Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Unicode version

Theorem esumval 26644
Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p  |-  F/ k
ph
esumval.0  |-  F/_ k A
esumval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumval.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
Assertion
Ref Expression
esumval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, A    ph, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 26628 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 esumval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 esumval.p . . . . . 6  |-  F/ k
ph
5 esumval.0 . . . . . 6  |-  F/_ k A
6 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
7 esumval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 26122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 inss1 3677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
1110sseli 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
1211elpwid 3977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
14 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
x
155, 14resmptf 26124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1716oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) ) )
18 esumval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
1917, 18eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  C  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) )
2019mpteq2dva 4485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2120rneqd 5174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2221supeq1d 7806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 26397 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
2423unieqd 4208 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) } )
251, 24syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
26 xrltso 11228 . . . 4  |-  <  Or  RR*
2726supex 7823 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
2827unisn 4213 . 2  |-  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) }  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )
2925, 28syl6eq 2511 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2602    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   {csn 3984   U.cuni 4198    |-> cmpt 4457   ran crn 4948    |` cres 4949  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   supcsup 7800   0cc0 9392   +oocpnf 9525   RR*cxr 9527    < clt 9528   [,]cicc 11413   ↾s cress 14292    gsumg cgsu 14497   RR*scxrs 14556   tsums ctsu 19827  Σ*cesum 26627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-xadd 11200  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-xrs 14558  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-ntr 18755  df-nei 18833  df-cn 18962  df-haus 19050  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-tsms 19828  df-esum 26628
This theorem is referenced by:  esumel  26645  esumnul  26646  esum0  26647  gsumesum  26654  esumlub  26655  esumcst  26658  esumpcvgval  26671  esumcvg  26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator