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Theorem etransclem25 37911
Description:  P factorial divides the  N-th derivative of  F applied to  J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem25.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem25.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem25.c  |-  ( ph  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem25.sumc  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
)  =  N )
etransclem25.t  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
etransclem25.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem25  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  T )
Distinct variable groups:    C, j    j, J    j, M    P, j    ph, j
Allowed substitution hints:    T( j)    N( j)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
21nnnn0d 10921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
32faccld 37357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  NN )
43nnzd 11035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  ZZ )
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
)  =  N )
65eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( C `  j ) )
76fveq2d 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  =  ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
) ) )
87oveq1d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) ) )
9 nfcv 2582 . . . . . . . 8  |-  F/_ j C
10 fzfid 12179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
12 nn0ex 10871 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
13 fzssnn0 37363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
14 mapss 7514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )  -> 
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
1512, 13, 14mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M ) )
16 ovex 6325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
17 ovex 6325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  -> 
( 0 ... M
)  e.  _V )
19 elmapg 7485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 ... N
)  e.  _V  /\  ( 0 ... M
)  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
2016, 18, 19sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  -> 
( C  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
2120ibir 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  ->  C  e.  ( (
0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2215, 21sseldi 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  ->  C  e.  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
249, 10, 23mccl 37465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j ) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( C `  j ) ) )  e.  NN )
258, 24eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  NN )
2625nnzd 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  ZZ )
27 etransclem25.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
28 etransclem25.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
2928elfzelzd 37360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
301, 27, 11, 29etransclem10 37896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( C `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
3126, 30zmulcld 11042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
32 fzfid 12179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
331adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
3411adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
35 0z 10944 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
36 fzp1ss 11841 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... M ) 
C_  ( 0 ... M ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  C_  ( 0 ... M
)
38 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
39 1e0p1 11075 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4039oveq1i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... M )  =  ( ( 0  +  1 ) ... M
)
4138, 40syl6eleq 2518 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) )
4237, 41sseldi 3459 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
4342adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
4429adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  J  e.  ZZ )
4533, 34, 43, 44etransclem3 37889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4632, 45fprodzcl 13986 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
474, 31, 463jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
4829zcnd 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
4948subidd 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  -  J
)  =  0 )
5049eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( J  -  J ) )
5150oveq1d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  ( ( J  -  J ) ^
( P  -  ( C `  J )
) ) )
5251oveq2d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
5352ifeq2d 3925 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
54 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( 1 ... M
) )
5554, 40syl6eleq 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) )
5637, 55sseldi 3459 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( 0 ... M
) )
5728, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
581, 11, 57, 29etransclem3 37889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  e.  ZZ )
5953, 58eqeltrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  e.  ZZ )
60 fzfi 12178 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
61 diffi 7801 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... M
)  \  { J } )  e.  Fin )
6260, 61mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  e.  Fin )
631adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  P  e.  NN )
6411adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
65 eldifi 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  -> 
j  e.  ( 1 ... M ) )
6665, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
6766adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
6829adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  J  e.  ZZ )
6963, 64, 67, 68etransclem3 37889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
7062, 69fprodzcl 13986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { J } ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
71 dvds0 14296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  ->  ( ! `  P )  ||  0 )
724, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  0 )
7372adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  P )  ||  0
)
74 iftrue 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <  ( C `  J )  ->  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  0 )
7574eqcomd 2428 . . . . . . . 8  |-  ( P  <  ( C `  J )  ->  0  =  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
7675adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  0  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
7773, 76breqtrd 4442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
78 iddvds 14294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  ->  ( ! `  P )  ||  ( ! `  P
) )
794, 78syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( ! `  P ) )
8079ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  ||  ( ! `  P ) )
81 iffalse 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  <  ( C `
 J )  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
8281ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
83 oveq1 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  ( C `  J )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  ( ( C `  J )  -  ( C `  J )
) )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  ( ( C `  J )  -  ( C `  J )
) )
8511, 57ffvelrnd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  ( 0 ... N ) )
8685elfzelzd 37360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  ZZ )
8786zcnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  CC )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( C `  J )  e.  CC )
8988subidd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( C `  J )  -  ( C `  J ) )  =  0 )
9084, 89eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  0 )
9190fveq2d 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =  ( ! `  0 ) )
92 fac0 12455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ! `
 0 )  =  1
9391, 92syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =  1 )
9493oveq2d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  1
) )
953nncnd 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  CC )
9695div1d 10371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  /  1
)  =  ( ! `
 P ) )
9796adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  1 )  =  ( ! `  P
) )
9894, 97eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  =  ( ! `  P
) )
9990oveq2d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  ( 0 ^ 0 ) )
100 0cnd 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  0  e.  CC )
