Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Unicode version

Theorem esumval 26469
Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p  |-  F/ k
ph
esumval.0  |-  F/_ k A
esumval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumval.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
Assertion
Ref Expression
esumval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, A    ph, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 26453 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 esumval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 esumval.p . . . . . 6  |-  F/ k
ph
5 esumval.0 . . . . . 6  |-  F/_ k A
6 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
7 esumval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 25940 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
1110sseli 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
1211elpwid 3865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
14 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
x
155, 14resmptf 25942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) ) )
18 esumval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  C )
1917, 18eqtr2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  C  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) )
2019mpteq2dva 4373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2120rneqd 5062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) )
2221supeq1d 7688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 26221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
2423unieqd 4096 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) } )
251, 24syl5eq 2482 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  ) } )
26 xrltso 11110 . . . 4  |-  <  Or  RR*
2726supex 7705 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
2827unisn 4101 . 2  |-  U. { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) }  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) , 
RR* ,  <  )
2925, 28syl6eq 2486 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  C ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   ran crn 4836    |` cres 4837  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   supcsup 7682   0cc0 9274   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410   [,]cicc 11295   ↾s cress 14167    gsumg cgsu 14371   RR*scxrs 14430   tsums ctsu 19676  Σ*cesum 26452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-ordt 14431  df-xrs 14432  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-ps 15362  df-tsr 15363  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-ntr 18604  df-nei 18682  df-cn 18811  df-haus 18899  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-tsms 19677  df-esum 26453
This theorem is referenced by:  esumel  26470  esumnul  26471  esum0  26472  gsumesum  26479  esumlub  26480  esumcst  26483  esumpcvgval  26496  esumcvg  26504
  Copyright terms: Public domain W3C validator