Theorem etransclem20 38129

Description: H is smooth. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem20.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem20.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem20.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem20.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
etransclem20.J	|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem20.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
etransclem20	|- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) : X --> CC )

Distinct variable groups:   j, J, x   j, M, x   x, N   P, j, x   x, S   j, X, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   S( j)   H( x, j)   N( j)

Proof of Theorem etransclem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3889	. . . . . 6 |- ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) = 0 )
2		0cnd 9641	. . . . . 6 |- ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N -> 0 e. CC )
3	1, 2	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. CC )
4	3	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. CC )
5		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N )
6	5	iffalsed 3894	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) = ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) )
7		etransclem20.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
8		nnm1nn0 10918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
10	7	nnnn0d 10932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN0 )
11	9, 10	ifcld 3926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
12	11	faccld 37543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. NN )
13	12	nncnd 10632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
14	13	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
15	11	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
16		etransclem20.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
17	16	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	15, 17	zsubcld 11052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ )
20	16	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> N e. RR )
22	11	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N )
25	21, 23, 24	nltled 9790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> N <_ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
26	23, 21	subge0d 10210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) <-> N <_ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
27	25, 26	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) )
28		elnn0z 10957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 <-> ( ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) )
29	19, 27, 28	sylanbrc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 )
30	29	faccld 37543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) e. NN )
31	30	nncnd 10632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) e. CC )
32	30	nnne0d 10661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) =/= 0 )
33	14, 31, 32	divcld 10390	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. CC )
34	33	adantlr 722	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. CC )
35		etransclem20.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
36		etransclem20.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
37	35, 36	dvdmsscn 37821	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X C_ CC )
38	37	sselda 3434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. CC )
39		etransclem20.J	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
40		elfzelz 11807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. ZZ )
41	40	zcnd 11048	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. CC )
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. CC )
43	42	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> J e. CC )
44	38, 43	subcld 9991	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x - J ) e. CC )
45	44	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x - J ) e. CC )
46	29	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 )
47	45, 46	expcld 12423	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) e. CC )
48	34, 47	mulcld 9668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. CC )
49	6, 48	eqeltrd 2531	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. CC )
50	4, 49	pm2.61dan 801	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. CC )
51		eqid 2453	. . 3 |- ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) = ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) )
52	50, 51	fmptd 6051	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) : X --> CC )
53		etransclem20.h	. . . 4 |- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
54	35, 36, 7, 53, 39, 16	etransclem17 38126	. . 3 |- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) = ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) )
55	54	feq1d 5719	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) : X --> CC <-> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) : X --> CC ) )
56	52, 55	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) : X --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   ifcif 3883   {cpr 3972   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791   ^cexp 12279   !cfa 12466   ↾_t crest 15331   TopOpenctopn 15332  ℂ_fldccnfld 18982   Dncdvn 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835

This theorem is referenced by:  etransclem27  38136  etransclem29  38138  etransclem31  38140  etransclem32  38141  etransclem33  38142  etransclem34  38143