Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Unicode version

Theorem esumval 28220
Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p  |-  F/ k
ph
esumval.0  |-  F/_ k A
esumval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumval.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
Assertion
Ref Expression
esumval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, A    ph, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 28202 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 esumval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 esumval.p . . . . . 6  |-  F/ k
ph
5 esumval.0 . . . . . 6  |-  F/_ k A
6 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
7 esumval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 27643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
1110sseli 3495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
1211elpwid 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
14 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
x
155, 14resmptf 27646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1716oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) ) )
18 esumval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
1917, 18eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  C  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) )
2019mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2120rneqd 5240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2221supeq1d 7923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 27936 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
2423unieqd 4261 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) } )
251, 24syl5eq 2510 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
26 xrltso 11372 . . . 4  |-  <  Or  RR*
2726supex 7940 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
2827unisn 4266 . 2  |-  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) }  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )
2925, 28syl6eq 2514 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    |` cres 5010  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   0cc0 9509   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645   [,]cicc 11557   ↾s cress 14645    gsumg cgsu 14858   RR*scxrs 14917   tsums ctsu 20750  Σ*cesum 28201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-cn 19855  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751  df-esum 28202
This theorem is referenced by:  esumel  28221  esumnul  28222  esum0  28223  gsumesum  28231  esumlub  28232  esumcst  28235  esumpcvgval  28250  esumcvg  28258  esum2d  28265
  Copyright terms: Public domain W3C validator