101100exp0d 12403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ 0 )  =  1 )
10299, 101eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  1 )
10398, 102oveq12d 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  x.  1 ) )
10495mulid1d 9656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  x.  1 )  =  ( ! `
 P ) )
105104adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  x.  1 )  =  ( ! `  P ) )
106103, 105eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
107106adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ! `  P
) )
10882, 107eqtr2d 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  =  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
10980, 108breqtrd 4442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  ||  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
11072ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( ! `  P )  ||  0
)
111 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  -.  P  <  ( C `  J ) )
112111adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  -.  P  <  ( C `  J
) )
113112iffalsed 3917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
114 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ph )
11586zred 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  RR )
116115ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  e.  RR )
1171nnred 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
118117ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  P  e.  RR )
119115adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( C `  J )  e.  RR )
120117adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  P  e.  RR )
121119, 120, 111nltled 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( C `  J )  <_  P )
122121adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  <_  P
)
123 neqne 37229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  P  =  ( C `
 J )  ->  P  =/=  ( C `  J ) )
124123adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  P  =/=  ( C `  J ) )
125116, 118, 122, 124leneltd 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  <  P
)
1261nnzd 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
127126adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  P  e.  ZZ )
12886adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  e.  ZZ )
129127, 128zsubcld 11041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e.  ZZ )
130 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  <  P
)
131115adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  e.  RR )
132117adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  P  e.  RR )
133131, 132posdifd 10196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ( C `  J )  <  P  <->  0  <  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )
134130, 133mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  0  <  ( P  -  ( C `
 J ) ) )
135 elnnz 10943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  -  ( C `
 J ) )  e.  NN  <->  ( ( P  -  ( C `  J ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( P  -  ( C `  J )
) ) )
136129, 134, 135sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e.  NN )
1371360expd 12425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  0 )
138137oveq2d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  0 ) )
13995adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  P )  e.  CC )
140136nnnn0d 10921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e. 
NN0 )
141140faccld 37357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  e.  NN )
142141nncnd 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  e.  CC )
143141nnne0d 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =/=  0
)
144139, 142, 143divcld 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  e.  CC )
145144mul01d 9828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146138, 145eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  0 )
147114, 125, 146syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  0 )
148113, 147eqtr2d 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  0  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
149110, 148breqtrd 4442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
150109, 149pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
15177, 150pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
1524, 59, 70, 151dvdsmultr1d 14317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
15345zcnd 11037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  CC )
154 fveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( C `  j )  =  ( C `  J ) )
155154breq2d 4429 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( P  <  ( C `  j )  <->  P  <  ( C `  J ) ) )
156155adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( P  <  ( C `  j )  <->  P  <  ( C `  J ) ) )
157154oveq2d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( P  -  ( C `  j ) )  =  ( P  -  ( C `  J )
) )
158157fveq2d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )
159158oveq2d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
160159adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
161 oveq2 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( J  -  j )  =  ( J  -  J ) )
162161, 49sylan9eqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( J  -  j )  =  0 )
163157adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( P  -  ( C `  j ) )  =  ( P  -  ( C `  J )
) )
164162, 163oveq12d 6315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( J  -  j
) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) )  =  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J )
) ) )
165160, 164oveq12d 6315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
166156, 165ifbieq2d 3931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
16732, 153, 28, 166fprodsplit1 37460 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  =  ( if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
168152, 167breqtrrd 4444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )
169 dvdsmultr2 14318 . . 3  |-  ( ( ( ! `  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ! `
 P )  ||  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  ->  ( ! `  P )  ||  (
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) ) )
17047, 168, 169sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  ( C `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
171 etransclem25.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
172171faccld 37357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
173172nncnd 10621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
17411ffvelrnda 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( C `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
17513, 174sseldi 3459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( C `  j )  e.  NN0 )
176175faccld 37357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  e.  NN )
177176nncnd 10621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  e.  CC )
17810, 177fprodcl 13984 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
)  e.  CC )
179176nnne0d 10650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  =/=  0 )
18010, 177, 179fprodn0 14011 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
)  =/=  0 )
181173, 178, 180divcld 10379 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  CC )
18230zcnd 11037 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( C `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  e.  CC )
18332, 153fprodcl 13984 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  CC )
184181, 182, 183mulassd 9662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
) )  x.  if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) ) )
185 etransclem25.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
186184, 185syl6eqr 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
) )  x.  if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )  =  T )
187170, 186breqtrd 4442 1  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ifcif 3906   {csn 3993   class class class wbr 4417   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6297    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   CCcc 9533   RRcr 9534   0cc0 9535   1c1 9536    + caddc 9538    x. cmul 9540    < clt 9671    <_ cle 9672    - cmin 9856    / cdiv 10265   NNcn 10605   NN0cn0 10865   ZZcz 10933   ...cfz 11778   ^cexp 12265   !cfa 12452   sum_csu 13730   prod_cprod 13937    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-oi 8023  df-card 8370  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-seq 12207  df-exp 12266  df-fac 12453  df-bc 12481  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-prod 13938  df-dvds 14284
This theorem is referenced by:  etransclem28  37914  etransclem38  37924
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