )
9592oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) )  =  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) )
9694, 95oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) )
9790, 96ifbieq2d 3908 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) )  x.  (
( Y  -  j
) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  ( c `
 j ) ) ) ) )  =  if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) )
9897prodeq2i 13985 . . . . . . . . 9  |-  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) )
9978, 98eqtri 2475 . . . . . . . 8  |-  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) )
10099a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( c `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( c `  j
) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^
( P  -  (
c `  j )
) ) ) ) )
10175, 100oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( ( Y  - 
0 ) ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
( 0  +  1 ) ... M ) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
102101adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  0 ) ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) if ( if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( if ( j  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  ( c `  j ) ) ) ) ) )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
10353, 69, 1023eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y )  =  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) )
104103oveq2d 6311 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( C `  N ) )  ->  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
0 ... M ) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `  j
) ) `  Y
) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( c `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) )  x.  ( Y ^
( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( c `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
105104sumeq2dv 13781 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( S  Dn ( H `  j ) ) `  ( c `
 j ) ) `
 Y ) )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( c `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  (
c `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( c ` 
0 ) ) ) )  x.  ( Y ^ ( ( P  -  1 )  -  ( c `  0
) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  (
c `  j )
) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j ) ) ) ) ) ) ) )
10651, 105eqtrd 2487 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N ) `  Y )  =  sum_ c  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( c `  j
) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( c ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  (
c `  0 )
) ) )  x.  ( Y ^ (
( P  -  1 )  -  ( c `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  (
c `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( c `  j ) ) ) )  x.  ( ( Y  -  j ) ^ ( P  -  ( c `  j
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {crab 2743   ifcif 3883   {cpr 3972   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549    < clt 9680    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   ^cexp 12279   !cfa 12466   sum_csu 13764   prod_cprod 13971   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332  ℂfldccnfld 18982    Dncdvn 22831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prod 13972  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835
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