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Theorem etransclem25 38124
Description:  P factorial divides the  N-th derivative of  F applied to  J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem25.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
etransclem25.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
etransclem25.c  |-  ( ph  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem25.sumc  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
)  =  N )
etransclem25.t  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
etransclem25.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem25  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  T )
Distinct variable groups:    C, j    j, J    j, M    P, j    ph, j
Allowed substitution hints:    T( j)    N( j)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
21nnnn0d 10925 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
32faccld 37533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  NN )
43nnzd 11039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  ZZ )
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
)  =  N )
65eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( C `  j ) )
76fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  =  ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
) ) )
87oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j
) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) ) )
9 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ j C
10 fzfid 12186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
12 nn0ex 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
13 fzssnn0 37539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... N )  C_  NN0
14 mapss 7514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  C_  NN0 )  -> 
( ( 0 ... N )  ^m  (
0 ... M ) ) 
C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
1512, 13, 14mp2an 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... N )  ^m  ( 0 ... M ) )  C_  ( NN0  ^m  ( 0 ... M ) )
16 ovex 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
17 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  -> 
( 0 ... M
)  e.  _V )
19 elmapg 7485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 ... N
)  e.  _V  /\  ( 0 ... M
)  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
2016, 18, 19sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  -> 
( C  e.  ( ( 0 ... N
)  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
2120ibir 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  ->  C  e.  ( (
0 ... N )  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2215, 21sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N )  ->  C  e.  ( NN0  ^m  ( 0 ... M
) ) )
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( NN0 
^m  ( 0 ... M ) ) )
249, 10, 23mccl 37678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( C `  j ) )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ! `  ( C `  j ) ) )  e.  NN )
258, 24eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  NN )
2625nnzd 11039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  ZZ )
27 etransclem25.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
28 etransclem25.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... M ) )
2928elfzelzd 37536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
301, 27, 11, 29etransclem10 38109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( C `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
3126, 30zmulcld 11046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ )
32 fzfid 12186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
331adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
3411adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
35 0z 10948 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
36 fzp1ss 11847 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... M ) 
C_  ( 0 ... M ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  C_  ( 0 ... M
)
38 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( 1 ... M
) )
39 1e0p1 11079 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4039oveq1i 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... M )  =  ( ( 0  +  1 ) ... M
)
4138, 40syl6eleq 2539 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) )
4237, 41sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
4342adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
4429adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  J  e.  ZZ )
4533, 34, 43, 44etransclem3 38102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
4632, 45fprodzcl 14008 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
474, 31, 463jca 1188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ ) )
4829zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
4948subidd 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  -  J
)  =  0 )
5049eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( J  -  J ) )
5150oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  ( ( J  -  J ) ^
( P  -  ( C `  J )
) ) )
5251oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
5352ifeq2d 3900 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
54 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( 1 ... M
) )
5554, 40syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) )
5637, 55sseldi 3430 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... M )  ->  J  e.  ( 0 ... M
) )
5728, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
581, 11, 57, 29etransclem3 38102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( ( J  -  J ) ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  e.  ZZ )
5953, 58eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  e.  ZZ )
60 fzfi 12185 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
61 diffi 7803 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... M
)  \  { J } )  e.  Fin )
6260, 61mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  e.  Fin )
631adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  P  e.  NN )
6411adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
65 eldifi 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  -> 
j  e.  ( 1 ... M ) )
6665, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
6766adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
6829adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  J  e.  ZZ )
6963, 64, 67, 68etransclem3 38102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) )  ->  if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
7062, 69fprodzcl 14008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { J } ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )
71 dvds0 14318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  ->  ( ! `  P )  ||  0 )
724, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  0 )
7372adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  P )  ||  0
)
74 iftrue 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <  ( C `  J )  ->  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  0 )
7574eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( P  <  ( C `  J )  ->  0  =  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
7675adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  0  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
7773, 76breqtrd 4427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
78 iddvds 14316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  P )  e.  ZZ  ->  ( ! `  P )  ||  ( ! `  P
) )
794, 78syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( ! `  P ) )
8079ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  ||  ( ! `  P ) )
81 iffalse 3890 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  <  ( C `
 J )  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
8281ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
83 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  ( C `  J )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  ( ( C `  J )  -  ( C `  J )
) )
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  ( ( C `  J )  -  ( C `  J )
) )
8511, 57ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  ( 0 ... N ) )
8685elfzelzd 37536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  ZZ )
8786zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  CC )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( C `  J )  e.  CC )
8988subidd 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( C `  J )  -  ( C `  J ) )  =  0 )
9084, 89eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  =  0 )
9190fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =  ( ! `  0 ) )
92 fac0 12462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ! `
 0 )  =  1
9391, 92syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =  1 )
9493oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  1
) )
953nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  e.  CC )
9695div1d 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  /  1
)  =  ( ! `
 P ) )
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  1 )  =  ( ! `  P
) )
9894, 97eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  =  ( ! `  P
) )
9990oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  ( 0 ^ 0 ) )
100 0cnd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  0  e.  CC )
101100exp0d 12410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ 0 )  =  1 )
10299, 101eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  1 )
10398, 102oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  x.  1 ) )
10495mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  P )  x.  1 )  =  ( ! `
 P ) )
105104adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( ( ! `  P )  x.  1 )  =  ( ! `  P ) )
106103, 105eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  =  ( C `  J ) )  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ! `
 P ) )
107106adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ! `  P
) )
10882, 107eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  =  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
10980, 108breqtrd 4427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  P  =  ( C `  J ) )  -> 
( ! `  P
)  ||  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
11072ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( ! `  P )  ||  0
)
111 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  -.  P  <  ( C `  J ) )
112111adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  -.  P  <  ( C `  J
) )
113112iffalsed 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
114 simpll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ph )
11586zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C `  J
)  e.  RR )
116115ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  e.  RR )
1171nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
118117ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  P  e.  RR )
119115adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( C `  J )  e.  RR )
120117adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  P  e.  RR )
121119, 120, 111nltled 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( C `  J )  <_  P )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  <_  P
)
123 neqne 37374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  P  =  ( C `
 J )  ->  P  =/=  ( C `  J ) )
124123adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  P  =/=  ( C `  J ) )
125116, 118, 122, 124leneltd 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( C `  J )  <  P
)
1261nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
127126adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  P  e.  ZZ )
12886adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  e.  ZZ )
129127, 128zsubcld 11045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e.  ZZ )
130 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  <  P
)
131115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( C `  J )  e.  RR )
132117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  P  e.  RR )
133131, 132posdifd 10200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ( C `  J )  <  P  <->  0  <  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )
134130, 133mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  0  <  ( P  -  ( C `
 J ) ) )
135 elnnz 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  -  ( C `
 J ) )  e.  NN  <->  ( ( P  -  ( C `  J ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( P  -  ( C `  J )
) ) )
136129, 134, 135sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e.  NN )
1371360expd 12432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) )  =  0 )
138137oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  0 ) )
13995adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  P )  e.  CC )
140136nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( P  -  ( C `  J ) )  e. 
