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Theorem etransclem28 38121
Description:  ( P  -  1 ) factorial divides the  N-th derivative of  F applied to  J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem28.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem28.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem28.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
etransclem28.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C `
 N ) )
etransclem28.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
etransclem28.t  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem28  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  T )
Distinct variable groups:    D, c,
j    j, J    M, c,
j, n    N, c, n    P, j    ph, j, n
Allowed substitution hints:    ph( c)    C( j, n, c)    D( n)    P( n, c)    T( j, n, c)    J( n, c)    N( j)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
2 nnm1nn0 10908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
43faccld 37527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
54nnzd 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
65adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C `
 N ) )
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
108, 9etransclem12 38105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
117, 10eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
12 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  D  ->  (
c `  j )  =  ( D `  j ) )
1312sumeq2ad 37638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  D  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j ) )
1413eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  D  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N  <->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( D `  j )  =  N ) )
1514elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  <->  ( D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j )  =  N ) )
1615simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
)  =  N )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
)  =  N )
1817eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( D `  j ) )
1918fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  =  ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
) ) )
2019oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) ) )
21 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j D
22 fzfid 12183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
23 nn0ex 10872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
24 fzssnn0 37533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )
26 mapss 7511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )  -> 
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2723, 25, 26sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
28 elrabi 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
2927, 28sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  D  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
3121, 22, 30mccl 37672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j ) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  e.  NN )
3220, 31eqeltrd 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  NN )
3332nnzd 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ )
3433adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  e.  ZZ )
35 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  =  0  ->  ( J  -  j )  =  ( 0  -  j ) )
36 df-neg 9860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u j  =  ( 0  -  j )
3735, 36syl6reqr 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  =  0  ->  -u j  =  ( J  -  j ) )
3837oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  =  0  ->  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) )  =  ( ( J  -  j ) ^
( P  -  ( D `  j )
) ) )
3938oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  0  ->  (
( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )
4039ifeq2d 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  0  ->  if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4140prodeq2ad 37666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  0  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4241adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
44 elmapi 7490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
471, 45, 46etransclem7 38100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4847adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4942, 48eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  e.  ZZ )
506, 49zmulcld 11043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ )
516, 34, 503jca 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
52 dvdsmul1 14317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
536, 49, 52syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
54 dvdsmultr2 14333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  ||  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
5551, 53, 54sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) ) ) )
5655adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) ) ) )
571ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  P  e.  NN )
58 etransclem28.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5958ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
6045ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
61 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
62 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  J  =  0 )
63 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 38107 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
6556, 64breqtrrd 4428 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
66 dvds0 14311 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  0 )
675, 66syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  0 )
6867ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  ||  0
)
691ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  P  e.  NN )
7058ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
719ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
7245ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N
) )
73 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  J  =  0 )
74 neqne 37368 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 )  -> 
( D `  0
)  =/=  ( P  -  1 ) )
7574adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( D ` 
0 )  =/=  ( P  -  1 ) )
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 38108 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  0 )
7768, 76breqtrrd 4428 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  ||  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
7865, 77pm2.61dan 799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
791nnzd 11036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
80 elfznn0 11884 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  NN0 )
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
8281nn0zd 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 38119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
845, 79, 833jca 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
8584adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
861nncnd 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
87 1cnd 9656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8886, 87npcand 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8988eqcomd 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
9089fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
91 facp1 12461 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) ) )
923, 91syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
9388oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P ) )
9490, 92, 933eqtrrd 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( ! `
 P ) )
9594adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( ! `
 P ) )
961adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  NN )
9758adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  NN0 )
989adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  N  e.  NN0 )
9945adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
10017adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j )  =  N )
101 1zzd 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  e.  ZZ )
10258nn0zd 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
103102adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  ZZ )
10482adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ZZ )
105101, 103, 1043jca 1187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )
)
10681adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN0 )
107 neqne 37368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  J  =  0  ->  J  =/=  0 )
108107adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  =/=  0 )
109 elnnne0 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  <->  ( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
110106, 108, 109sylanbrc 669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN )
111110nnge1d 10649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  <_  J )
112 elfzle2 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  <_  M )
11346, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  <_  M )
114113adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  <_  M )
115105, 111, 114jca32 538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
116 elfz2 11788 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
117115, 116sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
11896, 97, 98, 99, 100, 61, 117etransclem25 38118 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ! `  P
)  ||  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
11995, 118eqbrtrd 4422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  ||  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
120 muldvds1 14320 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P )  ||  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
12185, 119, 120sylc 62 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
12278, 121pm2.61dan 799 . 2  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
123 etransclem28.t . 2  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
124122, 123syl6breqr 4442 1  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   {crab 2740   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   ifcif 3880   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ...cfz 11781   ^cexp 12269   !cfa 12456   sum_csu 13745   prod_cprod 13952    || cdvds 14298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-dvds 14299
This theorem is referenced by:  etransclem37  38130  etransclem38  38131
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