Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumval 28867
Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p  |-  F/ k
ph
esumval.0  |-  F/_ k A
esumval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumval.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
Assertion
Ref Expression
esumval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, A    ph, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 28849 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 esumval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 esumval.p . . . . . 6  |-  F/ k
ph
5 esumval.0 . . . . . 6  |-  F/_ k A
6 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
7 esumval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 28255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
1110sseli 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
1211elpwid 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
1312adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
14 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
x
155, 14resmptf 28257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1716oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) ) )
18 esumval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
1917, 18eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  C  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) )
2019mpteq2dva 4489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2120rneqd 5062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2221supeq1d 7960 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 28548 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
2423unieqd 4208 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) } )
251, 24syl5eq 2497 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
26 xrltso 11440 . . . 4  |-  <  Or  RR*
2726supex 7977 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
2827unisn 4213 . 2  |-  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) }  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )
2925, 28syl6eq 2501 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675   [,]cicc 11638   ↾s cress 15122    gsumg cgsu 15339   RR*scxrs 15398   tsums ctsu 21140  Σ*cesum 28848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-cn 20243  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tsms 21141  df-esum 28849
This theorem is referenced by:  esumel  28868  esumnul  28869  esum0  28870  gsumesum  28880  esumlub  28881  esumcst  28884  esumpcvgval  28899  esumcvg  28907  esum2d  28914
  Copyright terms: Public domain W3C validator