NN0 )
141140faccld 37533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  e.  NN )
142141nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  e.  CC )
143141nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) )  =/=  0
)
144139, 142, 143divcld 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  e.  CC )
145144mul01d 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146138, 145eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( C `  J )  <  P
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  0 )
147114, 125, 146syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  =  0 )
148113, 147eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  0  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
149110, 148breqtrd 4427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  P  <  ( C `  J ) )  /\  -.  P  =  ( C `  J )
)  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
150109, 149pm2.61dan 800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <  ( C `  J
) )  ->  ( ! `  P )  ||  if ( P  < 
( C `  J
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
15177, 150pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
1524, 59, 70, 151dvdsmultr1d 14339 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
15345zcnd 11041 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  CC )
154 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( C `  j )  =  ( C `  J ) )
155154breq2d 4414 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( P  <  ( C `  j )  <->  P  <  ( C `  J ) ) )
156155adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( P  <  ( C `  j )  <->  P  <  ( C `  J ) ) )
157154oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( P  -  ( C `  j ) )  =  ( P  -  ( C `  J )
) )
158157fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ! `  ( P  -  ( C `  J )
) ) )
159158oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
160159adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
161 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( J  -  j )  =  ( J  -  J ) )
162161, 49sylan9eqr 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( J  -  j )  =  0 )
163157adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  ( P  -  ( C `  j ) )  =  ( P  -  ( C `  J )
) )
164162, 163oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( J  -  j
) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) )  =  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J )
) ) )
165160, 164oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  (
( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )
166156, 165ifbieq2d 3906 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  =  J )  ->  if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  =  if ( P  <  ( C `  J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) ) )
16732, 153, 28, 166fprodsplit1 37673 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  =  ( if ( P  <  ( C `
 J ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  J ) ) ) )  x.  ( 0 ^ ( P  -  ( C `  J ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( ( 1 ... M )  \  { J } ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
168152, 167breqtrrd 4429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )
169 dvdsmultr2 14340 . . 3  |-  ( ( ( ! `  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `
 j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P
)  /  ( ! `
 ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ! `
 P )  ||  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  ->  ( ! `  P )  ||  (
( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C `
 0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) ) )
17047, 168, 169sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  ( (
( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  x.  if ( ( P  -  1 )  <  ( C ` 
0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( ( P  - 
1 )  -  ( C `  0 )
) ) )  x.  ( J ^ (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
171 etransclem25.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
172171faccld 37533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
173172nncnd 10625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
17411ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( C `  j )  e.  ( 0 ... N
) )
17513, 174sseldi 3430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( C `  j )  e.  NN0 )
176175faccld 37533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  e.  NN )
177176nncnd 10625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  e.  CC )
17810, 177fprodcl 14006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
)  e.  CC )
179176nnne0d 10654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ! `  ( C `  j ) )  =/=  0 )
18010, 177, 179fprodn0 14033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
)  =/=  0 )
181173, 178, 180divcld 10383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `
 ( C `  j ) ) )  e.  CC )
18230zcnd 11041 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( P  -  1 )  < 
( C `  0
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 ( P  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
( P  -  1 )  -  ( C `
 0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  e.  CC )
18332, 153fprodcl 14006 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) )  e.  CC )
184181, 182, 183mulassd 9666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
) )  x.  if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) ) )
185 etransclem25.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `
 j ) ) )  x.  ( if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) if ( P  < 
( C `  j
) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 P )  / 
( ! `  ( P  -  ( C `  j ) ) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) ) )
186184, 185syl6eqr 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  N )  /  prod_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ! `  ( C `  j )
) )  x.  if ( ( P  - 
1 )  <  ( C `  0 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  ( P  -  1
) )  /  ( ! `  ( ( P  -  1 )  -  ( C ` 
0 ) ) ) )  x.  ( J ^ ( ( P  -  1 )  -  ( C `  0 ) ) ) ) ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M
) if ( P  <  ( C `  j ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  P )  /  ( ! `  ( P  -  ( C `  j )
) ) )  x.  ( ( J  -  j ) ^ ( P  -  ( C `  j ) ) ) ) ) )  =  T )
187170, 186breqtrd 4427 1  |-  ( ph  ->  ( ! `  P
)  ||  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11784   ^cexp 12272   !cfa 12459   sum_csu 13752   prod_cprod 13959    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-prod 13960  df-dvds 14306
This theorem is referenced by:  etransclem28  38127  etransclem38  38137
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