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Theorem etransclem28 38239
Description:  ( P  -  1 ) factorial divides the  N-th derivative of  F applied to  J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem28.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem28.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem28.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
etransclem28.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C `
 N ) )
etransclem28.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
etransclem28.t  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem28  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  T )
Distinct variable groups:    D, c,
j    j, J    M, c,
j, n    N, c, n    P, j    ph, j, n
Allowed substitution hints:    ph( c)    C( j, n, c)    D( n)    P( n, c)    T( j, n, c)    J( n, c)    N( j)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
2 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
43faccld 37621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
54nnzd 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
65adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ )
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C `
 N ) )
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  ( 0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  n }
)
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
108, 9etransclem12 38223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  N
)  =  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
117, 10eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N } )
12 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  D  ->  (
c `  j )  =  ( D `  j ) )
1312sumeq2ad 37740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  D  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( c `  j )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j ) )
1413eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  D  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j )  =  N  <->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( D `  j )  =  N ) )
1514elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  <->  ( D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j )  =  N ) )
1615simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
)  =  N )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
)  =  N )
1817eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( D `  j ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  =  ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
) ) )
2019oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j
) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) ) )
21 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j D
22 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
23 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  e.  _V
24 fzssnn0 37627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )
26 mapss 7532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )  -> 
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2723, 25, 26sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
28 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
2927, 28sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  { c  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) )  |  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( c `  j
)  =  N }  ->  D  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
3121, 22, 30mccl 37775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j ) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  e.  NN )
3220, 31eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  NN )
3332nnzd 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ )
3433adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  e.  ZZ )
35 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  =  0  ->  ( J  -  j )  =  ( 0  -  j ) )
36 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u j  =  ( 0  -  j )
3735, 36syl6reqr 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  =  0  ->  -u j  =  ( J  -  j ) )
3837oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  =  0  ->  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) )  =  ( ( J  -  j ) ^
( P  -  ( D `  j )
) ) )
3938oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  0  ->  (
( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )
4039ifeq2d 3891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  0  ->  if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4140prodeq2ad 37769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  0  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4241adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  =  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) )
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) ) )
44 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
471, 45, 46etransclem7 38218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4847adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4942, 48eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) )  e.  ZZ )
506, 49zmulcld 11069 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ )
516, 34, 503jca 1210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
52 dvdsmul1 14401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
536, 49, 52syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
54 dvdsmultr2 14417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  ||  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( D `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
5551, 53, 54sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) ) ) )
5655adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  (
( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j )
) ) )  x.  ( -u j ^
( P  -  ( D `  j )
) ) ) ) ) ) )
571ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  P  e.  NN )
58 etransclem28.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
5958ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
6045ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
61 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
62 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  ->  J  =  0 )
63 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 38225 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( -u j ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
6556, 64breqtrrd 4422 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  ( D `  0 )  =  ( P  - 
1 ) )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
66 dvds0 14395 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  0 )
675, 66syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  0 )
6867ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  ||  0
)
691ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  P  e.  NN )
7058ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  M  e.  NN0 )
719ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
7245ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N
) )
73 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  J  =  0 )
74 neqne 2651 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 )  -> 
( D `  0
)  =/=  ( P  -  1 ) )
7574adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( D ` 
0 )  =/=  ( P  -  1 ) )
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 38226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  =  0 )
7768, 76breqtrrd 4422 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  =  0 )  /\  -.  ( D `  0
)  =  ( P  -  1 ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1
) )  ||  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
7865, 77pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  = 
0 )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
791nnzd 11062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
80 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  NN0 )
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
8281nn0zd 11061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 38237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
845, 79, 833jca 1210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
8584adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
861nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
87 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8886, 87npcand 10009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8988eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
9089fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  =  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
91 facp1 12502 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) ) )
923, 91syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
9388oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P ) )
9490, 92, 933eqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( ! `
 P ) )
9594adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  =  ( ! `
 P ) )
961adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  P  e.  NN )
9758adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  NN0 )
989adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  N  e.  NN0 )
9945adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
10017adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( D `  j )  =  N )
101 1zzd 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  e.  ZZ )
10258nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
103102adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  M  e.  ZZ )
10482adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ZZ )
105101, 103, 1043jca 1210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )
)
10681adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN0 )
107 neqne 2651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  J  =  0  ->  J  =/=  0 )
108107adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  =/=  0 )
109 elnnne0 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  <->  ( J  e.  NN0  /\  J  =/=  0 ) )
110106, 108, 109sylanbrc 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  NN )
111110nnge1d 10674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
1  <_  J )
112 elfzle2 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  <_  M )
11346, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  <_  M )
114113adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  <_  M )
115105, 111, 114jca32 544 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
116 elfz2 11817 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  J  /\  J  <_  M ) ) )
117115, 116sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
11896, 97, 98, 99, 100, 61, 117etransclem25 38236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ! `  P
)  ||  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
11995, 118eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ( ! `  ( P  -  1
) )  x.  P
)  ||  ( (
( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
120 muldvds1 14404 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  -  1 )  <  ( D `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( D `
 0 ) ) ) ) )  x. 
prod_ j  e.  (
1 ... M ) if ( P  <  ( D `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  x.  P )  ||  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) ) 
||  ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `  j )
) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) ) )
12185, 119, 120sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  =  0 )  -> 
( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
12278, 121pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  ( ( ( ! `  N
)  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( D `  j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
123 etransclem28.t . 2  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( D `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( D `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( D ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( D `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( D `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( D `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
124122, 123syl6breqr 4436 1  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  ||  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   sum_csu 13829   prod_cprod 14036    || cdvds 14382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-dvds 14383
This theorem is referenced by:  etransclem37  38248  etransclem38  38249
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