Theorem etransclem27 38120

Description: The N-th derivative of F applied to J is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem27.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem27.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem27.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem27.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
etransclem27.cfi	|- ( ph -> C e. Fin )
etransclem27.cf	|- ( ph -> C : dom C --> ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
etransclem27.g	|- G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) )
etransclem27.jx	|- ( ph -> J e. X )
etransclem27.jz	|- ( ph -> J e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
etransclem27	|- ( ph -> ( G ` J ) e. ZZ )

Distinct variable groups:   C, j, l, x   x, H   j, J, l, x   j, M, x   P, j, x   x, S   j, X, x   ph, j, l, x

Allowed substitution hints:   P( l)   S( j, l)   G( x, j, l)   H( j, l)   M( l)   X( l)

Proof of Theorem etransclem27

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem27.g	. . . 4 |- G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) ) )
3		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( x = J -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
4	3	prodeq2ad 37666	. . . . 5 |- ( x = J -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
5	4	sumeq2ad 37638	. . . 4 |- ( x = J -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
6	5	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ x = J ) -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
7		etransclem27.jx	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
8		etransclem27.cfi	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
9		dmfi 7851	. . . . 5 |- ( C e. Fin -> dom C e. Fin )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom C e. Fin )
11		fzfid 12183	. . . . 5 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
12		etransclem27.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
13	12	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
14		etransclem27.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
15	14	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
16		etransclem27.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
17	16	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
18		etransclem27.h	. . . . . . . 8 |- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
19		etransclem5 38098	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( z e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - z ) ^ if ( z = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
20	18, 19	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- H = ( z e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - z ) ^ if ( z = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
21		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
22		etransclem27.cf	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C : dom C --> ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
23	22	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( C ` l ) e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
24		elmapi 7490	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ` l ) e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) -> ( C ` l ) : ( 0 ... M ) --> NN0 )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( C ` l ) : ( 0 ... M ) --> NN0 )
26	25	ffvelrnda 6020	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. NN0 )
27	13, 15, 17, 20, 21, 26	etransclem20 38113	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) : X --> CC )
28	7	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> J e. X )
29	27, 28	ffvelrnd 6021	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
30	11, 29	fprodcl 13999	. . . 4 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
31	10, 30	fsumcl 13792	. . 3 |- ( ph -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
32	2, 6, 7, 31	fvmptd 5952	. 2 |- ( ph -> ( G ` J ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
33	13, 15, 17, 20, 21, 26, 28	etransclem21 38114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) = if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) )
34		iftrue 3886	. . . . . . . 8 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) = 0 )
35		0zd 10946	. . . . . . . 8 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> 0 e. ZZ )
36	34, 35	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
37	36	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
38		0zd 10946	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> 0 e. ZZ )
39		nnm1nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
40	16, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
41	16	nnnn0d 10922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN0 )
42	40, 41	ifcld 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
43	42	nn0zd 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
44	43	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
45	26	nn0zd 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. ZZ )
46	45	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. ZZ )
47	44, 46	zsubcld 11042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ )
48	38, 44, 47	3jca 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) )
49	46	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. RR )
50	44	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
51		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) )
52	49, 50, 51	nltled 9782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
53	50, 49	subge0d 10200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <-> ( ( C ` l ) ` j ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
54	52, 53	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) )
55		0red 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
56	26	nn0red 10923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. RR )
57	42	nn0red 10923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
58	57	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
59	26	nn0ge0d 10925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( C ` l ) ` j ) )
60	55, 56, 58, 59	lesub2dd 10227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - 0 ) )
61	58	recnd 9666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. CC )
62	61	subid1d 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - 0 ) = if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
63	60, 62	breqtrd 4426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
64	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
65	48, 54, 64	jca32 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
66		elfz2 11788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
67	65, 66	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
68		permnn 12508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. NN )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. NN )
70	69	nnzd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. ZZ )
71		etransclem27.jz	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. ZZ )
72	71	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> J e. ZZ )
73		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
74	73	ad2antlr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> j e. ZZ )
75	72, 74	zsubcld 11042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( J - j ) e. ZZ )
76		elnn0z 10947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 <-> ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) )
77	47, 54, 76	sylanbrc 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 )
78		zexpcl 12284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J - j ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 ) -> ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) e. ZZ )
79	75, 77, 78	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) e. ZZ )
80	70, 79	zmulcld 11043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. ZZ )
81	38, 80	ifcld 3923	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
82	37, 81	pm2.61dan 799	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
83	33, 82	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
84	11, 83	fprodzcl 14001	. . 3 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
85	10, 84	fsumzcl 13794	. 2 |- ( ph -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
86	32, 85	eqeltrd 2528	1 |- ( ph -> ( G ` J ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   ifcif 3880   {cpr 3969   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ...cfz 11781   ^cexp 12269   !cfa 12456   sum_csu 13745   prod_cprod 13952   ↾_t crest 15312   TopOpenctopn 15313  ℂ_fldccnfld 18963   Dncdvn 22812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-dvn 22816

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