Theorem etransclem27 38238

Description: The N-th derivative of F applied to J is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem27.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem27.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem27.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem27.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
etransclem27.cfi	|- ( ph -> C e. Fin )
etransclem27.cf	|- ( ph -> C : dom C --> ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
etransclem27.g	|- G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) )
etransclem27.jx	|- ( ph -> J e. X )
etransclem27.jz	|- ( ph -> J e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
etransclem27	|- ( ph -> ( G ` J ) e. ZZ )

Distinct variable groups:   C, j, l, x   x, H   j, J, l, x   j, M, x   P, j, x   x, S   j, X, x   ph, j, l, x

Allowed substitution hints:   P( l)   S( j, l)   G( x, j, l)   H( j, l)   M( l)   X( l)

Proof of Theorem etransclem27

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem27.g	. . . 4 |- G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. X |-> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) ) )
3		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = J -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
4	3	prodeq2ad 37769	. . . . 5 |- ( x = J -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
5	4	sumeq2ad 37740	. . . 4 |- ( x = J -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
6	5	adantl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ x = J ) -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` x ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
7		etransclem27.jx	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
8		etransclem27.cfi	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
9		dmfi 7872	. . . . 5 |- ( C e. Fin -> dom C e. Fin )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom C e. Fin )
11		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
12		etransclem27.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
13	12	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
14		etransclem27.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
15	14	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
16		etransclem27.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
17	16	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
18		etransclem27.h	. . . . . . . 8 |- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
19		etransclem5 38216	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( z e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - z ) ^ if ( z = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
20	18, 19	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- H = ( z e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - z ) ^ if ( z = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
21		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
22		etransclem27.cf	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C : dom C --> ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
23	22	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( C ` l ) e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
24		elmapi 7511	. . . . . . . . 9 |- ( ( C ` l ) e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) -> ( C ` l ) : ( 0 ... M ) --> NN0 )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> ( C ` l ) : ( 0 ... M ) --> NN0 )
26	25	ffvelrnda 6037	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. NN0 )
27	13, 15, 17, 20, 21, 26	etransclem20 38231	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) : X --> CC )
28	7	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> J e. X )
29	27, 28	ffvelrnd 6038	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
30	11, 29	fprodcl 14083	. . . 4 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
31	10, 30	fsumcl 13876	. . 3 |- ( ph -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. CC )
32	2, 6, 7, 31	fvmptd 5969	. 2 |- ( ph -> ( G ` J ) = sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) )
33	13, 15, 17, 20, 21, 26, 28	etransclem21 38232	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) = if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) )
34		iftrue 3878	. . . . . . . 8 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) = 0 )
35		0zd 10973	. . . . . . . 8 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> 0 e. ZZ )
36	34, 35	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
37	36	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
38		0zd 10973	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> 0 e. ZZ )
39		nnm1nn0 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
40	16, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
41	16	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN0 )
42	40, 41	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
43	42	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
44	43	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
45	26	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. ZZ )
46	45	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. ZZ )
47	44, 46	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ )
48	38, 44, 47	3jca 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) )
49	46	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. RR )
50	44	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
51		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) )
52	49, 50, 51	nltled 9802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
53	50, 49	subge0d 10224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <-> ( ( C ` l ) ` j ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
54	52, 53	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) )
55		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
56	26	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( C ` l ) ` j ) e. RR )
57	42	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
58	57	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
59	26	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( C ` l ) ` j ) )
60	55, 56, 58, 59	lesub2dd 10251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - 0 ) )
61	58	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. CC )
62	61	subid1d 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - 0 ) = if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
63	60, 62	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
64	63	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
65	48, 54, 64	jca32 544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
66		elfz2 11817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) <_ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
67	65, 66	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
68		permnn 12549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ( 0 ... if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. NN )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. NN )
70	69	nnzd 11062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. ZZ )
71		etransclem27.jz	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. ZZ )
72	71	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> J e. ZZ )
73		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
74	73	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> j e. ZZ )
75	72, 74	zsubcld 11068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( J - j ) e. ZZ )
76		elnn0z 10974	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 <-> ( ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) )
77	47, 54, 76	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 )
78		zexpcl 12325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J - j ) e. ZZ /\ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) e. NN0 ) -> ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) e. ZZ )
79	75, 77, 78	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) e. ZZ )
80	70, 79	zmulcld 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) e. ZZ )
81	38, 80	ifcld 3915	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
82	37, 81	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( ( C ` l ) ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( ( C ` l ) ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
83	33, 82	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. dom C ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
84	11, 83	fprodzcl 14085	. . 3 |- ( ( ph /\ l e. dom C ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
85	10, 84	fsumzcl 13878	. 2 |- ( ph -> sum_ l e. dom C prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( ( C ` l ) ` j ) ) ` J ) e. ZZ )
86	32, 85	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> ( G ` J ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   Dncdvn 22898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902

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