Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem20 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem etransclem20 38129
Description:  H is smooth. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem20.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
etransclem20.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
etransclem20.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem20.h  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
etransclem20.J  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
etransclem20.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
etransclem20  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( H `  J ) ) `  N ) : X --> CC )
Distinct variable groups:    j, J, x    j, M, x    x, N    P, j, x    x, S    j, X, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    S( j)    H( x, j)    N( j)

Proof of Theorem etransclem20
StepHypRef Expression
1 iftrue 3889 . . . . . 6  |-  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N
) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) )  =  0 )
2 0cnd 9641 . . . . . 6  |-  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N  ->  0  e.  CC )
31, 2eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N
) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) )  e.  CC )
43adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) ) )  e.  CC )
5 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
N )
65iffalsed 3894 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  x.  (
( x  -  J
) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) )
7 etransclem20.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
8 nnm1nn0 10918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
107nnnn0d 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
119, 10ifcld 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
1211faccld 37543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  e.  NN )
1312nncnd 10632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  e.  CC )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  e.  CC )
1511nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  ZZ )
16 etransclem20.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1716nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1815, 17zsubcld 11052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N )  e.  ZZ )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N )  e.  ZZ )
2016nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  N  e.  RR )
2211nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  RR )
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
N )
2521, 23, 24nltled 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  N  <_  if ( J  =  0 , 
( P  -  1 ) ,  P ) )
2623, 21subge0d 10210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( 0  <_  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N )  <-> 
N  <_  if ( J  =  0 , 
( P  -  1 ) ,  P ) ) )
2725, 26mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  0  <_  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) )
28 elnn0z 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N
)  e.  NN0  <->  ( ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) )
2919, 27, 28sylanbrc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N )  e.  NN0 )
3029faccld 37543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) )  e.  NN )
3130nncnd 10632 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) )  e.  CC )
3230nnne0d 10661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) )  =/=  0 )
3314, 31, 32divcld 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  e.  CC )
3433adantlr 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  e.  CC )
35 etransclem20.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
36 etransclem20.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3735, 36dvdmsscn 37821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3837sselda 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  CC )
39 etransclem20.J . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... M ) )
40 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  ZZ )
4140zcnd 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0 ... M )  ->  J  e.  CC )
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
4342adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  CC )
4438, 43subcld 9991 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  -  J )  e.  CC )
4544adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( x  -  J
)  e.  CC )
4629adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N )  e.  NN0 )
4745, 46expcld 12423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) )  e.  CC )
4834, 47mulcld 9668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  ( ( ( ! `
 if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N
) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  e.  CC )
496, 48eqeltrd 2531 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  -.  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N )  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) ) )  e.  CC )
504, 49pm2.61dan 801 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  x.  (
( x  -  J
) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) )  e.  CC )
51 eqid 2453 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  x.  (
( x  -  J
) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <  N , 
0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  x.  (
( x  -  J
) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) ) )
5250, 51fmptd 6051 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `
 ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N ) ) ) ) ) : X --> CC )
53 etransclem20.h . . . 4  |-  H  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  -  j ) ^ if ( j  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) ) )
5435, 36, 7, 53, 39, 16etransclem17 38126 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( H `  J ) ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  -  N
) ) )  x.  ( ( x  -  J ) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) ) ) )
5554feq1d 5719 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( H `
 J ) ) `
 N ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  if ( if ( J  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  /  ( ! `  ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) )  x.  (
( x  -  J
) ^ ( if ( J  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  -  N ) ) ) ) ) : X --> CC ) )
5652, 55mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( H `  J ) ) `  N ) : X --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   ifcif 3883   {cpr 3972   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791   ^cexp 12279   !cfa 12466   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332  ℂfldccnfld 18982    Dncdvn 22831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835
This theorem is referenced by:  etransclem27  38136  etransclem29  38138  etransclem31  38140  etransclem32  38141  etransclem33  38142  etransclem34  38143
  Copyright terms: Public domain W3C validator